現(xiàn)代分析第八章

今天講這個東西！2023/2/5新課程現(xiàn)代數(shù)學(xué)——《分形幾何簡介》2分形幾何簡介

AnIntroductionto

FractalGeometry現(xiàn)代分析第八章上帝必定是一個幾何學(xué)家！Godmustbeageometer！

名人名言

——伽利略——Galileo分形(fractal)分形幾何理論誕生于20世紀(jì)70年代中期，創(chuàng)始人是美國數(shù)學(xué)家---曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出版的《大自然的分形幾何學(xué)》(TheFractalGeometryofNature)是這一學(xué)科經(jīng)典之作。分形(fractal)是20多年來科學(xué)前沿領(lǐng)域提出的一個非常重要的概念，混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton)

是非線性科學(xué)(nonlinearscience)中三個最重要的概念。幾何學(xué)的基本研究對象是“空間形式的抽象化——形。研究形的各種變換不變性質(zhì)形成了不同研究內(nèi)容的幾何學(xué)——?dú)W幾里德幾何學(xué)、射影幾何、拓?fù)鋵W(xué)、……用不同的方法去研究形，又形成了以研究方法為特征的各種幾何學(xué)——幾何學(xué)的發(fā)展陳省身的觀點(diǎn)歷史上幾何學(xué)可分為六個時期：1)公理(歐幾里德)；2)坐標(biāo)(笛卡爾，費(fèi)馬)；3)微積分(牛頓，萊布尼茲)；4)群(克萊因，李)；5)流形(黎曼)；6)纖維叢(嘉當(dāng)，惠特尼)。7）分形幾何（曼德布羅特）兩千多年來，雖然幾何學(xué)的研究方法發(fā)生了多次革命，但是其研究對象卻始終保持在兩千多年前的局面——?dú)W幾里德幾何對象——直線、平面、圓形、球形、正方形、正方體乃至其它的如二次曲線之類的空間規(guī)則圖形。幾何學(xué)的發(fā)展2023/2/58歐幾里德幾何學(xué)的局限傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學(xué)已經(jīng)在改造自然、訓(xùn)練思維、推進(jìn)人類文明方面發(fā)揮了不可替代的作用。但是，歐幾里德幾何所研究的圖形限于直線、平面、圓形、球形、正方形、正方體乃至其它的如二次曲線之類的空間規(guī)則圖形。當(dāng)我們嚴(yán)格地去分析歐幾里得幾何與自然的關(guān)系時，我們會發(fā)現(xiàn)，要想在自然界中找到真正的圓形、球形、正方形、正方體等，幾乎是不可能的，歐幾里德幾何圖形其實(shí)只是人類對大自然的理想化產(chǎn)物。歐幾里德幾何學(xué)的局限黑板房子轎車盒子太陽描述事物：平時我們可以用歐幾里德幾何圖形近似地表示形狀簡單的物體.歐幾里德幾何學(xué)的局限可是對于一些不規(guī)則而復(fù)雜的物體，用什么方法描述這些幾何圖形呢？歐幾里德幾何學(xué)的局限歐幾里德幾何圖形并不能準(zhǔn)確地描述大自然測量事物歐幾里得幾何學(xué)的研究對象僅涉及具有特征長度的幾何物體：0維空間：點(diǎn)，可以計(jì)數(shù)，沒有長度；1維空間：線段，有長度，沒有寬度；2維空間：矩形，有周長、面積，沒有體積；3維空間：方體，有表面積、體積；自然界中很多物體具有特征長度，比如：人有高度、山有海拔高度等。歐幾里德幾何學(xué)的局限歐幾里德幾何學(xué)的局限但是事物大多沒有這么簡單。美國計(jì)算機(jī)科學(xué)家曼德爾布羅特（Mandelbrot

）就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？海岸線

英國的海岸線地圖英國的海岸線有多長？英國的海岸線有多長？當(dāng)你用一把固定長度的直尺來測量時，對海岸線上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細(xì)小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無窮小，則測得的長度將是無窮大。英國的海岸線有多長？得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少？——這取決于所用尺子的長短。精細(xì)的測量發(fā)現(xiàn)：海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實(shí)看到了海岸線的存在，而且海岸線應(yīng)該是有界的。但是，海岸線面積為零，長度無窮，究竟海岸線的什么量有界呢？英國的海岸線有多長？海岸線的長度問題，并不僅僅是一個特別的個例！許多事物都有類似的困惑——2023/2/520分形幾何學(xué)被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支，其本質(zhì)是一種新的世界觀和方法論。它承認(rèn)，在一定條件下、一定過程中、在某一方面（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時間，能量等），世界的局部可能表現(xiàn)出與整體的相似性；它承認(rèn)，空間維數(shù)的變化既可以是離散的，也可以是連續(xù)的……分形幾何學(xué)2023/2/522認(rèn)識分形2023/2/523分形理論源自于數(shù)學(xué)內(nèi)部2023/2/524“病態(tài)”的“數(shù)學(xué)怪物”“病態(tài)”的“數(shù)學(xué)怪物”

