平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性

平穩(wěn)隨機(jī)過程及其遍歷性第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日

一平穩(wěn)隨機(jī)過程1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程(StrictlyStationaryProcess)(1)定義

如果隨機(jī)過程的任意n維分布不隨時(shí)間起點(diǎn)變化，即當(dāng)時(shí)間平移時(shí)，其任意的n維概率密度不變，則稱是嚴(yán)（格）平穩(wěn)的隨機(jī)過程或稱為狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。實(shí)際應(yīng)用中，通過上式來判定過程的平穩(wěn)性是很不容易的，因此在實(shí)際中往往不需要所有時(shí)間都平穩(wěn)，只要觀測的有限時(shí)間平穩(wěn)就行了。第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日(2)特性一階平穩(wěn)(n=1)

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無關(guān)時(shí)，對于一維概率密度有：第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日隨機(jī)過程X(t)的均值，均方值和方差都是平穩(wěn)的都與時(shí)間t無關(guān)第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日二階平穩(wěn)(n=2)

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度只與t1,

t2的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。時(shí)，二維概率密度：從概率密度函數(shù)的角度講，高階平穩(wěn)一定低階平穩(wěn)第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日都與時(shí)間無關(guān)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)都是平穩(wěn)的。若，則第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日(3)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的判斷

按照嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)過程是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個(gè)反例，就可以判斷某隨機(jī)過程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，具體方法有兩個(gè)：1)若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則與時(shí)間t無關(guān)。

2)若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對于任一時(shí)刻t0，X(t0)具有相同的統(tǒng)計(jì)特性。第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日

實(shí)際中，要確定一個(gè)對一切n都成立的隨機(jī)過程概率密度函數(shù)族是十分困難的，因而在工程中往往根據(jù)實(shí)際需要只在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮平穩(wěn)過程問題。相關(guān)理論：只限于研究隨機(jī)過程一階和二階矩的理論。即研究隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度等。隨機(jī)過程的一、二矩函數(shù)雖然不能像多維概率密度函數(shù)那樣全面的描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，但它們在一定程度上相當(dāng)有效的描述了隨機(jī)過程的重要特性。

（1）平穩(wěn)隨機(jī)過程表示噪聲電壓，一、二矩函數(shù)可以表示噪聲的平均功率的直流、交流分量以及總功率的重要參數(shù)。（2）工程中常見的隨機(jī)過程是高斯過程，只要知道數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，則多維概率密度函數(shù)就確定了。第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日2寬(廣義)平穩(wěn)隨機(jī)過程(WeaklyStationaryProcess)若隨機(jī)過程X(t)滿足則稱X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：

嚴(yán)格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定不一定當(dāng)隨機(jī)過程滿足高斯分布時(shí)，嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價(jià)的。第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日為什么要研究寬平穩(wěn)隨機(jī)過程?

隨機(jī)過程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類,嚴(yán)格地說,所有信號都是非平穩(wěn)的,但是,在自然界和實(shí)際應(yīng)用中許多隨機(jī)過程可以近似為平穩(wěn)信號。且平穩(wěn)信號分析要容易得多，理論成熟，是隨機(jī)信號分析的基礎(chǔ)。物理規(guī)律或統(tǒng)計(jì)結(jié)果與隨機(jī)試驗(yàn)的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，輸入寬平穩(wěn)，輸出也寬平穩(wěn)。第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日例隨機(jī)相位信號是否平穩(wěn)?解X(t)均值為“0”，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，故X(t)是寬平穩(wěn)的。第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例設(shè)隨機(jī)過程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t<。其中

X，Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別以概率

2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機(jī)過程Z(t)的平穩(wěn)性。第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日解第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日Z(t)是廣義平穩(wěn)的。第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日Z(t)不是嚴(yán)格平穩(wěn)的。第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日例

設(shè)隨機(jī)過程X(t)=At，A為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試問X(t)是否平穩(wěn)？第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日解所以X(t)是非平穩(wěn)的。第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日二平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過程的基本數(shù)字特征。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，經(jīng)中心化后為零，所以基本的數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)不僅僅展示隨機(jī)過程各隨機(jī)變量(狀態(tài))間關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也為隨機(jī)過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息的工具。要求：

(1)根據(jù)圖形或表達(dá)式判斷一個(gè)函數(shù)是否是廣義平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)；

(2)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)分析隨機(jī)過程其它數(shù)字特征。第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)1

平均功率

性質(zhì)2

偶函數(shù)

證：同理第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)3

極值性證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負(fù)值，即對于平穩(wěn)過程X(t)，性質(zhì)1可知代入前式，可得于是同理當(dāng)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有最大值。物理意義：隨機(jī)過程同一時(shí)刻隨機(jī)過程自身的相關(guān)性最強(qiáng)。第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)4

