第十八章平行四邊形知識點及練習(xí)

學(xué)問點1：平行四邊形的定義定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。表示方法：平行四邊形用“ ”表示，平行四邊形ABCD記作“ ABC，其中表示頂點的字母要按順針或逆時針方向排列。平行四邊形的根本元素：邊，角，對角線。邊：鄰邊：AB和AD，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四對。對邊：AB和DC，AD和BC，共有兩對。角：鄰角：∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠DAB和∠ABC，共有四對。對角：∠BADBCD，∠ADCABC，共有兩對。對角線：AC和BD，共有兩條。留意：平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定。由定義知平行四邊形兩組對邊分別平行；〔2〕由定義可以得出只要四邊形中兩組對邊分別平行，那么這個四邊形就是平行四邊形。例：如圖，AB//DE，EF//BC，DF//AC，圖中有幾個平行四邊形？將它們表示出了，并說明理由。A學(xué)問點2：平行四邊形的性質(zhì)F E邊：平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等。B C符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//BC，AB=CD，AB//CD。角：平行四邊形的兩組對角分別相等，鄰角互補(bǔ)

D DOB C符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴〔1〕∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC?！?〕∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°，∠BCD+∠ADC=180°，∠ADC+∠BAD=180°。對角線：平行四邊形的對角線相互平行。符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD例1：如下圖，在平行四邊形ABCD中，過AC中點O作直線，分別交AD、BC于點E、F，求證：△AOE≌△COF。ODB ODB FFCC例2：如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC，交AB于點E，BF 平分∠ABC，交CD于點F。1AE B求證：DE=BF連接EF，寫出圖中全部的全等三角形〔不要求證明〕例3：如下圖，□ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過點O作OE⊥BD，交O△CDE的周長為10，則□ABCD的周長為 . AO

BC于點E，假設(shè)D學(xué)問點3：平行線間的距離平行線間的距離的定義 B E C兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一點直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。平行線間的垂線段的性質(zhì)①文字表達(dá)：平行線間的距離處處相等。②數(shù)學(xué)語言：如下圖，A，C是l上任意兩點。假設(shè)l∥l，AB⊥l，CD⊥l，則AB=CD。拓展：三種距離之間的區(qū)分與聯(lián)系兩點間的距離：連接兩點的線段的長度。點到直線的距離：點到直線的垂線段的長度。

lACAClD 2兩條平行線間的距離：兩條平行線中，從一條直線上任一點到另一條直線的垂線段的長度。聯(lián)系：它們都是指某一條線段的長度。例：如下圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l、l、 l上，且l、l之間的距離為2，l、l之間的距離為3，則AC的長是〔 〕1l1A.217 B.25 C.42 D.7 A l2學(xué)問點4：平行四邊形的面積 l3B平行四邊形的面積等于它的底〔即平行四邊形的一條邊〕和該底上的高的積?！?〕如圖①所示，S =BCAE=CDBF?！病惩住驳鹊住惩摺驳雀摺矨BCD和EBCF有公共邊B，則S=S 。例1：如下圖，□ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求□ABCD的面積。例2：如下圖，P是□ABCD的對角線BDEF∥BC，AMDEPFMN∥AB，且EF、MN相交于點P，則圖中□AEPMAMDEPF2B N C33A.相等 B.□AEPM的面積大C.□AEPM的面積小 D.無法確定學(xué)問點5：平行四邊形的判定1、邊：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形〔定義，符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，符號語言：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；一組對邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形，ABCD且AB=C〔或ABC且AD=B，∴四邊形ABCD是平行四邊形。2、角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形。3、對角線：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，符號語言：∵AO=CO，DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形。例1：四邊形ABCD如下圖，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的選項是〔 〕A.AB∥CD，AB=CD B.AB=CD，AD=BCC.AB=CD，AD∥BC D.AB∥CD，AD∥BCAFDB例2：如下圖，將□ABCD的對角線BD向兩個方向延長至點E和點F，使BE=DF，求證四邊形AFDB學(xué)問點6：三角形的中位線C三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 ECAABCD、E、F分別為邊AB、BC、CADE、