19世紀(jì)后半葉起，數(shù)學(xué)家們在研究函數(shù)的連續(xù)性時構(gòu)造出一系列不符合人們傳統(tǒng)觀念的集合。德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（K.Weierstrass）1872年構(gòu)造的以他的名字命名的函數(shù)W（x）是這類集合的第一例其中1<s<2且>1，W(x)是處處連續(xù)、但處處不可微的函數(shù)。對應(yīng)參數(shù)s

=1.4,=2，W(x)的圖象是

Weierstrass函數(shù)怪物1Weierstrass函數(shù)怪物1Weierstrass函數(shù)Weierstrass函數(shù)W(x)的缺陷是：其圖象難以繪出，因此不夠直觀。但是，由于該函數(shù)處處連續(xù)卻無處可微，從而人們認(rèn)識到其圖象是處處連續(xù)卻處處無切線的曲線，這引起了當(dāng)時數(shù)學(xué)界的極大震驚。怪物1Weierstrass函數(shù)1883年，德國數(shù)學(xué)家康托(G.Cantor)構(gòu)造了一個奇異集合——康托三分集：將數(shù)軸上的閉區(qū)間E0=[0,1]三等分，刪去中間的開區(qū)間(1/3,2/3)，剩下兩個閉區(qū)間[0,1/3]，[2/3,1]記為E1；再將這兩個閉區(qū)間分別三等分，各去掉中間的開區(qū)間(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，剩下更短的四個閉區(qū)間記為E2，……，這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮。怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集在這樣的操作下，有些點(diǎn)是永遠(yuǎn)刪不去的，比如，1/3，2/3，以及所有被刪去的開區(qū)間的端點(diǎn)。最后剩下的是一個離散的無窮點(diǎn)集F，稱為康托三分集.怪物2康托三分集如果用0維的（點(diǎn)的個數(shù)）尺度去測量它，其度量值顯然是無窮；如果用一維的長度尺度去測量它，注意其第n步過后的生成元En

由長度為(1/3)n

的2n個區(qū)間段構(gòu)成，其長度為2n(1/3)n，因此，康托三分集的長度為怪物2康托三分集這說明，康托三分集無法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。怪物2康托三分集1904年，瑞典數(shù)學(xué)家馮·科赫（H.vonKoch）構(gòu)造了著名的魔線：取單位長度線段E0，將其等分為三段，中間的一段用邊長為E0的1/3的等邊三角形的兩邊代替得到E1，它包含四條線段，對E1的每條線段重復(fù)同樣的操作后得E2，對E2的每條線段重復(fù)同樣的操作后得E3，……，繼續(xù)重復(fù)同樣的操作無窮次時所得的曲線稱為科赫曲線

怪物3VonKoch雪花曲線怪物3VonKoch雪花曲線如果用一維的長度尺度去測量它，注意其第n步過后的生成元En

由4n個長度為(1/3)n

的區(qū)間段構(gòu)成，其總長度為(4/3)n，因此，科赫曲線的長度為無窮。怪物3VonKoch雪花曲線怪物3VonKoch雪花曲線因此科赫曲線的面積為0。如果用二維的面積尺度去測量它，注意其第n步過后的生成元En

