第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型(1)-副本

第二章：自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型：描述系統(tǒng)中各個變量之間關(guān)系的數(shù)學形式和方法—數(shù)學表達式變量之間關(guān)系靜態(tài)關(guān)系動態(tài)關(guān)系控制理論研究的對象時域模型—微分方程復頻域模型—傳遞函數(shù)框圖，信流圖頻域模型—頻率特性、Bode圖數(shù)學模型基礎(chǔ)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型建模方法:分析法(理論建模)實驗法(系統(tǒng)辨識)分析法適用于對系統(tǒng)中各元件的物理、化學等性質(zhì)比較清楚的情況。根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)，從系統(tǒng)各元件所依據(jù)的物理、化學等規(guī)律出發(fā)建立系統(tǒng)的數(shù)學模型如果不了解系統(tǒng)的運動規(guī)律，則應(yīng)使用實驗法建立數(shù)學模型，即：在系統(tǒng)或元件的輸入端加入一定形式的輸入信號，再根據(jù)測量的輸出響應(yīng)建立其數(shù)學模型著重介紹數(shù)學模型----------物理模型第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型-----微分方程的建立一、微分方程的建立1.線性定常微分方程的一般形式控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時間t的函數(shù)。很多常見的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對時間的導數(shù)或積分。這種微分方程又稱為動態(tài)方程、運動方程或動力學方程。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導數(shù)項的階數(shù)，又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2.建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟或方法1）分析元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時還要考慮擾動量），并根據(jù)需要引入中間變量2）根據(jù)各元件在工作過程中所遵循的物理或化學定律，忽略次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列寫微分方程。常用定律：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律、力學的牛頓定律和熱力學定律等

3）消去中間變量，得到描述輸出量與輸入量（包括擾動量）關(guān)系的微分方程，即元件的數(shù)學模型4）標準化。通常將微分方程寫成標準形式，即將與輸入量有關(guān)的各項寫在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊方程兩邊各導數(shù)項均按降階順序排列。5）并將各項系數(shù)歸一化為具有一定物理意義的形式第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3.舉例1）電氣系統(tǒng)

電氣系統(tǒng)中最常見的裝置是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。電阻、電感、電容這類本身不含有電源的器件稱為無源器件，運算放大器這種本身包含電源的器件稱為有源器件。僅由無源器件組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無源網(wǎng)絡(luò)。如果電氣網(wǎng)絡(luò)中包含有源器件或電源，就稱為有源網(wǎng)絡(luò)?；径桑夯鶢柣舴螂妷骸㈦娏鞫蓺W姆定律第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例一：列寫下圖的運動方程RCi(t)u1(t)u2(t)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例二：如圖RLC電路，試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程RLCi(t)u1(t)u2(t)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2）機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)指的是存在機械運動的裝置，它們遵循物理學的力學定律。機械運動包括直線運動（相應(yīng)的位移稱為線位移）和轉(zhuǎn)動（相應(yīng)的位移稱為角位移）兩種基本定律：力學定律牛頓第二定律牛頓轉(zhuǎn)動定律第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例1：試列寫質(zhì)量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程。

Fy(t)kfm解:阻尼器的阻尼力:彈簧彈性力:整理得:第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型比較上2例可見，雖然它們?yōu)閮煞N不同的物理系統(tǒng)，但它們的數(shù)學模型的形式卻是相同的，我們把具有相同數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)，例如RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即為一對相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為相似量。相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似性，可以進行仿真研究。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型4.非線性系統(tǒng)的線性化（小偏差線性化）原則上講，實際物理系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)兩個基本假設(shè)：（1）系統(tǒng)中的變量在某一工作點附近作微小變化；（2）非線性特性在該工作點可導.定義：將非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法稱為小偏差線性化.方法：其非線性特性曲線可以用該工作點的切線代替第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型線性化的方法1)將非線性函數(shù)在工作點X0附近展成臺勞級數(shù)，略去高次項，得到一個以增量為變量的線性函數(shù)2)由于很小，其二次方及二次方以上各項可略去，得：第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3)兩個自變量：y=f(x1，x2)靜態(tài)工作點：y0=f(x10，x20)在y0=f(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù)，即函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系注意：①適用于不太嚴重的非線性系統(tǒng)，其非線性函數(shù)可利用泰勒級數(shù)展開②實際運行情況是在某個平衡點附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化③k值隨靜態(tài)工作點而變④只適用于無間斷點、折斷點的單值函數(shù)

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例：某一電加熱爐，輸入量為電壓u，輸出量為溫度T，求系統(tǒng)數(shù)學模型電阻為R的電爐絲產(chǎn)生熱量電爐絲產(chǎn)熱速率單位為卡/秒設(shè)電爐絲每秒向周圍散熱速率為Фs,

Фs=K(T-Te)實際每秒使電爐升溫熱量為Ф-

Фs，令電爐熱容量為C，單位為卡/℃則：第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型在u0處把u2展成泰勒級數(shù)Δu為電路控制電壓的增量得到一階微分方程第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二節(jié)線性常微分方程的解求解方法：經(jīng)典法；拉氏變換法。零狀態(tài)響應(yīng)；零輸入響應(yīng)。拉氏變換法求解步驟：

1.考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程；

2.求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式；

3.對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第三節(jié)控制系統(tǒng)的復頻域數(shù)學模型-----傳遞函數(shù)

