平穩(wěn)隨機過程及其遍歷性

平穩(wěn)隨機過程及其遍歷性第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日

一平穩(wěn)隨機過程1嚴平穩(wěn)隨機過程(StrictlyStationaryProcess)(1)定義

如果隨機過程的任意n維分布不隨時間起點變化，即當時間平移時，其任意的n維概率密度不變，則稱是嚴（格）平穩(wěn)的隨機過程或稱為狹義平穩(wěn)隨機過程。實際應用中，通過上式來判定過程的平穩(wěn)性是很不容易的，因此在實際中往往不需要所有時間都平穩(wěn)，只要觀測的有限時間平穩(wěn)就行了。第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日(2)特性一階平穩(wěn)(n=1)

嚴平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函數(shù)與時間無關時，對于一維概率密度有：第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日隨機過程X(t)的均值，均方值和方差都是平穩(wěn)的都與時間t無關第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日二階平穩(wěn)(n=2)

嚴平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度只與t1,

t2的時間間隔有關，而與時間起點無關。時，二維概率密度：從概率密度函數(shù)的角度講，高階平穩(wěn)一定低階平穩(wěn)第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日都與時間無關隨機過程X(t)的自相關函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)都是平穩(wěn)的。若，則第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日(3)嚴平穩(wěn)隨機過程的判斷

按照嚴平穩(wěn)隨機過程的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個：1)若X(t)為嚴平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則與時間t無關。

2)若X(t)為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻t0，X(t0)具有相同的統(tǒng)計特性。第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日

實際中，要確定一個對一切n都成立的隨機過程概率密度函數(shù)族是十分困難的，因而在工程中往往根據(jù)實際需要只在相關理論范圍內考慮平穩(wěn)過程問題。相關理論：只限于研究隨機過程一階和二階矩的理論。即研究隨機過程的數(shù)學期望、相關函數(shù)以及功率譜密度等。隨機過程的一、二矩函數(shù)雖然不能像多維概率密度函數(shù)那樣全面的描述隨機過程的統(tǒng)計特性，但它們在一定程度上相當有效的描述了隨機過程的重要特性。

（1）平穩(wěn)隨機過程表示噪聲電壓，一、二矩函數(shù)可以表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參數(shù)。（2）工程中常見的隨機過程是高斯過程，只要知道數(shù)學期望和相關函數(shù)，則多維概率密度函數(shù)就確定了。第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日2寬(廣義)平穩(wěn)隨機過程(WeaklyStationaryProcess)若隨機過程X(t)滿足則稱X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系：

嚴格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定不一定當隨機過程滿足高斯分布時，嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價的。第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日為什么要研究寬平穩(wěn)隨機過程?

隨機過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類,嚴格地說,所有信號都是非平穩(wěn)的,但是,在自然界和實際應用中許多隨機過程可以近似為平穩(wěn)信號。且平穩(wěn)信號分析要容易得多，理論成熟，是隨機信號分析的基礎。物理規(guī)律或統(tǒng)計結果與隨機試驗的時間起點無關在線性時不變系統(tǒng)中，輸入寬平穩(wěn)，輸出也寬平穩(wěn)。第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日例隨機相位信號是否平穩(wěn)?解X(t)均值為“0”，自相關函數(shù)僅與時間間隔有關，故X(t)是寬平穩(wěn)的。第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例設隨機過程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t<。其中

X，Y為相互獨立的隨機變量，且分別以概率

2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機過程Z(t)的平穩(wěn)性。第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日解第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日Z(t)是廣義平穩(wěn)的。第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日Z(t)不是嚴格平穩(wěn)的。第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日例

設隨機過程X(t)=At，A為標準正態(tài)分布的隨機變量。試問X(t)是否平穩(wěn)？第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日解所以X(t)是非平穩(wěn)的。第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日二平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質

數(shù)學期望和相關函數(shù)是隨機過程的基本數(shù)字特征。對于平穩(wěn)隨機過程而言，數(shù)學期望是常數(shù)，經(jīng)中心化后為零，所以基本的數(shù)字特征實際上就是相關函數(shù)。相關函數(shù)不僅僅展示隨機過程各隨機變量(狀態(tài))間關聯(lián)特性的信息，而且也為隨機過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息的工具。要求：

(1)根據(jù)圖形或表達式判斷一個函數(shù)是否是廣義平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)；

(2)根據(jù)自相關函數(shù)分析隨機過程其它數(shù)字特征。第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質1