若平穩(wěn)過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱它為周期平穩(wěn)過程，其中T為隨機(jī)過程周期。周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù)，且與隨機(jī)過程的周期相同。即：周期平穩(wěn)過程X(t)=X(t+T)，T為周期，則相關(guān)函數(shù)滿足證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到性質(zhì)5

若平穩(wěn)過程含有一個(gè)周期分量，則自相關(guān)函數(shù)含有同一個(gè)周期分量。

自相關(guān)函數(shù)可用來檢測信號是否含有周期分量。第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：設(shè)隨機(jī)過程為式中為常數(shù)，為上均勻分布的隨機(jī)變量，為一般平穩(wěn)過程，對于所有t而言，與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。則易得出相關(guān)函數(shù)為可見，相關(guān)函數(shù)也包含有與隨機(jī)過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)6

若平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)不含有任何周期分量，則滿足物理含義：當(dāng)增大時(shí)，與之間相關(guān)性會(huì)減弱，在的極限情況下，兩者相互獨(dú)立。第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日性質(zhì)7

若平穩(wěn)過程含有平均分量(均值)，則相關(guān)函數(shù)也含有固定分量,即則若X(t)是非周期的，自相關(guān)性函數(shù)確定方差由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由此若X(t)是非周期，則有證：且在t=0時(shí),可得2)(XXmR=￥第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過程必須滿足對所有均成立。

性質(zhì)8

自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是非負(fù)的，限制了自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不能有任意形狀，要求相關(guān)函數(shù)是連續(xù)的（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）即：不能出現(xiàn)平頂、垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)。第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的典型曲線)(tXR2Xs)0(XR2Xmt0第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間

對于平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的兩個(gè)不同時(shí)刻t和的起伏值的關(guān)聯(lián)程度，可以用自協(xié)方差表示。但是，還與和的強(qiáng)度有關(guān)，若或很小，即使兩者的相關(guān)程度較強(qiáng)，則也不會(huì)太大，所以并不能準(zhǔn)確表示關(guān)聯(lián)程度的大小。為了消除起伏值強(qiáng)度對的影響，需要對協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，引入相關(guān)系數(shù)。第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日此值在[－1，1]之間。表示不相關(guān)，表示完全相關(guān)。表示正相關(guān)，表明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨機(jī)變量與均值之差）之間符號相同可能性大。

相關(guān)系數(shù)也稱為歸一化協(xié)方差函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)表征隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)程度第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日相關(guān)時(shí)間

對于一般的隨機(jī)過程而言，隨著時(shí)間間隔增大相關(guān)程度減弱，因此相關(guān)系數(shù)也隨著減弱，當(dāng)間隔大到一定程度（假定為），相關(guān)系數(shù)很小可以認(rèn)為起伏值不相關(guān)了，這個(gè)時(shí)間就稱為相關(guān)時(shí)間。第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日1

通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于0.05的時(shí)間間隔，記做相關(guān)時(shí)間,即:時(shí)的時(shí)間間隔為相關(guān)時(shí)間。2

有時(shí)我們用矩形（高為,底為的矩形）面積等于積分的一半來定義相關(guān)時(shí)間即相關(guān)時(shí)間示意圖第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日物理意義：

相關(guān)時(shí)間越小，就意味著相關(guān)系數(shù)隨增加而降落的越快，這表明隨機(jī)過程隨時(shí)間變化越劇烈。反之，越大，則表時(shí)隨機(jī)過程隨時(shí)間變化越慢。

相關(guān)時(shí)間越長，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越強(qiáng)，變化越緩慢，相關(guān)時(shí)間越小，反映隨機(jī)過程前后取值之間的依賴性越弱，變化越緩慢。

兩個(gè)不同相關(guān)時(shí)間隨機(jī)過程的樣本函數(shù)050100-4-2024050100-10-50510第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為

RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100

求X(t)的均值、均方值和方差。

第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日RX(t)=(100cos10t)+(100e-10|t|+100)=RX1(t)+RX2(t)RX1(t)=100cos10t是X(t)中周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值mx1=0RX2(t)=100e-10|t|+100是X(t)的非周期分量的自相關(guān)函數(shù)，由性質(zhì)6可知，所以有解：第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：已知平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為

求X(t)的均值和方差。第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日解：由性質(zhì)6可知由性質(zhì)7可知第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日例：已知隨機(jī)過程X(t)與Y(t)的協(xié)方差函數(shù)

比較兩個(gè)過程的起伏速度第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日解:由隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)，得出X(t)、Y(t)的方差由于

