2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)83空間點(diǎn)直線平面間的位置關(guān)系

§8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的地點(diǎn)關(guān)系考綱展現(xiàn)?1.理解空間直線、平面地點(diǎn)關(guān)系的定義．2．認(rèn)識(shí)可以作為推理依照的公義和定理．3．能運(yùn)用公義、定理和已獲取的結(jié)論證明一些空間圖形的地點(diǎn)關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．考點(diǎn)1平面的基天性質(zhì)及應(yīng)用平面的基天性質(zhì)公義1：假如一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公義2：過________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公義3：假如兩個(gè)不重合的平面有________公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公義2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條________直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條________直線有且只有一個(gè)平面．答案：(1)兩點(diǎn)(2)不在一條直線上(3)一個(gè)訂交平行(1)[教材習(xí)題改編]直線a，b，c兩兩平行，但不共面，經(jīng)過此中兩條直線的平面的個(gè)數(shù)為( )A．1B．3C．6D．0答案：B(2)[教材習(xí)題改編]兩兩訂交的三條直線最多可確立________個(gè)平面．答案：3判斷點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題：直接法(直接運(yùn)用公義或定理)．第-1-頁共15頁1(1)以以下圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC＝2AD，BE1＝2FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．①四邊形BCHG的形狀是________；②點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，G中，能共面的四點(diǎn)是________．答案：①平行四邊形②，，，CDEF分析：①∵G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，11∴GH綊2AD.又BC綊2AD，所以GH綊BC，所以四邊形BCHG為平行四邊形．1②由BE＝2FA，G為FA的中點(diǎn)知，BE＝FG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面．又D∈FH，所以C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC與BD交于點(diǎn)M，則點(diǎn)O與直線C1M的關(guān)系是________．答案：點(diǎn)O在直線C1M上分析：以以下圖，由于A1C?平面A1ACC1，O∈A1C，所以O(shè)∈平面A1ACC1，而O是平面BDC1與直線A1C的交點(diǎn)，所以O(shè)∈平面BDC1，所以點(diǎn)O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上．由于AC∩BD＝M，所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1，所以平面BDC1∩平面A1ACC1＝C1M，所以O(shè)∈C1M.第-2-頁共15頁[典題1](1)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是( )①不共面的四點(diǎn)中，此中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④挨次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3[答案]B[分析]①明顯是正確的，可用反證法證明；②中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不必定共面；③構(gòu)造長(zhǎng)方體如圖，明顯b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故只有①正確．已知空間四邊形ABCD(以以下圖)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD11上的點(diǎn)，且CG＝3BC，CH＝3DC.第-3-頁共15頁求證：①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②三直線FH，EG，AC共點(diǎn)．[證明]①連接EF，GH，∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.11又∵CG＝3BC，CH＝3DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．②易知FH與直線AC不平行，但共面，∴設(shè)FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH，EG，AC共點(diǎn)．[點(diǎn)睛之筆]共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：①第一由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確立一個(gè)平面，而后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將全部條件分為兩部分，而后分別確立平面，再證兩平面重合．證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：①先由兩點(diǎn)確立一條直線，再證其余各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．證明線共點(diǎn)問題的常用方法：先證此中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其余直線經(jīng)過該點(diǎn)．考點(diǎn)2空間兩直線的地點(diǎn)關(guān)系第-4-頁共15頁(1)[教材習(xí)題改編]已知直線a與b平行，直線c與b訂交，則直線a與c的地點(diǎn)關(guān)系是________．答案：訂交或異面分析：當(dāng)直線c在直線a與b確立的平面內(nèi)時(shí)，a與c訂交；當(dāng)直線c與直線a，b確立的平面訂交時(shí)，a與c異面．(2)[教材習(xí)題改編]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，PQ是異面直線A1D與AQ的公垂線，則直線PQ與BD1的地點(diǎn)關(guān)系為________．(填序號(hào))①平行；②異面；③訂交但不垂直；④垂直．答案：①分析：∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C.