平均功率

性質2

偶函數(shù)

證：同理第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質3

極值性證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負值，即對于平穩(wěn)過程X(t)，性質1可知代入前式，可得于是同理當平穩(wěn)過程的相關函數(shù)具有最大值。物理意義：隨機過程同一時刻隨機過程自身的相關性最強。第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質4

若平穩(wěn)過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱它為周期平穩(wěn)過程，其中T為隨機過程周期。周期平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)必是周期函數(shù)，且與隨機過程的周期相同。即：周期平穩(wěn)過程X(t)=X(t+T)，T為周期，則相關函數(shù)滿足證：由自相關函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到性質5

若平穩(wěn)過程含有一個周期分量，則自相關函數(shù)含有同一個周期分量。

自相關函數(shù)可用來檢測信號是否含有周期分量。第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：設隨機過程為式中為常數(shù)，為上均勻分布的隨機變量，為一般平穩(wěn)過程，對于所有t而言，與統(tǒng)計獨立。則易得出相關函數(shù)為可見，相關函數(shù)也包含有與隨機過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質6

若平穩(wěn)隨機過程X(t)不含有任何周期分量，則滿足物理含義：當增大時，與之間相關性會減弱，在的極限情況下，兩者相互獨立。第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質7

若平穩(wěn)過程含有平均分量(均值)，則相關函數(shù)也含有固定分量,即則若X(t)是非周期的，自相關性函數(shù)確定方差由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由此若X(t)是非周期，則有證：且在t=0時,可得2)(XXmR=￥第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機過程必須滿足對所有均成立。

性質8

自相關函數(shù)的傅里葉變換是非負的，限制了自相關函數(shù)曲線圖形不能有任意形狀，要求相關函數(shù)是連續(xù)的（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）即：不能出現(xiàn)平頂、垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)。第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)過程相關函數(shù)的典型曲線)(tXR2Xs)0(XR2Xmt0第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)過程的相關系數(shù)和相關時間

對于平穩(wěn)隨機過程X(t)的兩個不同時刻t和的起伏值的關聯(lián)程度，可以用自協(xié)方差表示。但是，還與和的強度有關，若或很小，即使兩者的相關程度較強，則也不會太大，所以并不能準確表示關聯(lián)程度的大小。為了消除起伏值強度對的影響，需要對協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，引入相關系數(shù)。第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日此值在[－1，1]之間。表示不相關，表示完全相關。表示正相關，表明兩個不同時刻起伏值（隨機變量與均值之差）之間符號相同可能性大。

相關系數(shù)也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標準協(xié)方差函數(shù)表征隨機過程在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計關聯(lián)程度第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日相關時間

對于一般的隨機過程而言，隨著時間間隔增大相關程度減弱，因此相關系數(shù)也隨著減弱，當間隔大到一定程度（假定為），相關系數(shù)很小可以認為起伏值不相關了，這個時間就稱為相關時間。第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日1

通常把相關系數(shù)的絕對值小于0.05的時間間隔，記做相關時間,即:時的時間間隔為相關時間。2

有時我們用矩形（高為,底為的矩形）面積等于積分的一半來定義相關時間即相關時間示意圖第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日物理意義：

相關時間越小，就意味著相關系數(shù)隨增加而降落的越快，這表明隨機過程隨時間變化越劇烈。反之，越大，則表時隨機過程隨時間變化越慢。

相關時間越長，反映隨機過程前后取值之間的依賴性越強，變化越緩慢，相關時間越小，反映隨機過程前后取值之間的依賴性越弱，變化越緩慢。

兩個不同相關時間隨機過程的樣本函數(shù)050100-4-2024050100-10-50510第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)為

RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100

求X(t)的均值、均方值和方差。

第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日RX(t)=(100cos10t)+(100e-10|t|+100)=RX1(t)+RX2(t)RX1(t)=100cos10t是X(t)中周期分量的自相關函數(shù)，此分量的均值mx1=0RX2(t)=100e-10|t|+100是X(t)的非周期分量的自相關函數(shù)，由性質6可知，所以有解：第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)為

求X(t)的均值和方差。第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日解：由性質6可知由性質7可知第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：已知隨機過程X(t)與Y(t)的協(xié)方差函數(shù)

比較兩個過程的起伏速度第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日解:由隨機過程的協(xié)方差函數(shù)，得出X(t)、Y(t)的方差由于