EFFD是△ABC的三條中位線。 D FB E C幾何描述：如下圖，在△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點，則線段DE、EF、FD是△ABC的三條中位線，故DF∥BC，DF= BC；DE∥AC，DE= AC；EF∥BA，EF= BA。三角形中位線定理的作用：①證位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；②證數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的線段或倍分關(guān)系。ADOE例：如下圖，□ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，則△DOEADOE力量點1：運用平行四邊形的性質(zhì)計算B CDC例：如下圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周長為40，且AB-BC=2，求□ABCDDC力量點2：運用平行四邊形的性質(zhì)證明A B例1：如下圖，在□ABCD中，AE∥CF，AE與BD相交于點P，CF與BD相交于點Q，求證：BP=DQ。A例2：如下圖，□ABCD中，點E是AB的中點，連接DE并延長，交BC的延長 PF。 B E求證：△ADE≌△BFE假設(shè)DF平分∠ADC，連接CE，試推斷CE與DF的位置關(guān)系，并說明理由。3：平行四邊形性質(zhì)的綜合運用AD例：如下圖，在□ABCD中，E為BC邊上一點，且AD

F DQ 線于點C求證：△ABC≌△EAD假設(shè)AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度數(shù)。力量點4：平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用

B E CDBDBCE例：在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F。如下圖，證明CE=CFF假設(shè)∠ABC=9G是EF的中點，連接D〔如圖2BDG5：構(gòu)造平行四邊形解決問題把握構(gòu)造平行四邊形的兩種根本方法：一是作平行線構(gòu)造平行四邊形；二是延長經(jīng)過中點的某條線段，再順次連接線段的端點。MND例1：如下圖，CD是△ABCMNDA4B52：如下圖，四邊形ABCDAB∥CD，∠ADC=2∠ABC，求證：AB=AD+CD.力量6：三角形的中位線問題由三角形的中位線定理，可直接得到邊邊之間的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系。在有條件時，可考慮利用中位線或構(gòu)造中位線解決問題。

D CA B 中點例1：如下圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點F，M、N分別為AB、CD的中點， MN分別交BD、AC于點P、Q，且∠FPQ=∠FQP。假設(shè)BD=10，求線段AC2：AO△ABCBACBD⊥AOD，EDE=AB-A。

DAFM P Q N BC的F力量點7：平行四邊形探究性問題 B平行四邊形的探究問題形式多樣，要依據(jù)題目條件特征及具體的問題來選用判定方法來綜合解決問題。B

ACCEO 及性質(zhì)ED例：如下圖，在四邊形ABCDAD∥BC，且AD＞BC，BC=1cm，點P，Q分別從點A，C同時動身，點Pcm/s的速度由點A向點D運動，點Qcm/s的速度由點C向點B運動，幾秒后四邊形ABQP矩形1：矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。用符號語言表示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠A=90°，∴四邊形ABCD是矩形。ABCD中，AD∥BC且AD=BCABCD成為矩形，加上的條件可以是 .2：矩形的性質(zhì)矩形是特別的平行四邊形，它除了具備平行四邊形的全部性質(zhì)外，還有以下性質(zhì)：矩形的四個角都是直角。矩形的對角線相等。矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，分別是過兩組對邊中點的直線。A D例：如圖，矩形ABCD的對角線AC=8cm，∠AOD=120°，則AB〔〕OA B.2cm C.2cm D.4cm B C3：矩形的判定判定定理〔定義法：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。判定定理3：有三個角是直角的四邊形是矩形。例：如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求證：四邊形BCDE是矩形。4：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。AEAEFD例：如下圖，BD，CEABC，G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點，試說明GF⊥DE。1：矩形性質(zhì)的應(yīng)用B G C〔或角〕相等。1：如下圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6cm，∠BOC=120°，ADO〔〕ACB2〕A、BCADOB例如圖矩形ABCD中ABD相交于點AE平分BAD交BC于點假設(shè)CAE=1°， 求∠BCADOADOBAEDCF例3：如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點E，EF⊥AE，交BC于點F。求 證：AE=EF。力量點2：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用BE C依據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，快速找到兩條線段間的數(shù)量關(guān)系，為進(jìn)一步的證明找到切入點。例：如下圖，延長矩形的邊CB至點ECE=CAFAEBF⊥FD。3：矩形中的折疊問題ABCDAB=3，BC=6EFC落在ABPDQAHFDPAD與PQAHFDPBE，QF求四邊形PEFH4：矩形的判定的應(yīng)用