可以由4n-1個底邊長度為(1/3)n-1

，高為的三角形所覆蓋（如圖），這些三角形的總面積為，這說明，科赫曲線無法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。怪物3VonKoch雪花曲線若把初始元E0“——”改為邊長為1的等邊三角形，對它的三邊都反復(fù)施以同樣的變換，直至無窮，最后所得圖形稱為科赫雪花曲線.它被用作晶瑩剔透的雪花模型.怪物3VonKoch雪花曲線觀察雪花分形過程第一次分叉：1第一次分叉，周長為3(4/3)1，圍出面積0.5772第二次分叉，周長為3(4/3)2，圍出面積0.6423第三次分叉，周長為3(4/3)3，圍出面積0.674第四次分叉，周長為3(4/3)4，圍出面積0.6835第五次分叉，周長為3(4/3)5，圍出面積0.688Koch雪花曲線長度趨于無窮，但是，其圍出的面積保持有界，曲線本身所占有的面積為0。這說明，Koch雪花無法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。1915~1916年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基(W.Sierpinski)將三分康托爾集的構(gòu)造思想推廣到二維平面，構(gòu)造出謝爾賓斯基“墊片”：怪物4謝爾賓斯基墊片設(shè)E0是邊長為1的等邊三角形區(qū)域，將它均分成四個小等邊三角形，去掉中間一個得E1，對E1的每個小等邊三角形進(jìn)行相同的操作得E2，……，這樣的操作不斷繼續(xù)下去直到無窮，所得圖形F稱為謝爾賓斯基“墊片”，它被用作超導(dǎo)現(xiàn)象和非晶態(tài)物質(zhì)的模型。怪物4謝爾賓斯基墊片不要心急仔細(xì)看我將類似的操作施以正方形區(qū)域（與前面不同的是這里將正方形九等分）所得圖形F稱為謝爾賓斯基“地毯”。怪物4謝爾賓斯基墊片數(shù)學(xué)家門杰（K.Menger）從三維的單位立方體出發(fā)，用與構(gòu)造謝爾賓斯基地毯類似的方法，構(gòu)造了門杰“海綿”。構(gòu)造過程為：怪物5門杰海綿從一個立方體出發(fā)，將其每邊三等分，得27個小立方體，將體心和六面心上共七個小立方體舍去保留其余20個小立方體；再對每個小立方體進(jìn)行同樣操作，得到更小的20×20＝400個立方體，如此操作進(jìn)行下去直至無窮，便得到門杰“海綿”。怪物5門杰海綿門杰“海綿”怪物5門杰海綿類似前述討論可以知道：對于謝爾賓斯基“墊片”，如果用一維的長度尺度去測量它，其長度為無窮；如果用二維的面積尺度去測量它，其面積為0。怪物5門杰海綿對于門杰“海綿”，如果用二維的面積尺度去測量它們，其面積為無窮；如果用三維的體積尺度去測量它們，其體積為0。

這種“百孔千窗”、“有皮沒有肉”的結(jié)構(gòu)，由于其表面積為無窮大，是化學(xué)反應(yīng)中催化劑或阻化劑最理想的結(jié)構(gòu)模型。怪物5門杰海綿這些說明，用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度也無法去度量謝爾賓斯基墊片和門杰海綿。怪物5門杰海綿2023/2/577由復(fù)解析函數(shù)迭代

產(chǎn)生的圖形在第一次世界大戰(zhàn)期間，法國數(shù)學(xué)家G.Julia和P.Fatou受牛頓迭代法求解方程的啟發(fā)，研究了復(fù)解析函數(shù)的迭代性質(zhì)，建立了復(fù)解析動力系統(tǒng)理論。在他們的理論中，設(shè)f是一個非常數(shù)的有理函數(shù)或整函數(shù),考慮f的迭代序列f0(z)=z,f1(z)=f

(z),……，fn+1(z)=f

ofn(z)=f[fn(z)],……

Julia集研究在n→∞時該序列的漸近性態(tài)。對于一個給定的函數(shù)，他們把復(fù)平面分成兩部分，一部分稱作穩(wěn)定集或Fatou集F=F(f)

F=F(f)={z∈C:序列{fn}在z的某鄰域上是正規(guī)的}.另一部分稱作非穩(wěn)定集或Julia集J=J(f)

J=J(f)=C-F(f)

Julia集籠統(tǒng)地說，穩(wěn)定集或Fatou集F(f)是使得序列{fn}表現(xiàn)良好的點(diǎn)集，在其中的每一點(diǎn)，都存在一個鄰域U，使得{fn(z)}在U上一致收斂到一個有限數(shù)或一致發(fā)散到無窮；非穩(wěn)定集或Julia集J=J(f)=C-F(f)是使得序列{fn}表現(xiàn)混亂的點(diǎn)集。F(f)是一個開集，而J(f)是一個閉集。Julia集比如，對函數(shù)f(z)=z2,容易算出開集F(f)包含兩部分：單位圓的內(nèi)部和外部，它們分別是使得{fn(z)}一致收斂到0和一致發(fā)散到無窮的點(diǎn)集，而J(f)=單位圓周{z∈C:|z|=1}。Julia集需要注意的是，在一般情況下，J(f)都是極其復(fù)雜的幾何圖形，遠(yuǎn)沒有單位圓周這么簡單。事實(shí)上，幾乎所有的Julia集都非常復(fù)雜，又非常美麗。Julia集2023/2/583f(z)=z2+c,c=0.11+0.66i

