第1章信號及其描述-1

車輛測試技術(shù)第1章信號及其描述信號的分類與描述周期信號與離散頻譜順變非周期信號與連續(xù)頻譜隨機(jī)信號車輛測試技術(shù)第一節(jié)信號的分類與描述概述信號的分類信號的時(shí)域和頻域描述信號的定義：物理角度，數(shù)學(xué)角度，工程角度。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是函數(shù)，就是某一變量隨時(shí)間或頻率或其他變量而變化的函數(shù)。信號表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到的，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質(zhì)上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上。車輛測試技術(shù)一、概述交通信號燈信息信號信息的載體是光信號紅燈亮黃燈亮綠燈亮停止通行注意車輛測試技術(shù)如心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳動(dòng)的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上作為病人病例記錄。車輛測試技術(shù)

信號的分類主要是依據(jù)信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。信號波形：被測信號的幅度隨時(shí)間的變化的歷程稱為信號波形。信號波形電容傳聲器齒輪嚙合振動(dòng)二、信號的分類

車輛測試技術(shù)常見標(biāo)準(zhǔn)信號波形車輛測試技術(shù)信號波形圖：用被測物理量的強(qiáng)度作為縱坐標(biāo)，用時(shí)間做橫坐標(biāo)，記錄被測物理量隨時(shí)間的變化情況。車輛測試技術(shù)

為深入了解信號的物理實(shí)質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：從信號描述上：確定性信號與非確定性信號；從信號幅值和能量：能量信號與功率信號；從分析域：時(shí)域與頻域；從連續(xù)性：連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號；從可實(shí)現(xiàn)性：物理可實(shí)現(xiàn)信號與物理不可實(shí)現(xiàn)信號。車輛測試技術(shù)1、確定性信號與非確定性信號

可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號稱為非確定性信號。信號非確定性信號確定性信號非平穩(wěn)隨機(jī)信號平穩(wěn)隨機(jī)信號非周期信號周期信號簡單周期信號一般周期信號準(zhǔn)周期信號瞬態(tài)信號車輛測試技術(shù)周期信號：按一定時(shí)間間隔周而復(fù)始出現(xiàn)的信號

x(t)

=

x(t+nT)簡單周期信號一般周期信號車輛測試技術(shù)諧波信號頻率單一的正弦或余弦信號。簡單周期信號：信號的“波形”車輛測試技術(shù)+=x1(t)=A1Sin(ω1t+θ1)=A1Sin(2π?1t+θ1)=10Sin(2π·3·t+π/6)x2(t)=A2Sin(ω2t+θ2)=A2Sin(2π?2t+θ2)=5Sin(2π·2·t+π/3)x3(t)=10Sin(2π·3·t+π/6)+5Sin(2π·2·t+π/3)+=由多個(gè)乃至無窮多個(gè)頻率成分疊加而成，疊加后存在公共周期的信號一般周期信號:車輛測試技術(shù)b)非周期信號：再不會重復(fù)出現(xiàn)的信號。準(zhǔn)周期信號:由多個(gè)周期信號合成，其中至少有一對頻率比不是有理數(shù)。車輛測試技術(shù)瞬態(tài)信號：在有限時(shí)間段內(nèi)存在，或隨著時(shí)間的增加而幅值衰減至零的信號。0車輛測試技術(shù)(a)錘擊物體的力信號(b)T’段為汽車加速過程信號(c)半個(gè)正弦信號(d)矩形窗信號車輛測試技術(shù)c)非確定性信號：不能用數(shù)學(xué)式描述，其幅值、相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過程。平穩(wěn)與非平穩(wěn)噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計(jì)特性變異車輛測試技術(shù)2.連續(xù)信號與離散信號時(shí)間幅值連續(xù)離散被采樣信號模擬信號連續(xù)離散量化信號數(shù)字信號車輛測試技術(shù)(a)汽車速度連續(xù)信號(b)開水房鍋爐水溫度的變化連續(xù)信號車輛測試技術(shù)(c)每日股市的指數(shù)變化（離散信號）(d)某地每日的平均氣溫變化（離散信號）(e)每隔5分鐘測定開水房鍋爐水的溫度變化（離散信號）(f)每隔2微妙對正弦信號采樣獲得的離散信號車輛測試技術(shù)3.能量信號與功率信號

