第六章 無限沖擊響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

第6章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的技術(shù)要求巴特沃茲（Butterworth）模擬低通濾波器切比雪夫II型模擬低通濾波器橢圓低通濾波器6.1由模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器模擬濾波器的技術(shù)要求pw:通帶截止頻率ws:阻帶截止頻率dp:

通帶波動(dòng)ds:

阻帶波動(dòng)通帶衰減(db)(passbandAttenuation)阻帶衰減(db)(stopbandAttenuation)1|H(jw)|10通帶過渡帶阻帶pwswsdpd-wG(w)=20log10|H(jw)|dB濾波器的Gain函數(shù)wc10N=1N=3N=50.7076.1巴特沃斯低通濾波器N:濾波器階數(shù)性質(zhì)：2)幅度響應(yīng)單調(diào)下降(monotonicallydecreasing),當(dāng)階數(shù)N增加時(shí)，通帶幅頻特性變平，阻帶衰減更快，逐漸趨近于理想濾波器的幅頻特性。1)|H(j0)|=1,|H(j￥)|=0,-20log10|H(jwc)|3dbwc:

3db截頻,當(dāng)wc=1時(shí)，稱其為歸一化的BWF3)|H(jw)|2在w=0點(diǎn)1到2N-1階導(dǎo)數(shù)零。稱為最大平坦性。(maximallyflatmagnitudefilter)在w=0點(diǎn)做Taylorseries展開歸一化的Butterworth濾波器(BWF)任意的BWF和歸一化BWF的關(guān)系歸一化Butterworth濾波器的極點(diǎn)條件：h(t)是實(shí)的H(jw)=H*(-jw)極點(diǎn)：共有2N個(gè)極點(diǎn)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，選左半平面的N個(gè)極點(diǎn)。為左半平面的N個(gè)極點(diǎn)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)例：N=2,=p/4;k=1例：N=4,=p/8,3p/8;k=1,2當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)例：N=1N=3例：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)BW型模擬濾波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，將N=2帶入通帶滿足的方程通帶滿足指標(biāo)，阻帶超過指標(biāo)驗(yàn)證：Ap=0.9999db;As=18.2795db模擬Butterworth低通濾波器設(shè)計(jì)步驟:(1)由濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)wp、ws、Ap、As和式確定濾波器的階數(shù)N(2)確定wc(3)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)切比雪夫?yàn)V波器w))((wjH1cwN=2N=3N=7e:通帶波紋

cw：通帶截頻N：階數(shù)(由阻帶指標(biāo)確定)性質(zhì)1)在cww￡￡0時(shí)，2)(wjH在1和211e+間振蕩(equiripplefilter)2)cww3時(shí)，2)(wjH單調(diào)下降（N增大，下降加速）3)2211)(ew+=cjH

e控制了通帶衰減N為奇時(shí)

1)0(2=jHN為偶時(shí)

2211)0(e+=jHw))((wjH1cwN=2N=3N=7CBI型AF設(shè)計(jì)步驟1)通帶截頻確定pcww=2)通帶指標(biāo)確定e3)阻帶指標(biāo)確定N基本原理沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF的步驟H(z)的確定6.2沖擊響應(yīng)不變法H(ejW)和H(jw)的關(guān)系：無混疊時(shí)：數(shù)字濾波器在W點(diǎn)的頻響特性和模擬濾波器w=W/T頻響特性只差一個(gè)常數(shù)因子基本原理例:設(shè)H

(s)是一個(gè)3dB截頻為wc的一階低通濾波器，1)用沖擊響應(yīng)不變法求出H(z)2)如果用下圖所示系統(tǒng)取代H

(s)，比較兩系統(tǒng)的幅度響應(yīng)。A/D離散系統(tǒng)D/Ax(t)x[k]Hr(jw)y[k]Tys(t)yr(t)T沖擊響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)模擬濾波器的步驟1.將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo){wk}

kkT/W=w2.設(shè)計(jì)模擬濾波器的H(s)。3.由h[k]=Th(t)|t=kT從而得出H(z)。沖激不變法設(shè)計(jì)IIRDF的優(yōu)缺點(diǎn)（1）沖激不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好。（2）模擬頻率w和數(shù)字頻率Ω之間呈線性關(guān)系：Ω=wT（3）缺點(diǎn)：由于有頻率混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器。沖激不變法應(yīng)用的局限性