Julia集Julia集(二)C=-1Julia集(三)C=-0.5+0.5iJulia集(四)C=-0.2+0.75iJulia集(四)C=0.64i

針對二次函數(shù)簇fc(z)=z2+c，其中c是復(fù)參數(shù)，他引入一個集合M，叫做Mandelbrot集,M={c∈C:序列{fcn(0)}不趨于∞}={c∈C:J(fc)是連通集}并驚奇地發(fā)現(xiàn)集合M具有驚人的復(fù)雜性和許多美妙的性質(zhì)。

Mandelbrot集Mandelbrot集新課程現(xiàn)代數(shù)學(xué)——《分形幾何簡介》Mandelbrot集32023/2/591分形概念的引入星系、云團(tuán)、山川河流、動物植物等是不規(guī)則的；晶體的生長，分子的運(yùn)動軌跡等也是不規(guī)則的；數(shù)學(xué)中的某些自然生成的形體也是不規(guī)則的。問題：如何用幾何來描述它們？分形的定義美國計(jì)算機(jī)科學(xué)家曼德爾布羅特（B.Mandelbrot）觀察到這些圖形的共同特征，提出了一門描述大自然的幾何形態(tài)的學(xué)科---分形(Fractal)幾何。分形的定義1975年曼德爾布羅特在其《分形：形狀、機(jī)遇和維數(shù)》一書中第一次引入分形這一概念，1977年他又出版了其第二部著作《大自然的分形幾何學(xué)》。分形的定義曼德爾布羅特對分形的定義：分形的定義Afractalisashapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway分形是其組成部分以某種方式與整體相似的圖形據(jù)曼德爾布羅特教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應(yīng)的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)則碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德爾布羅特一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。Fractal（分形）一詞的由來

因此，取拉丁詞之頭，英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。曼德爾布羅特是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。Fractal（分形）一詞的由來

“分形”的命名70年代末fractal傳到中國，一時難以定譯。中科院物理所李蔭遠(yuǎn)院士說，fractal應(yīng)當(dāng)譯成“分形”，郝柏林、張恭慶、朱照宣等科學(xué)家表示贊同，于是在中國大陸fractal逐漸定譯為“分形”。如今臺灣還譯“碎形”，顯然不如“分形”好。分形的特點(diǎn)是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結(jié)構(gòu)。“分形”之譯的確抓住了fractal的本質(zhì)--科學(xué)本質(zhì)、哲學(xué)本質(zhì)和藝術(shù)本質(zhì)。“分形”的命名中國傳統(tǒng)文化中關(guān)于“分”與“形”有豐富的論述，想必李蔭遠(yuǎn)院士極為熟悉。李院士是物理學(xué)名詞審定委員會三名顧問之一。宋明理學(xué)關(guān)于“理”(“理念”或者“太極”)與“萬物”、整體與部分、一般與具體的關(guān)系的思想吸收了佛家觀念，特別是華嚴(yán)宗和禪宗的觀念。李蔭遠(yuǎn)的譯名實(shí)在于平凡處見功力，如李善蘭(1811-1882)譯“微分”

(differentiation)、“積分”

(integration)，王竹溪(1911-1983)譯“湍流”(turbulence)、“逾滲”

(percolation)和“運(yùn)輸”(transportation)。2023/2/5100分形的特征對于什么是分形，雖然曼德爾布羅特曾經(jīng)提出了一個定義，但卻很難據(jù)此判定一個圖形是否是分形。到目前為止,人們還沒有給出分形的一個確切定義。正如生物學(xué)中對“生命”也沒有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形也可同樣的處理。分形的特征分形作為一種全新的概念，使許多人在第一次見到分形圖形時都有新的感受，不管你是從科學(xué)的觀點(diǎn)看還是從美學(xué)的觀點(diǎn)看。分形圖可以體現(xiàn)出許多傳統(tǒng)美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，如平衡、和諧、對稱等等，但更多的是超越這些標(biāo)準(zhǔn)的新的表現(xiàn)。分形的特征分形圖中的平衡，是一種動態(tài)的平衡，一種畫面各個部分在變化過程中相互制約的平衡；分形圖的和諧，是一種數(shù)學(xué)上的和諧，每一個形狀的變化，每一塊顏色的過渡都是一種自然的流動，毫無生硬之感；分形的對稱，既不是左右對稱也不是上下對稱，而是畫面的局部與更大范圍的對稱，或說局部與整體的對稱。分形的特征在分形圖中更多的是分叉、纏繞、不規(guī)整的邊緣和豐富的變換，它表現(xiàn)的是自然界的千姿百態(tài)和復(fù)雜性。分形的特征分形幾何學(xué)認(rèn)為：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。局部可以反映整體。分形的特征維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間.對于更抽象或更復(fù)雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應(yīng)，也容易確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形的特征當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用0維的點(diǎn)來量它，其結(jié)果為無窮大，因?yàn)橹本€中包含無窮多個點(diǎn)；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是0，因?yàn)橹本€中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。分形的特征分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。對于我們上面提到的Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成.用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0.那么只有找一個與該曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是分?jǐn)?shù)了。分形的特征分形的特征，歸納起來有以下幾點(diǎn)：無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)不能用傳統(tǒng)的幾何語言描述自相似性分?jǐn)?shù)維數(shù)可以由簡單的方式生成分形的特征（1）具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即在任意小的尺度之下，它總有復(fù)雜的細(xì)節(jié)；無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)（2）具有不規(guī)則性，以至于無論它的局部或整體都不能用傳統(tǒng)的幾何語言、乃至微積分的語言來描述；不能用傳統(tǒng)的幾何語言描述（3）具有某種自相似性，其任意小的局部都可能在統(tǒng)計(jì)或者是近似意義上與其整體具有相似性；自相似性分形最明顯的特征是自相似性