a)能量信號當(dāng)信號x(t)在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：

一般持續(xù)時(shí)間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。車輛測試技術(shù)b)功率信號當(dāng)信號x(t)在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量。此時(shí)，在有限區(qū)間(t1,t2)內(nèi)的平均功率是有限的。一般持續(xù)時(shí)間無限的信號都屬于功率信號。噪聲信號一般周期信號車輛測試技術(shù)信號的時(shí)域描述：以時(shí)間為獨(dú)立變量，其強(qiáng)調(diào)信號的幅值隨時(shí)間變化的特征。信號的頻域描述：以角頻率或頻率為獨(dú)立變量，其強(qiáng)調(diào)信號的幅值和相位隨頻率變化的特征。三、信號的時(shí)域和頻域描述信號的“域”時(shí)域頻域車輛測試技術(shù)時(shí)域描述：直接觀測或記錄到的信號，以時(shí)間為獨(dú)立變量的，稱其為信號的時(shí)域描述。車輛測試技術(shù)頻域描述：以頻率作為變量的，稱其為信號的頻域描述。周期信號的頻域描述車輛測試技術(shù)第二節(jié)周期信號與離散頻譜傅立葉級數(shù)三角展開傅立葉級數(shù)復(fù)指數(shù)展開車輛測試技術(shù)時(shí)域分析反映信號的幅值隨時(shí)間的變化情況，頻域分析反映信號的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

28車輛測試技術(shù)

信號頻域分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從另一個(gè)角度來了解信號的特征。8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里葉變換一.周期信號的頻譜分析——傅立葉級數(shù)三角展開車輛測試技術(shù)時(shí)間幅值頻率時(shí)域分析頻域分析信號的頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時(shí)域信號波形更直觀，豐富的信息。時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系譜線車輛測試技術(shù) 在有限區(qū)間上，一個(gè)周期信號x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)可展開正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)。 式中，T――周期，ω0――基波圓頻率，

。注意：an是n或nω0的偶函數(shù)，a-n=an；

bn是n或nω0的奇函數(shù)，b-n=-bn。

車輛測試技術(shù)狄里赫利條件:（1）函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個(gè)。（2）函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點(diǎn)為有限個(gè)。（3）在一周期內(nèi)函數(shù)絕對值積分為有限值。即車輛測試技術(shù)信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)式：

式中，

An稱信號頻率成分的幅值，φn稱初相角。注意：An是n或nω0的偶函數(shù)，A-n=An；

φn是n或nω0的奇函數(shù)，φ-n=-φn。

并可知：n＝1,2,……n＝1,2,……車輛測試技術(shù)小結(jié)與討論式中第一項(xiàng)a0為周期信號中的常值或直流分量；從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；將信號的角頻率ω0作為橫坐標(biāo)，可分別畫出信號幅值A(chǔ)n和相角φn隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。

車輛測試技術(shù)例1求圖所示的周期方波信號x（t）的傅里葉級數(shù)及其頻譜。 解：信號x（t）在它的一個(gè)周期中的表達(dá)式為：

有：圖周期方波信號

注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosnω0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而一個(gè)奇函數(shù)在上、下限對稱區(qū)間上的積分值等于零。

車輛測試技術(shù)可得周期方波信號的傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：

周期方波信號的頻譜圖車輛測試技術(shù)周期函數(shù)的奇偶特性若周期函數(shù)x(t)為奇函數(shù)，即x(t)=-x(-t)若周期函數(shù)x(t)偶函數(shù)，即x(t)=x(-t)車輛測試技術(shù)周期性三角波作業(yè):周期性三角波的三角頻譜車輛測試技術(shù)周期信號頻譜特點(diǎn)

1、由于

為整數(shù)，各頻率分量僅在

的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值

和相角

的離散譜線﹔2、諸分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍﹔3、各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值和相位角，工程上常見的信號，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小的。周期信號的頻譜具有離散性、諧波性和收斂性三個(gè)特點(diǎn)。車輛測試技術(shù)歐拉公式則那么令二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式：an是n的偶函數(shù)，a-n=an；bn是n的奇函數(shù)，b-n=-bn。

車輛測試技術(shù)即由所以即車輛測試技術(shù)一般情況下，Cn是復(fù)數(shù)42Cn與C-n共軛把周期函數(shù)x(t)展開為傅立葉級數(shù)以后，作關(guān)系圖