又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C.∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1，同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C，∴PQ∥BD1.兩條直線關(guān)系判斷誤區(qū)：異面直線看法、理解不透．以下關(guān)于異面直線的說法正確的選項(xiàng)是________．①若?α，?，則a與b是異面直線；abβ②若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；③若a，b不一樣在平面α內(nèi)，則a與b異面；④若，b不一樣在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面．a(chǎn)第-5-頁共15頁答案：④分析：①②③中的兩直線可能平行、訂交或異面，由異面直線的定義可知④正確．[考情聚焦]空間兩條直線地點(diǎn)關(guān)系的判斷是每年高考?？純?nèi)容，而且常作為某一選項(xiàng)來觀察，此中異面直線及平行關(guān)系是觀察的要點(diǎn)．主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一兩直線地點(diǎn)關(guān)系的判斷[典題2](1)已知a，b，c為三條不重合的直線，已知以下結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.此中正確的個(gè)數(shù)為( )A．0B．1C．2D．3[答案]B[分析]解法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能訂交，還可能異面，所以①②錯(cuò)誤，③明顯成立．解法二：構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型可快速判斷，①②錯(cuò)誤，③正確．(2)[2017·浙江余姚模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是( )A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行[答案]D第-6-頁共15頁[分析]如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN與CC1垂直，故A正確；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN與AC垂直，故B正確；∵A1B1與BD異面，MN∥BD，∴MN與A1B1不行能平行，故D錯(cuò)誤．應(yīng)選D.[點(diǎn)睛之筆]點(diǎn)、線、面之間的地點(diǎn)關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的地點(diǎn)關(guān)系，正確判斷線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直．角度二異面直線的判斷[典題3](1)在以下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的極點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上全部正確答案的序號(hào))①②第-7-頁共15頁③④[答案]②④[分析]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，所以直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，所以GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，所以GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．(2)如圖為正方體表面的一種睜開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為________對(duì)．[答案]3[分析]平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)地點(diǎn)的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，明顯AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF訂交，CD與GH訂交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對(duì)．[點(diǎn)睛之筆]異面直線的判斷常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或訂交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)必定兩條直線異面．此法在異面直線的判斷中常常用到．考點(diǎn)3異面直線所成角[典題4]如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( )第-8-頁共15頁12A.5B.534C.5D.5[答案]D[分析]連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1知，AA＝2，AC＝2，AB＝BC＝5，11111115＋5－242×5×55則異面直線1與1所成角的余弦值為4.ABAD5[題點(diǎn)發(fā)散1]將題干條件“AA＝2AB＝2”改為“AB＝1，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)1到極點(diǎn)1的距離為1”，問題不變．A解：因平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到A1的距離為1，則AA1＝1.此時(shí)正四棱柱變成正方體ABCD－A1B1C1D1，由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1，連接A1C1.則△A1BC1為等邊三邊形，∴∠A1BC1＝60°，1cos∠A1BC1＝2，1故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.2[題點(diǎn)發(fā)散2]將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若異面直線A1B與AD1所成角的9AA1余弦值為10”，試求AB的值．AA1解：設(shè)AB＝t，則AA1＝tAB.第-9-頁共15頁∵AB＝1，∴AA1＝t.∵A1C1＝2，A1B＝t2＋1＝BC1，11t2＋1＋t2＋1－292×t2＋1×t2＋110AA1∴t＝3，即AB＝3.[題點(diǎn)發(fā)散3]將題干條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，且平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到極點(diǎn)1的距離為1”，則能否存在過極點(diǎn)A的直線l，使l與棱，，1所成角都相等．若AABADAA存在，存在幾條？若不存在，請(qǐng)說明原由．解：由條件知，此時(shí)正四棱柱為正方體．如圖，連接對(duì)角線AC1，明顯AC1與棱AB，AD，AA1所成角都相等，聯(lián)想正方體的其余體對(duì)角線．