不要心急仔細(xì)看我（4）分形的分?jǐn)?shù)維數(shù)（用某種方式定義的）通常嚴(yán)格大于它的拓?fù)渚S數(shù)；分?jǐn)?shù)維數(shù)（5）在許多令人感興趣的情形，可以由非常簡單的方法定義，并由遞歸、迭代等產(chǎn)生。

分形幾何的主要價值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性：本來看來十分復(fù)雜的事物，事實(shí)上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡單公式來描述。其實(shí)簡單并不簡單，它蘊(yùn)含著復(fù)雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認(rèn)識簡單與復(fù)雜的辯證關(guān)系的生動例子。可以由簡單的方式生成其中（1）、（2）、（4）說明了分形的復(fù)雜性；（3）、（5）項(xiàng)說明了分形的規(guī)律性和生成機(jī)制。以分形的觀念來考察前面提到的各種“病態(tài)”曲線時，可以看出它們不過是各種分形而已。分形的特征2023/2/5117分形的應(yīng)用分形觀念的引入并非僅是一個描述手法上的改變，從根本上講分形反映了自然界中某些規(guī)律性的東西。分形打開了一個完全嶄新和令人興奮的幾何學(xué)大門。這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，觸及到我們生活的方方面面，諸如自然現(xiàn)象的描述，電影攝影術(shù)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)、地震預(yù)報、圖象編碼理論、信號處理、等等。分形的應(yīng)用分形的應(yīng)用領(lǐng)域1.數(shù)學(xué)：動力系統(tǒng)2.物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)：如雷電、相變、聚合物生長、天文、地理、地質(zhì)、生態(tài)、生命等自然現(xiàn)象；3.非線性動力系統(tǒng)中的分形研究；4.人文、經(jīng)濟(jì)：如股票漲落分析等；5.國民經(jīng)濟(jì)：如地震、氣象的預(yù)報預(yù)測、石油的多次開采等領(lǐng)域。其他：醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)，社會，藝術(shù)等等以植物為例，植物的生長是植物細(xì)胞按一定的遺傳規(guī)律不斷發(fā)育、分裂的過程。這種按規(guī)律分裂的過程可以近似地看作是遞歸、迭代過程，這與分形的產(chǎn)生極為相似。在此意義上，人們可以認(rèn)為一種植物對應(yīng)一個迭代函數(shù)系統(tǒng)。人們甚至可以通過改變該系統(tǒng)中的某些參數(shù)來模擬植物的變異過程。分形的應(yīng)用在醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)領(lǐng)域，分形被用于描述和預(yù)示不同生態(tài)系統(tǒng)的演化。有一些科學(xué)家認(rèn)為分形幾何有助于他們理解被觀察的正?；罴?xì)胞的結(jié)構(gòu)和組成癌組織的病細(xì)胞的結(jié)構(gòu)。所以通過建立與健康的或患病的組織相像的分形生長模型，科學(xué)家們也能夠了解存在于基因密碼的控制生長的信息，以及如果這種生長結(jié)果的信息被破壞時，癌組織是如何發(fā)展的。分形的應(yīng)用在數(shù)學(xué)內(nèi)部，分形幾何對以往歐氏幾何無能為力的“病態(tài)”曲線的全新解釋是人類認(rèn)識客體不斷開拓的必然結(jié)果。當(dāng)前，人們迫切需要一種能夠更好地研究、描述各種復(fù)雜自然曲線的幾何學(xué)。而分形幾何恰好可以擔(dān)當(dāng)此用。所以說，分形幾何也就是自然幾何，以分形或分形的組合的眼光來看待周圍的物質(zhì)世界就是自然幾何觀。分形的應(yīng)用分形作為一種新的世界觀和方法論，具有廣闊的應(yīng)用前景，在分形的發(fā)展過程中，許多傳統(tǒng)的科學(xué)難題，由于分形的引入而取得顯著進(jìn)展。美國著名物理學(xué)家惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人。分形的應(yīng)用2023/2/5124研究分形2023/2/5125如何來研究分形？如何來研究分形？研究分形遇到的首要問題是如何度量它們，比如，如何比較兩個分形的大??？如何認(rèn)定兩個分形是相似的？如何衡量兩個不同的分形在度量上是等價的？分形是復(fù)雜的、不規(guī)則的系統(tǒng)，從前面提出的康托三分集等分形圖形討論中我們知道，用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度無法去度量分形。