CnR—ω0稱為實(shí)頻圖

CnI—ω0稱為虛頻圖

|Cn|—ω0稱為雙邊幅頻圖，n=-∞~+∞，nω=-∞~+∞，

φn—ω0稱為雙邊相頻圖車輛測試技術(shù)解：有

例

求周期矩形脈沖的頻譜，設(shè)周期矩形脈沖的周期為T，脈沖寬度為τ，如下圖所示。圖周期矩形脈沖

由于ω0=2π/T，代入上式得 定義

則上式變?yōu)?可得到周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式為的圖像:車輛測試技術(shù)傅里葉變換傅里葉變換的主要性質(zhì)幾種典型信號的頻譜第三節(jié)

瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜車輛測試技術(shù)非周期信號準(zhǔn)周期信號信號中各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)具有離散頻譜瞬變信號在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在或隨時(shí)間的增長衰減至零準(zhǔn)周期信號x(t)0tx(t)0t瞬變信號I0tx(t)瞬變信號II車輛測試技術(shù)車輛測試技術(shù)一.瞬變非周期信號頻譜的求取方法周期信號x(t)，在[-T/2,T/2]區(qū)間內(nèi)式中，當(dāng)T→∞時(shí)，

①積分區(qū)間由[-T/2,T/2]變?yōu)?-∞,∞)；

②ω0=2π/T

→0，→離散頻率nω0→連續(xù)變量ω。

X(ω)為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把X(ω)稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。一般為復(fù)數(shù)，用X(ω)表示為：X(ω)稱為信號x(t)的傅立葉變換。

車輛測試技術(shù)傅立葉逆變換當(dāng)T→∞時(shí)，ω0=2π/T→0

，①ω0=dω②離散頻率nω0→連續(xù)變量ω③求和Σ→積分。則：x(t)為X(ω)的傅立葉逆變換（反變換）周期信號瞬變非周期信號傅立葉變換對由于ω=2π?52-f

連續(xù)幅值譜-f

連續(xù)相位譜矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù)

例:矩形窗函數(shù)的頻譜矩形窗函數(shù)頻譜例：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜周期和非周期信號幅值譜的區(qū)別

①|(zhì)X(?)|為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；②|Cn|的量綱和信號幅值的量綱一致，即振幅，而|X(?)|的量綱相當(dāng)于|Cn|/?，為單位頻寬上的幅值，即“頻譜密度函數(shù)”，振幅/頻率（如cm/Hz）。非周期信號幅值譜|X(?)|與周期信號幅值譜|Cn|之間的區(qū)別：車輛測試技術(shù)二.傅立葉變換的性質(zhì)a.若x(t)是實(shí)函數(shù)a1.若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實(shí)偶函數(shù)；a2.若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是虛奇函數(shù)；b.若x(t)是虛函數(shù)b1.若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是虛偶函數(shù)；b2.若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實(shí)奇函數(shù)。1.奇偶虛實(shí)性車輛測試技術(shù)如果有則2.線性疊加性

證明﹕

車輛測試技術(shù)例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化車輛測試技術(shù)3.對稱性若:(時(shí)域信號)x(t)?X(?)(頻域信號)，則X(t)?x(-?)

11車輛測試技術(shù)對稱性：X(t)x(-f)證明：

互換t

和f從而：X(t)x(-f)車輛測試技術(shù)4.時(shí)間尺度改變特性若，則對于實(shí)常數(shù)，有當(dāng)時(shí)域尺度壓縮(>1)時(shí)，對應(yīng)的頻域展寬且幅頻譜譜線高度減??；當(dāng)時(shí)域尺度展寬(<1)時(shí)，對應(yīng)的頻域壓縮且幅頻譜譜線高度增加。信號的持續(xù)時(shí)間與信號占有的頻帶寬成反比。車輛測試技術(shù)信號持續(xù)時(shí)間擴(kuò)展k倍(k>1)，則信號的頻寬壓縮k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼膋倍。

k=1時(shí)間尺度改變性

證明：（k>0）（k<0）綜上所述時(shí)間尺度改變特性表明：信號在時(shí)域中壓縮（k>1，變化速度加快）等效于在頻域擴(kuò)展（頻帶加寬）；反之亦然。5.時(shí)移性65若，則在時(shí)域中信號沿時(shí)間軸平移一常值t0（時(shí)移），則如果信號在時(shí)域中延遲了時(shí)間t0，其頻譜幅值不會改變，而相頻譜中各次諧波的相移-2π?t0，與頻率成正比。