，故過程X(t)比Y(t)起伏速度快。由定義得出X(t)、Y(t)的相關(guān)系數(shù)X(t)、Y(t)的相關(guān)時(shí)間第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日三遍歷(Ergodic)隨機(jī)過程（各態(tài)歷經(jīng)性）

每當(dāng)提及隨機(jī)過程時(shí)，意味著要涉及大量的樣本函數(shù)的集合。要得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，需要觀察大量的樣本函數(shù)。數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)等都是對大量樣本函數(shù)在特定時(shí)刻的取值利用統(tǒng)計(jì)方法求平均而得到的數(shù)字特征。這種平均稱為統(tǒng)計(jì)平均或集合平均。顯然，取統(tǒng)計(jì)平均所需要的試驗(yàn)工作量很大，處理方法也很復(fù)雜。這就使人們自然想到，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性與記時(shí)起點(diǎn)無關(guān)這個(gè)特點(diǎn)，能否找到更加簡單的方法代替上述的方法。辛欽證明：在具備一定的條件下有平穩(wěn)隨機(jī)過程的任意一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間平均（觀察時(shí)間足夠長），從概率意義上趨近于該過程的統(tǒng)計(jì)平均值。這樣的隨機(jī)過程，稱具備各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日

隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為：隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)。因此從隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)都可以得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息，任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都可以充分地代表整個(gè)隨機(jī)過程的特性。問題：隨機(jī)過程的各數(shù)字特征（集合平均），能否用任一條樣本函數(shù)的特征（時(shí)間平均）來代替。第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日1遍歷性隨機(jī)過程的定義

如果一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，它的各種時(shí)間平均（時(shí)間足夠長）依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均，則稱X(t)具有嚴(yán)格遍歷性，并稱它為嚴(yán)遍歷過程。

嚴(yán)（狹義）遍歷性的定義

寬（廣義）遍歷性的定義

設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，如果其均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性，則稱X(t)為寬遍歷過程，或簡稱遍歷過程。在相關(guān)理論的范圍內(nèi)討論歷經(jīng)過程，即討論均值和自相關(guān)時(shí)間平均第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日均值各態(tài)歷經(jīng)性定義為隨機(jī)過程的時(shí)間平均值。如果它依概率1收斂于集合均值，即則稱平穩(wěn)過程X(t)的均值具有遍歷性。與取哪條樣本有關(guān)與時(shí)間無關(guān)是時(shí)間t的函數(shù)，與取哪條樣本無關(guān)第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日均值各態(tài)歷經(jīng)

任何一條樣本函數(shù)所包含的取值狀態(tài)與隨機(jī)過程（任意時(shí)刻）所有的狀態(tài)相同，而且出現(xiàn)的頻率與隨機(jī)過程各狀態(tài)的概率相同。第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日定義隨機(jī)過程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)。則稱平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性如果它依概率1收斂于集合均值，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式成立，則稱X(t)的均方值具有遍歷性。第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)

任何一條樣本函數(shù)都同樣的經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種二階可能狀態(tài)。第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日各態(tài)歷經(jīng)過程與非各態(tài)歷經(jīng)過程示意圖第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日2遍歷隨機(jī)過程的實(shí)際應(yīng)用

一般隨機(jī)過程的時(shí)間平均是隨機(jī)變量，但遍歷過程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作中，時(shí)間T不可能無限長，只要足夠長即可。

3遍歷隨機(jī)過程和平穩(wěn)隨機(jī)過程的關(guān)系

遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷的。第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日4遍歷隨機(jī)過程的意義

在實(shí)際應(yīng)用中，如果隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，要從理論上證明過程的各態(tài)歷經(jīng)性并非易事。我們總是憑經(jīng)驗(yàn)假設(shè)它是各態(tài)歷經(jīng)的。

任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都可以充分代表隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)特性，簡化研究過程和實(shí)際統(tǒng)計(jì)方法。

實(shí)際通信系統(tǒng)中，通常認(rèn)為噪聲和信號一般都是平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的。第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日5遍歷過程（各態(tài)歷經(jīng)性）的判別定理

均值遍歷判別定理

平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的均值具有遍歷性的充要條件：平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件：

自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理

式中：第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日對于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個(gè)充分條件為：注意：判斷一個(gè)平穩(wěn)過程是否遍歷，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時(shí)間平均以概率1等于統(tǒng)計(jì)平均）,一般不用兩個(gè)判別定理。

第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日故X(t)是寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過程。解例設(shè),式中a，為常數(shù)，是在上均勻分布的隨機(jī)變量。試問：X(t)是否平穩(wěn)？是否遍歷？第五十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日故平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)也是寬（廣義）遍歷隨機(jī)過程。第五十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日例判斷隨機(jī)過程X(t)=