如何來研究分形？分形區(qū)別于傳統(tǒng)幾何對象的一個重要特征就是，它承認(rèn)，空間維數(shù)的變化既可以是離散的，也可以是連續(xù)的。描述分形系統(tǒng)的粗糙、破碎、不規(guī)則、不光滑程度及復(fù)雜性的定量指標(biāo)和手段就是分?jǐn)?shù)維數(shù)，它度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力，刻劃了系統(tǒng)的無序性，表征了動力學(xué)系統(tǒng)最小的基本或獨(dú)立變量的個數(shù)。如何來研究分形？因此關(guān)于各種分形維數(shù)的計(jì)算方法和實(shí)驗(yàn)方法的建立、改進(jìn)和完善，是研究分形的科學(xué)家們普遍關(guān)注的問題。2023/2/5129拓?fù)渚S數(shù)拓?fù)渚S數(shù)

拓?fù)渚S數(shù)是空間幾何體的一個基本量,以Dt表示，它取整數(shù)值。直觀地講，點(diǎn)、線、面、體分別是0、1、2、3維幾何體.點(diǎn)---0維；線---1維；面---2維；體---3維。這里0、1、2、3就是該幾何體的拓?fù)渚S數(shù)。拓?fù)渚S數(shù)

一般地，如果一個幾何體，可以通過對它進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放、位移、拉伸、旋轉(zhuǎn)等拓?fù)渥儞Q，轉(zhuǎn)換成由相互孤立的點(diǎn)組成的幾何體，就稱該幾何體的拓?fù)渚S數(shù)為0；而經(jīng)過上述變換可轉(zhuǎn)換成直線的幾何體的拓?fù)渚S數(shù)是1；余此類推。所以，拓?fù)渚S數(shù)就是幾何對象的經(jīng)典維數(shù)Dt=d，它是不隨幾何對象形狀的變化而變化的整數(shù)維數(shù)。2023/2/5132相似維數(shù)相似維數(shù)將長度為1的線段分為n等分,每段長為r,則

n?r=1將面積為1的正方形n等分,每一個小正方形的邊長為r,則

n?

r2=1將體積為1的正方體n等分,每一個小正方體的邊長為r,則

n?r3=1相似維數(shù)從上面的等式中可以看到,r

的冪次D實(shí)際就是該幾何體的空間維數(shù).這個D與線段的長度r和段數(shù)n沒有關(guān)系，可以統(tǒng)一表示為:

n?rD=1對上式兩邊取對數(shù)得:顯然,D具有維數(shù)的含義.定義相似維數(shù)：設(shè)分形F是自相似的，即F由m

個子集構(gòu)成，每個子集放大c倍（相似比）后同F(xiàn)一樣，則定義F的相似維數(shù)為

相似維數(shù)相似維數(shù)對于一條直線段，將它n等分，共分為m=n段,每段都與原線段相似，相似比為c=n。將一個正方形每邊等分成n段，將它等分成m=n2個小正方形，每個小正方形都與原正方形相似，相似比為c=n。將一個立方體每邊等分成n段，將它等分成m=n3個小立方體，每個小正方體都與原正方體相似，相似比為c=n。一般地，設(shè)一圖形可分解為m個與之相似的子圖形，相似比為c，則圖形的維數(shù)D滿足：cD

=m.相似維數(shù)對Koch曲線而言相似維數(shù)在第n步時,其等長折線段總數(shù)為m=4n,每段的長度為r=(1/3)n

，相似比為c=1/r=3n.則Koch曲線的相似維數(shù)為:相似維數(shù)對康托三分集而言相似維數(shù)在第n步時,其等長線段總數(shù)為m=2n,每段的長度為r=(1/3)n