一個控制系統(tǒng)性能的好壞，取決于系統(tǒng)的內(nèi)在因素，即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與外部施加的信號無關(guān)。因而，對于一個控制系統(tǒng)品質(zhì)好壞的評價可以通過對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的分析來達到，而不需要直接對系統(tǒng)輸出響應(yīng)進行分析。傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)之上引入的描述線性定常系統(tǒng)或元件輸入、輸出關(guān)系的函數(shù)。它是和微分方程一一對應(yīng)的一種數(shù)學模型，它能方便地分析系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。當初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號c（t）的拉氏變換式與輸入信號r（t）的拉氏變換式之比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，記為G（s）微分方程求解---復雜，引入傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念和定義第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型二、傳遞函數(shù)的幾點說明1、傳遞函數(shù)和微分方程一樣，表示系統(tǒng)的運動特性，是系統(tǒng)數(shù)學模型的一種表示形式，它與系統(tǒng)的運動方程一一對應(yīng)。即傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，t---S，可經(jīng)簡單置換而轉(zhuǎn)換2、傳遞函數(shù)是由Laplace變換導出的，它只適用于線性定常系統(tǒng)，且只能反映零初始條件下的全部運動規(guī)律3、傳遞函數(shù)只適合單輸入、單輸出系統(tǒng)。若某系統(tǒng)選擇不同變量作為輸入輸出信號，得到傳遞函數(shù)不同。若系統(tǒng)由多個輸入，除了一個有關(guān)輸入外，其他輸入為04、傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)，許多物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數(shù)；同一物理系統(tǒng)，由于描述不同端口關(guān)系，傳遞函數(shù)可能不同。5、傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)，與輸入信號無關(guān)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型6、在實際物理系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出不能立即復現(xiàn)輸入信號，只有經(jīng)過一定時間后輸出量才能達到輸入量所要求數(shù)值，因而有：n≥m7、傳遞函數(shù)還可以用下式表達Kg為零極點形式傳遞函數(shù)的增益，-zi分子多項式M(S)=0的根，稱為零點；-pj分母多項式N(S)=0的根，稱為極點，分母多項式的階次代表系統(tǒng)傳遞函數(shù)的階次。－zi、－pi可為實數(shù)、虛數(shù)、或復數(shù)。若為虛數(shù)、或復數(shù)，必為共軛虛數(shù)、或共軛復數(shù)。分母多項式N（s）=0是控制系統(tǒng)的特征方程式，其根為特征根，特征根就是傳遞函數(shù)的極點。注意，只有當上式中的分子及分母多項式間沒有公因子時，傳遞函數(shù)的零、極點才會和系統(tǒng)的零、極點完全相同；分母多項式的階次才代表系統(tǒng)的階次傳遞函數(shù)。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型三、傳遞函數(shù)的求法1、直接計算法對于元件或簡單系統(tǒng)，首先建立描述元件或系統(tǒng)的微分方程式，然后在零初始條件下，對方程式進行拉氏變換，即可按傳遞函數(shù)的定義求得元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2、求取無源網(wǎng)絡(luò)或電子調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，采用阻抗法求取更為方便。下表列出了電路中電阻、電容和電感的阻抗傳遞函數(shù)元件名稱電路形式元件微分方程阻抗傳遞函數(shù)電阻R

電感L電容C

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3、利用框圖求取傳遞函數(shù)對于復雜系統(tǒng)，應(yīng)先求出元件的傳遞函數(shù)，再利用框圖和框圖運算法則，可方便地求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該方法將在后面討論。4、利用梅遜公式求取傳遞函數(shù)該方法將在后面討論。5、由線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性可知：作用于線性定常系統(tǒng)的多個輸入信號（它們可以作用于不同的輸入端）的總的響應(yīng)等于各個輸入信號單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)的代數(shù)和。線性系統(tǒng)的這兩個重要性質(zhì)使得線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的求法大為簡化。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例一、求下圖的傳遞函數(shù)解：列回路電壓方程：取拉式變換，令初始條件為零消去中間變量，得：第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型四、基本環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

若通過微分方程的最簡單形式（如一階或二階微分方程式）描述元件或其中一部分的動態(tài)性能時，通常稱這種簡單形式為典型環(huán)節(jié)（TypicalElements）

控制系統(tǒng)中有許多結(jié)構(gòu)性質(zhì)不同的元件，只要它們的數(shù)學模型的形式相同，則其動態(tài)性能也必然存在內(nèi)在的聯(lián)系，因而可以把它們歸成一類，以有利于研究系統(tǒng)內(nèi)部各單元之間的動態(tài)關(guān)系控制系統(tǒng)可視為由若干典型環(huán)節(jié)按一定方式組合而成。同時，基于環(huán)節(jié)的定義，一個元件可能是一個典型環(huán)節(jié)，但也可能包含數(shù)個典型環(huán)節(jié)，或者由數(shù)個典型環(huán)節(jié)構(gòu)成一個環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用帶框的圖形符號（包含輸入、輸出信號間的功能關(guān)系）來表示功能相關(guān)的元件的組合體第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1．比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系成正比關(guān)系，既它的輸出量能夠無失真、無滯后地，按一定的比例復現(xiàn)輸入量。其傳遞函數(shù)為:第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

2．積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對時間的積分，即K為比例系數(shù)，K與時間量綱有關(guān)。當輸入量和輸出量為相同的物理量時，K的量綱為s-1，故可將積分環(huán)節(jié)的系數(shù)（積分時間常數(shù)）寫成第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3．慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸出量和輸入量之間的關(guān)系可用以下的微分方程描述對應(yīng)的傳遞函數(shù)為式中T——時間常數(shù)

K——比例系數(shù)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型5．一階微分環(huán)節(jié)該環(huán)節(jié)的輸出等于輸入與其一階導數(shù)的加權(quán)和，其傳遞函數(shù)為比例微分環(huán)節(jié)為比例環(huán)節(jié)和理想微分環(huán)節(jié)的疊加。比例-微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)4．純微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的特點是，其輸出量與輸入量的一階微分成正比τ—時間常數(shù)。其傳遞函數(shù)為當τ?1時，才能近似地得到第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型