第六章6.4分布函數(shù)

6.4分布函數(shù)說(shuō)明

(2)利用分布函數(shù)可以更方便求研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.不加證明地給出分布函數(shù)的一些性質(zhì):(1)(單調(diào)性)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有(2)(有界性)(3)(右連續(xù)性)不可能事件必然事件設(shè)是離散型隨機(jī)變量X的分布律,則X的分布函數(shù)為：反過(guò)來(lái),若F(x)為離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù),則X的分布律為:

可見,離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)是相互唯一確定,均能完整地描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.（一）離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X服從（0-1）分布，其分布律為【解】由于分布函數(shù)是累積和，故對(duì)離散型隨機(jī)變量需分段考慮，X的所有可能取值就是分界點(diǎn)。求X的分布函數(shù)，并作出其圖形。這里，X只取0，1兩個(gè)值，它們將整個(gè)實(shí)軸分為三個(gè)區(qū)間:(-∞，0),[0，1)和[1,+∞)。

當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),【例1】

當(dāng)時(shí),故X的分布函數(shù)為:分布函數(shù)的圖形設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為【解】注意到隨機(jī)變量X只取三點(diǎn)：-1，2，3，故由概率的可加性易得分布函數(shù)求X的分布函數(shù)和概率P{X≤0.5},P{1.5<X≤2.5},P{2≤X≤3}.【例2】各概率可以利用分布律或分布函數(shù)求得.方法1

利用分布列

方法2

利用分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的定義域是(-∞,+∞),值域[0,1];當(dāng)離散型隨機(jī)變量X取k個(gè)可能值時(shí),應(yīng)分k+1個(gè)區(qū)間分別求出F(x)的值,即就x落在上述各區(qū)間內(nèi)計(jì)算{X≤x}所含可能值概率的累積和;離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù).注意（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義：設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，或密度函數(shù)，也稱概率密度。

性質(zhì)：1.2.從圖形上來(lái)看，性質(zhì)1表示X的概率密度f(wàn)(x)位于x軸上方，性質(zhì)2表示f(x)與x軸所圍區(qū)域面積等于1.3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有從圖形上來(lái)看，性質(zhì)3表示X落在區(qū)域的概率等于相應(yīng)的曲邊梯形的面積。4.若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X來(lái)說(shuō)，通過(guò)F(x)求導(dǎo)得f(x)，通過(guò)f(x)積分得F(x)。5.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定實(shí)數(shù)值的概率為零．即由性質(zhì)5，易得：注：對(duì)離散型隨機(jī)變量，上式不成立。幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布一、均勻分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從上的均勻分布。記為均勻分布的概率密度和分布函數(shù)圖形如下：分布函數(shù)：

例：設(shè)某公共汽車站從早上7:00開始每隔15分鐘到站一輛汽車，即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻有汽車達(dá)到此站．如果一個(gè)乘客到達(dá)該站的時(shí)刻服從7:00到7:30之間的均勻分布．求他等待時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率．

解：設(shè)X表示乘客到達(dá)該車站的時(shí)間，則

乘客等待時(shí)間不超過(guò)5分鐘當(dāng)且僅當(dāng)他在7:10到7:15之間或在7:25到7:30之間到達(dá)車站．因此所求概率為思考設(shè)ξ在[-1，5]上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解方程有實(shí)數(shù)根即而的密度函數(shù)為故所求概率為二、指數(shù)分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中λ

>0,則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為

X～E(λ)分布函數(shù)：

例：設(shè)某人到銀行取款時(shí)的排隊(duì)時(shí)間X(分鐘)服從指數(shù)分布，其概率密度為1.試確定常數(shù)λ;2.計(jì)算排隊(duì)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率;3.計(jì)算排隊(duì)時(shí)間在10分鐘到20分鐘的概率．解：1.由得：

2.

3.指數(shù)分布的無(wú)記憶性：對(duì)于一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，如果對(duì)于一切s,t≥0，有則稱這個(gè)隨機(jī)變量具有無(wú)記憶性。

直觀理解：若X表示儀器的壽命，那么上式說(shuō)明:已知此儀器已使用t時(shí)，它總共能工作s+t小時(shí)的概率等于從開始使用時(shí)算起，它至少能工作s小時(shí)的概率．也就是說(shuō)：它對(duì)之前工作過(guò)t小時(shí)無(wú)記憶。容易驗(yàn)證：指數(shù)分布是無(wú)記憶的。三、正態(tài)分布定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中μ，為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布記為正態(tài)分布的圖形具有如下特點(diǎn)：1.f(x)為關(guān)于x=μ的對(duì)稱鐘形曲線2.f(x)為在x=μ取得最大值μ，σ對(duì)概率密度曲線的影響正態(tài)分布的分布函數(shù)：特別地，當(dāng)時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分