例求圖所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜。解：該函數(shù)可視為一個(gè)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時(shí)移至t0點(diǎn)位置所形成，則其傅里葉變換及幅頻譜和相頻譜分別為證明：若t0為常數(shù)

則時(shí)移結(jié)果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜時(shí)移性質(zhì)

圖x(t)cosω0t的頻譜6.頻移性若，在頻域中信號沿頻率軸平移一常值?0（頻移），則證明：若f0為常數(shù)

則頻移性質(zhì)

時(shí)域表達(dá)式例:求被截取的余弦信號的頻譜函數(shù)7.卷積定理對于任意兩個(gè)函數(shù)x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則 1.兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的卷積，對應(yīng)于頻域中的乘積2.兩個(gè)函數(shù)在時(shí)域中的乘積，對應(yīng)于頻域中的卷積

x1(t)*x2(t)?X1(?)·X2(?)x1(t)·x2(t)?X1(?)*X2(?)車輛測試技術(shù)時(shí)域卷積特性證明71對于x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則

x1(t)*x2(t)?X1(?)X2(?)

頻域卷積特性證明對于和，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則

x1(t)x2(t)?X1(?)*X2(?)8.微分特性：證明：同理：車輛測試技術(shù)能量信號和功率信號

能量(energy)信號：例如：在右圖所示的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)中： 由彈簧所積蓄的彈性勢能為x2(t);

若x(t)表達(dá)為運(yùn)動(dòng)速度，則x2(t)反映的是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能。定義：當(dāng)x（t）滿足關(guān)系式

則稱信號x（t）為有限能量信號，簡稱能量信號。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號等均屬這類信號。圖單自由度振動(dòng)系統(tǒng)車輛測試技術(shù)功率(power)信號：當(dāng)信號滿足條件 亦即信號具有有限的（非零）平均功率，則稱信號為有限平均功率信號，簡稱功率信號。車輛測試技術(shù)功率信號的傅里葉變換

只有滿足狄里赫利條件的信號才具有傅里葉變換，即。 有限平均功率信號，它們在(-∞,∞)區(qū)域上的能量可能趨近于無窮，但它們的功率是有限的，即滿足 利用δ函數(shù)和某些高階奇異函數(shù)的傅立葉變換來實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的傅立葉變換。三、幾種典型信號的頻譜在ε時(shí)間內(nèi)激發(fā)矩形脈沖（或三角脈沖、雙邊指數(shù)脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為1；1.單位脈沖函數(shù)δ(t)及其頻譜各種單位面積為1的脈沖矩形脈沖到δ函數(shù)

當(dāng)ε→0時(shí)，的極限就稱為單位脈沖函數(shù)，記作δ(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。

(1)δ(t)的定義從極限角度:(2)δ(t)的特性從面積角度:矩形脈沖到δ函數(shù)車輛測試技術(shù)(3)δ(t)乘積性車輛測試技術(shù)(4)δ(t)的篩選性令t-τ=t’，則τ=t-t’，dτ=-dt’，代入則結(jié)果：x(t)與δ(t)的卷積等于x(t)。

δ函數(shù)的卷積特性(5)δ(t)與其它信號的卷積

結(jié)果：δ(t±t0)時(shí)卷積，就是將函數(shù)x(t)在發(fā)生脈沖函數(shù)的坐標(biāo)位置上重新作圖

當(dāng)脈沖函數(shù)為δ(t±t0)時(shí)，與函數(shù)x(t)的卷積

δ函數(shù)的卷積特性2車輛測試技術(shù)(6)δ(t)的頻譜逆變換：

δ(t)?1

據(jù)對稱性：1?δ(?)

δ函數(shù)的頻譜直流分量的頻譜車輛測試技術(shù)δ(t)?1

1?δ(?)

根據(jù)時(shí)移特性：根據(jù)頻移特性：車輛測試技術(shù)2.諧波函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜：

正弦函數(shù)的頻譜：3.周期函數(shù)的頻譜

周期函數(shù)x(t)的傅里葉級數(shù)形式： 式中

x(t)的傅立葉變換為：一個(gè)周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個(gè)位于各諧波頻率上的單位脈沖函數(shù)組成。4.周期單位脈沖序列的頻譜

相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為梳狀函數(shù)

式中，Ts—周期，n—整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。

該函數(shù)為周期函數(shù)，?s=1/Ts，用傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示：

時(shí)域中