，故過程X(t)比Y(t)起伏速度快。由定義得出X(t)、Y(t)的相關系數(shù)X(t)、Y(t)的相關時間第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日三遍歷(Ergodic)隨機過程（各態(tài)歷經(jīng)性）

每當提及隨機過程時，意味著要涉及大量的樣本函數(shù)的集合。要得到隨機過程的統(tǒng)計特性，需要觀察大量的樣本函數(shù)。數(shù)學期望、方差、相關函數(shù)等都是對大量樣本函數(shù)在特定時刻的取值利用統(tǒng)計方法求平均而得到的數(shù)字特征。這種平均稱為統(tǒng)計平均或集合平均。顯然，取統(tǒng)計平均所需要的試驗工作量很大，處理方法也很復雜。這就使人們自然想到，根據(jù)平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特性與記時起點無關這個特點，能否找到更加簡單的方法代替上述的方法。辛欽證明：在具備一定的條件下有平穩(wěn)隨機過程的任意一個樣本函數(shù)取時間平均（觀察時間足夠長），從概率意義上趨近于該過程的統(tǒng)計平均值。這樣的隨機過程，稱具備各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日

隨機過程各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為：隨機過程的各樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機過程的各種可能狀態(tài)。因此從隨機過程的任何一個樣本函數(shù)都可以得到隨機過程的全部統(tǒng)計信息，任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分地代表整個隨機過程的特性。問題：隨機過程的各數(shù)字特征（集合平均），能否用任一條樣本函數(shù)的特征（時間平均）來代替。第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日1遍歷性隨機過程的定義

如果一個隨機過程X(t)，它的各種時間平均（時間足夠長）依概率1收斂于相應的集合平均，則稱X(t)具有嚴格遍歷性，并稱它為嚴遍歷過程。

嚴（狹義）遍歷性的定義

寬（廣義）遍歷性的定義

設X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程，如果其均值和相關函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性，則稱X(t)為寬遍歷過程，或簡稱遍歷過程。在相關理論的范圍內討論歷經(jīng)過程，即討論均值和自相關時間平均第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日均值各態(tài)歷經(jīng)性定義為隨機過程的時間平均值。如果它依概率1收斂于集合均值，即則稱平穩(wěn)過程X(t)的均值具有遍歷性。與取哪條樣本有關與時間無關是時間t的函數(shù)，與取哪條樣本無關第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日均值各態(tài)歷經(jīng)

任何一條樣本函數(shù)所包含的取值狀態(tài)與隨機過程（任意時刻）所有的狀態(tài)相同，而且出現(xiàn)的頻率與隨機過程各狀態(tài)的概率相同。第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日定義隨機過程的時間自相關函數(shù)。則稱平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)具有遍歷性。自相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性如果它依概率1收斂于集合均值，即當且僅當時上式成立，則稱X(t)的均方值具有遍歷性。第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日自相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)

任何一條樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機過程的各種二階可能狀態(tài)。第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日2遍歷隨機過程的實際應用

一般隨機過程的時間平均是隨機變量，但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間T不可能無限長，只要足夠長即可。

3遍歷隨機過程和平穩(wěn)隨機過程的關系

遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷的。第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日4遍歷隨機過程的意義

在實際應用中，如果隨機過程是平穩(wěn)的，要從理論上證明過程的各態(tài)歷經(jīng)性并非易事。我們總是憑經(jīng)驗假設它是各態(tài)歷經(jīng)的。

任何一個樣本函數(shù)的特性都可以充分代表隨機過程的全部統(tǒng)計特性，簡化研究過程和實際統(tǒng)計方法。

實際通信系統(tǒng)中，通常認為噪聲和信號一般都是平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的。第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日5遍歷過程（各態(tài)歷經(jīng)性）的判別定理

均值遍歷判別定理

平穩(wěn)隨機過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件：平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)具有遍歷性充要條件：

自相關函數(shù)遍歷判別定理

式中：第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日對于正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相關函數(shù)連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個充分條件為：注意：判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷，我們總是先假設其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平均以概率1等于統(tǒng)計平均）,一般不用兩個判別定理。

第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日故X(t)是寬（廣義）平穩(wěn)隨機過程。解例設,式中a，為常數(shù)，是在上均勻分布的隨機變量。試問：X(t)是否平穩(wěn)？是否遍歷？第五十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日故平穩(wěn)隨機過程X(t)也是寬（廣義）遍歷隨機過程。第五十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日例判斷隨機過程X(t)=