，相似比為c=1/r=3n.則康托三分集的相似維數(shù)為:2023/2/5141102103104101102103104105101loglogN()英國海岸線的分形維數(shù)D=1.25Mandelbrot算出：英國海岸線的維數(shù)為D=1.25相似維數(shù)正方形與正方體的相似維數(shù)分別等于其拓?fù)渚S數(shù)，這表明相似維數(shù)是拓?fù)渚S數(shù)概念的一種推廣，是有意義的。分維D度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力,刻劃了系統(tǒng)的無序性,表征了動力學(xué)系統(tǒng)最低的基本或獨(dú)立變量的個數(shù).相似維數(shù)但是，相似維數(shù)只適用于整體與局部相似的圖形，因而只對具有嚴(yán)格自相似性的分形才有效，使用范圍有限。所以定義對所有分形圖形都適用的維數(shù)是很有必要的。2023/2/5144豪斯道夫維數(shù)豪斯道夫維數(shù)取長度為l的線段，放大2倍后的長度2l。邊長為l的正方形，每邊長放大2倍的面積為4l2。邊長為l的立方體，每邊長放大2倍的體積為8l3。結(jié)果整理如下：一維圖形（線段）21=2

二維圖形（正方體）22=4

三維圖形（立方體）23=8

歸結(jié)：豪斯道夫維數(shù)

這說明，在一個D維空間中，當(dāng)邊長放大為L倍時，相應(yīng)的規(guī)則幾何體的體積放大為K=LD倍，而D=logK/logL。一般地，當(dāng)測定某集的測度的單位半徑為r，測定的結(jié)果N(r)會隨著r的減小而增大，如果存在數(shù)DH使得測定的結(jié)果N(r)滿足下式：其中C為非零常數(shù)，則該集的維數(shù)為DH，該維數(shù)稱為Hausdorff維數(shù)。Hausdorff維數(shù)具有這樣的性質(zhì)：對于任何一個有確定Hausdorff維數(shù)的幾何體,若用與它相同維數(shù)的“尺r”去度量,則可得到一確定的數(shù)值;若用低于它維數(shù)的“尺”去量它,結(jié)果為無窮大;若用高于它維數(shù)的“尺”去量它,結(jié)果為零.豪斯道夫維數(shù)豪斯道夫維數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為:N(r)～r-DH上式兩邊取自然對數(shù),整理后可得

DH

~lnN(r)/ln(1/r)或

豪斯道夫維數(shù)結(jié)論：對于正規(guī)幾何圖形，分子被分母整除，DH

為整數(shù)，是歐幾里德維數(shù)。對非規(guī)則圖形，分母一般不可整除分子，DH

一般是分?jǐn)?shù)。

豪斯道夫維數(shù)定量地描述了一個集合規(guī)則與不規(guī)則的幾何尺度,其整數(shù)部分反映出圖形的空間規(guī)模(整數(shù)維數(shù)).豪斯道夫維數(shù)對于自相似集來說，其豪斯道夫維數(shù)與相似維數(shù)的計(jì)算公式與結(jié)果都是一樣的。對于非自相似集來說，其豪斯道夫維數(shù)的計(jì)算一般比較困難。2023/2/5151容量維容量維大自然中存在大量的在統(tǒng)計(jì)意義下的自相似體，一般并不知道自相似比。為了解決這類物體的分維計(jì)算，發(fā)展了計(jì)算容量維數(shù)方法.計(jì)算相似比比較復(fù)雜的圖形時，采用小方塊(或圓片、球體、方體等)去覆蓋(或填充)被測對象，統(tǒng)計(jì)覆蓋所需的方塊數(shù)來計(jì)算其維數(shù)。如此方法計(jì)算的維數(shù)稱為容量維。盒子維數(shù)：設(shè)FR是有界集合，其中R是正方形（圓形）。用邊長（半徑）為r的小正方形（小圓形）去覆蓋F，記N(r)為覆蓋F所需要的小正方形（小圓形）的最小個數(shù)。當(dāng)r越來越小時，N(r)越來越大。定義F的盒子維數(shù)為

容量維康托三分集的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/32(1/3)222(1/3)323(1/3)n2n科赫雪花的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(4)/log(3)rN(r)131/33×4(1/3)23×42(1/3)33×43(1/3)n3×4n謝爾賓斯基地毯的容量維r=1D(r)=1r=1/3D(r)=8r=(1/3)2D(r)=82r=(1/3)3D(r)=83D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(8)/log(3)rN(r)111/38(1/3)282(1/3)383(1/3)n8n謝爾賓斯基墊片的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/23(1/2)232(1/2)333(1/2)n3n2023/2/5185構(gòu)造分形圖形迭代生成分形給定初始圖形

