第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布第二節(jié)離散型隨機(jī)變量第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量第四節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第六節(jié)幾種重要的離散型分布第七節(jié)幾種重要的連續(xù)型分布一、分布函數(shù)的定義

為了對(duì)離散型的和連續(xù)型的隨機(jī)變量以及更廣泛類型的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，我們引進(jìn)分布函數(shù)的概念.

定義

設(shè)X為一隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)F(x)＝P{X≤x}為X的分布函數(shù)。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

已知離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)，如何求它的分布函數(shù)？

反過(guò)來(lái)，已知離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如何求它的概率函數(shù)？例

設(shè)X的概率分布表如下，求分布函數(shù)F(x).解右連續(xù)1/31/61/21/31/61/2離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為一階梯形曲線；分段點(diǎn)恰在其所有的可能取值點(diǎn)處，在分段點(diǎn)處跳躍的高度恰為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率；在分段點(diǎn)處右連續(xù).例

已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的概率分布表.解

X的可能取值為0，2，5，P{X=0}=1/3P{X=2}=2/3-1/3=1/3P{X=5}=1-2/3=1/3取各值的概率為概率分布表如下:XP0251/31/31/3例(P43)

如果隨機(jī)變量X只取一個(gè)值c，即P{X=c}=1，求X的分布函數(shù)F(x)．連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為f(x),可求得其分布函數(shù)為

而且由于f(x)可積，故F(x)連續(xù)。這也是連續(xù)型隨機(jī)變量名稱的由來(lái)。

反過(guò)來(lái)，已知連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)，可求得其密度函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分注：F(x)是連續(xù)的；而

f(x)是非負(fù)可積的，不一定連續(xù)；解由均勻分布的的定義知密度函數(shù)為例(P43)

X～U[a,b]，求F(x).當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的圖像是一條連續(xù)的曲線.解例(P44)

設(shè)隨機(jī)變量Ｘ具有概率密度函數(shù)確定常數(shù)Ａ以及Ｘ的分布函數(shù)。由密度函數(shù)的性質(zhì)即若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)則稱Ｘ服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。分布函數(shù)的性質(zhì)：(4)F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)，且在任一間斷點(diǎn)處右連續(xù)，即或分布函數(shù)的性質(zhì)：(4)F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)，且在任一間斷點(diǎn)處右連續(xù)，即或有界性單調(diào)不減性漸近性右連續(xù)性分布函數(shù)的性質(zhì)：右連續(xù)性有界性單調(diào)不減性

這四條性質(zhì)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。漸近性解:①由分布函數(shù)的性質(zhì)(3)解得

A=1/2,B=1/

例(P45)

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求：①常數(shù)A、B之值；②密度函數(shù)f(x)；③P{0≤X≤1}.

②柯西分布③或

計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量取值在某個(gè)區(qū)間上的概率的兩種方法：小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

1.隨機(jī)變量的概念；

2.離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)的定義和性質(zhì)；

3.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的定義和性質(zhì)；

4.分布函數(shù)的定義和性質(zhì)。要充分理解這些概念和性質(zhì)。本節(jié)常見的習(xí)題題型有：1.求

f(x)或

F(x)中的待定常數(shù)；2.已知

f(x),

求

F(x)；3.已知

F