由于具有頻率的混疊效應(yīng)，所以高通和帶阻濾波器不宜采用沖激不變法。因?yàn)樗鼈兏哳l部分不衰減，將完全混淆在低頻中，從而使整個(gè)頻響面目全非。若要對(duì)高通和帶阻實(shí)行沖激不變法，則必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。它會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)不變時(shí)才使用。對(duì)于帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小?；舅枷?利用數(shù)值積分將模擬系統(tǒng)變換為數(shù)字系統(tǒng)。設(shè)模擬系統(tǒng)的微分方程為用梯形面積近似計(jì)算等式右邊的積分得6.3雙線性變換法所以近似描述離散系統(tǒng)的差分方程為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：和模擬系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)比較可得穩(wěn)定性1)s<0,|z|<1左半平面映射到單位元內(nèi)。穩(wěn)定數(shù)字濾波器系統(tǒng)映射為穩(wěn)定模擬濾波器系統(tǒng)。2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1虛軸映射到單位圓上右半平面映射到單位圓外結(jié)論：因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)W和w

的關(guān)系令s=jw)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真優(yōu)點(diǎn)：無混疊雙線性法設(shè)計(jì)模擬濾波器的步驟：2)由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)H

(s)3)H

(s)轉(zhuǎn)換為H(z)1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo){wk}二、性能分析1.解決了沖激不變法的混疊失真問題。2.它是一種簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系。

即模擬角頻率與數(shù)字角頻率存在非線性關(guān)系。所以雙線性變換避免了混疊失真，卻又帶來了非線性的頻率失真。3.由于雙線性變換中，4.同時(shí)，看出雙線性變換：(1)在零頻附近，模擬角頻率與數(shù)字角頻率變換關(guān)系接近線性關(guān)系。(2)又要求AF的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型，即幅度變換是線性的所以稱之為雙線性變換。頻率升高時(shí)，非線性失真嚴(yán)重。5.對(duì)于分段常數(shù)型AF濾波器，經(jīng)雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的DF.但在各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預(yù)畸變加以校正。解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T1)模擬低通濾波器的3dB截率為2)3dB截率為wp的一階模擬BWLP濾波器為3)由雙線性變換得例：用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為Wp的數(shù)字低通濾波器。例：用1階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為Wp的數(shù)字高通濾波器解：取T=2，則AFHP的3dB截頻為AFLP的3dB截頻為滿足條件的LPAF為滿足條件的HPAF為6.4從原型低通濾波器到其他形式IIR數(shù)字濾波器的頻帶變換法各種模擬濾波器的理想幅頻特性（低通）|H(ejΩ)||H(ejΩ)||H(ejΩ)||H(ejΩ)|（高通）（帶通）（帶阻）模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法：（1）是先將要設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)（主要是ω

P、ωs），通過某種頻率轉(zhuǎn)變關(guān)系轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）依據(jù)這些技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)。（3）再依據(jù)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系變成所要設(shè)計(jì)的濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)。6.4.1模擬域頻帶變換法設(shè)計(jì)各型數(shù)字濾波器給定模擬高通帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo)模擬低通技術(shù)指標(biāo)頻率轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)模擬低通頻率轉(zhuǎn)換得到模擬高通帶通或帶阻濾波器H(s)模擬頻率變換法的原理框圖先模擬頻率變換，再數(shù)字化求出模擬低通原型的指標(biāo)頻率歸一化，并求出相對(duì)應(yīng)的（模擬低通、高通、帶通、帶阻）的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出所需的數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器頻帶變換求模擬指標(biāo)雙線性變換法或沖激不變法確定所需設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器（數(shù)字低通、高通、帶通或帶阻）的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通原型頻帶變換并求出相對(duì)應(yīng)的（模擬低通、高通、帶通、帶阻）的性能指標(biāo)模擬頻域帶變換法設(shè)計(jì)方案和步驟（1）頻率變換（2）去歸一化（模擬歸一化-->模擬濾波）（3）頻率預(yù)擴(kuò)展（4）數(shù)字化數(shù)字頻率變換法的原理框圖先數(shù)字化，再頻