F0

，依照某一規(guī)則R對圖形反復(fù)作用

Fk+1=RFk,k=1,2,3,…得到圖形序列

F1,F2,…,其極限圖形是分形，作用規(guī)則R稱為生成元。例如，Cantor集的生成元是VanKoch雪花曲線的生成元是圖形迭代生成分形Minkowski“香腸”圖形迭代生成分形Sierpinski地毯圖形迭代生成分形Hilbert曲線圖形迭代生成分形生物學(xué)家Lindenmayer提出,一個L系統(tǒng)可表示為一個有序的三元素集合：

G=<V,w,P>其中：V是一些運(yùn)動過程集合，w是初始形狀，P是生成式?；ú輼淠?L系統(tǒng)）花草樹木(L系統(tǒng)）例如，F(xiàn)表示向前距離d,+表示左轉(zhuǎn)彎,-表示右轉(zhuǎn)彎，[表示壓棧，]表示出棧。

花草樹木(L系統(tǒng)）花草樹木(L系統(tǒng)）花草樹木(L系統(tǒng)）2012年7月197六、結(jié)束語1.分形幾何學(xué)與歐幾里得幾何學(xué)的比較描述的對象特征長度表達(dá)方式維數(shù)歐幾里得幾何學(xué)自然界和人類社會中簡單規(guī)則的構(gòu)型和現(xiàn)象有數(shù)學(xué)公式0，1，2或3分形幾何學(xué)自然界和人類社會中復(fù)雜奇異的構(gòu)型和現(xiàn)象無迭代語言一般是分?jǐn)?shù)（也可以是正整數(shù)）2012年7月1982.陳省身的觀點(diǎn)

歷史上幾何學(xué)的發(fā)展可以分為以下七個時期：（1）公理化體系的奠基（歐幾里德）；（2）坐標(biāo)系的建立（笛卡兒，費(fèi)馬）；（3）微積分學(xué)的創(chuàng)立（牛頓，萊布尼茲）；（4）群論觀點(diǎn)的引入（克萊因，李）；（5）流形理論的建立（黎曼）；（6）纖維叢理論的建立（嘉當(dāng)，惠特尼）；（7）分形幾何學(xué)的興起、發(fā)展（曼德爾布羅特）。2012年7月1993.分形幾何學(xué)發(fā)展的意義和作用

數(shù)千年來，無論是在思想領(lǐng)域的突破上，還是在科學(xué)方法論的建立上，幾何學(xué)總是扮演著開路先鋒的角色。當(dāng)今被譽(yù)為開創(chuàng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)重要階段的分形幾何學(xué)，已發(fā)展成為科學(xué)的方法論——分形理論，并被應(yīng)用到各具特色的自然科學(xué)領(lǐng)域、一些工程技術(shù)和社會科學(xué)領(lǐng)域之中，取得了巨大成就。分形幾何學(xué)是

20世紀(jì)80年代科學(xué)思想和方法的一個突破口，是數(shù)學(xué)寶庫中的一朵絢麗的奇葩。正如歐幾里得幾何學(xué)對初等數(shù)學(xué)、解析幾何學(xué)對高等數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響一樣，分形幾何學(xué)對當(dāng)今的數(shù)學(xué)乃至整個科學(xué)已經(jīng)產(chǎn)生了較大的影響。2012年7月200

事實(shí)上，宇宙的本質(zhì)是非線性的，這種非線性現(xiàn)象的共性主要體現(xiàn)在混沌、孤立子和分形三個方面?？梢灶A(yù)料，屬于非線性科學(xué)的分形幾何學(xué)必將隨著人們對自然界、人類社會的深入研究和不斷探索而登上21世紀(jì)科學(xué)研究的舞臺，對未來的科學(xué)發(fā)展產(chǎn)生很大的推動作用。2012年7月2014.多姿多彩的分形幾何學(xué)火焰

分形幾何學(xué)的興起、發(fā)展，是人類認(rèn)識世界、駕馭自然的歷史必然。分形幾何學(xué)在當(dāng)代社會中顯得如此重要，以至于美國杰出的物理學(xué)家（兩彈元勛、現(xiàn)代廣義相對論之父）、物理學(xué)思想家、物理學(xué)教育家惠勒（Wheeler，1911.07.09——2007.04.13）竟斷言：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人?！?012年7月202

據(jù)說法國拓