如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，由于BB1∥AA1，BC∥AD，所以體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等．同理體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成角都相等，故過A作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足，故這樣的直線可以作4條．[點(diǎn)睛之筆]用平移法求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；三求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD所成的角為60°，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角的大?。猓航夥ㄒ唬喝鐖D，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，第-10-頁共15頁11則PM∥AB，且PM＝2AB，PN∥CD，且PN＝2CD，所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.若∠MPN＝60°，由于PM∥AB，所以∠PMN(或其補(bǔ)角)是AB與MN所成的角．又由于AB＝CD，所以PM＝PN，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即AB與MN所成的角為60°.若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°.綜上知，直線AB和MN所成的角為60°或30°.解法二：由AB＝CD，可以把該三棱錐放在長(zhǎng)方體AA1BB1－C1CD1D中進(jìn)行考慮，如圖，由M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以MN∥AA1，即∠BAA1(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角．第-11-頁共15頁連接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD，即∠AOA1(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．所以∠AOA1＝60°或120°.由矩形AA1BB1的性質(zhì)可得∠BAA1＝60°或30°.所以直線AB和MN所成的角為60°或30°.[方法技巧]1.要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確立一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“歸入法”)．2．要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只需證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，依據(jù)公義3可知這些點(diǎn)在交線上，所以共線．3．判斷空間兩條直線是異面直線的方法(1)判判定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．反證法：證明兩線不行能平行、訂交或證明兩線不行能共面，從而可得兩線異面．4．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是經(jīng)過平行挪動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)變成共面問題來解決．依據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與極點(diǎn)地點(diǎn)沒關(guān)．[易錯(cuò)防備]1.異面直線是“不一樣在任何一個(gè)平面內(nèi)”的直線，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”．2．不共線的三點(diǎn)確立一個(gè)平面，必定不可以拋棄“不共線”條件．π3．兩條異面直線所成角的范圍是0，2.4．兩異面直線所成的角歸納到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，簡(jiǎn)單忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．真題演練集訓(xùn)1．[2016·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]平面α過正方體ABCD－ABCD的極點(diǎn)A，α∥平面CBD，111111α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.3B.22231C.3D.3答案：A分析：由于過點(diǎn)A的平面α與平面CBD平行，平面ABCD∥平面ABCD，所以m∥BD11111111∥，又1∥平面11，所以∥1，則與1所成的角為所求角，所以，所成角的BDABCBDnABBDABmn第-12-頁共15頁3正弦值為2，應(yīng)選A.2．[2015·安徽卷]已知m，n是兩條不一樣直線，α，β是兩個(gè)不一樣平面，則以下命題正確的是( )A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不行能垂直于同一平面答案：D分析：可以聯(lián)合圖形逐項(xiàng)判斷．A項(xiàng)，α，β可能訂交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的地點(diǎn)關(guān)系不確立，可能訂交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，應(yīng)選D.3．[2014·遼寧卷]已知m，n表示兩條不一樣直線，α表示平面．以下說法正確的選項(xiàng)是( )A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α答案：B分析：解法一：若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、訂交或異面，A錯(cuò)；若m⊥α，nα，則m⊥n，由于直線與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任向來線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥a或n?α，C錯(cuò)；若m∥α，m⊥n，則n與α可能訂交，可能平行，也可能n?α，D錯(cuò)．解法二：如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A項(xiàng)中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，但m與n是訂交直線，故A第-13-頁共15頁錯(cuò)．B項(xiàng)中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確．C項(xiàng)中，若m為AA′，n為，滿足⊥α，⊥，但?α，故C錯(cuò)．D項(xiàng)中，若為′′，為′′，滿足ABmmnnmABnBCm∥α，m⊥n，但n∥α，故D錯(cuò)．[2015·浙江卷]如圖，在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