B E C依據(jù)題目中所給的條件的不同，敏捷地選用矩形的判定方法進(jìn)展證明。在動態(tài)問題中，要能推斷出隱含的不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系來。1：：如下圖，□ABCDE、F、G、H，求證：四邊形EFGHA D例2：如圖，在△ABC中點O是邊AC上一個動點過O作直線MN∥BC。設(shè)MN交∠ACB G 的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F。 F HEB C求證：OE=OF；CE=12，CF=5，求OCO在邊ACAECF菱形1：菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

AM E O FBC D例：如下圖，在△ABC，CDACBDE∥AC，DF∥BC，四邊形DECF2：菱形的性質(zhì)菱形是特別的平行四邊形，它除了具備平行四邊形的全部性質(zhì)外，還具有以下性質(zhì)：菱形的四條邊都相等。菱形的兩條對角線相互垂直，并且每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，它的對角線所在的直線就是它的對稱軸。拓展：菱形面積的求法：菱形的面積等于底乘以高；菱形被對角線分成了四個全等的直角三角形，因此菱形的面積可以用兩條對角線之積的一半來表示，即菱形ABCD的面積=4S =4×AOBO=2AOBO=ACBD。A D例1：如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則 AEO的長是〔 。A B C D.cm

B E C2：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO。3：菱形的判定〔1〔定義法判定〕有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。判定定理1：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形，這個定理的另一種說法是：對角線相互垂直平分的四邊形是菱形。判定定理2：四邊相等的四邊形是菱形。1：將平行四邊形紙片ABCDC與點A重合，點D落到點D’處，折痕為EF。求證：△ABE≌△AD’F；連接CF，推斷四邊形AECF是什么特別四邊形？證明你的結(jié)論。2：如下圖，在△ABCACB=90°，CD⊥ABD，AEBACBC，CDE，F(xiàn)，EH⊥AB于H，連接FH，求證：四邊形CFHE是菱形。 CE正方形FA B學(xué)問點1：正方形的定義 D H定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。1：如下圖，在△ABCABC=90°，BDABC，DE⊥BC，DF⊥AB，試說明四邊形BEDF2：正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)?！?〕正方形的兩條對角線相互垂直平分且相等，且每一條對角線平分一組對角。正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸。正方形的對角線把它分割為四個全等的等腰直角三角形。正方形的面積等于對角線平分的一半。ADM1：如圖，在正方形ABCDM是對角線BD上的一點，過點MME∥CDBC于點E，作MF∥BCCDADM3：正方形的判定從平行四邊形動身：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。從矩形動身：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。從菱形動身：有一個角是直角的菱形是正方形。正方形的判定的示意圖。

FB E CAHE DNMPOABCD的各內(nèi)角的平分線CH分別交AD于點AHE DNMPO1：性質(zhì)的綜合應(yīng)用8 B F Q C10利用菱形的性質(zhì)與勾股定理相結(jié)合，解決與計算有關(guān)的問題，與三角形全等相結(jié)合，解決推理論證類問題。在解答過程中，還可以直接應(yīng)用菱形的軸對稱性解決局部問題。1ABCDFBCDFACMMME⊥CDE，∠1=∠2。〔1〕假設(shè)CE=，求BC的長2〕求證AM=DF+M。 B AFD例2：菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上。 A MD如圖1，假設(shè)E是BC的中點，∠AEF=60°，求證：BE=DF。 C E DF如圖2，假設(shè)∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形。 B E C力量點2：菱形的判定的綜合應(yīng)用1：如下圖，在四邊形ABCDEABADE△BCEAB，BC，CD，DA分別為P，Q，M，N，試推斷四邊形PQMNDMC例2：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點。 NQA B求證：△MBA≌△NDC；

A P P BM N四邊形MPNQ是什么樣的特別四邊形？請說理由。 QD C力量點3：菱形中的最值問題DADAPCMN例1：如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長為6和8，