第3章 連續(xù)信號的頻譜-傅里葉變換

第三章

連續(xù)信號的頻譜——傅里葉變換

本章的主要內(nèi)容：1、周期信號的傅里葉級數(shù)分析2、典型周期信號的傅里葉級數(shù)3、傅里葉變換4、典型非周期信號的傅里葉變換5、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換6、傅里葉變換的基本性質(zhì)7、卷積特性（卷積定理）8、周期信號的傅里葉變換9、抽樣信號的傅里葉變換10、抽樣定理

第一節(jié)

引言

傅里葉分析發(fā)展史從本章開始由時域分析轉(zhuǎn)入頻域分析。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的。傅里葉分析的研究與應(yīng)用經(jīng)歷了一百余年。1822年法國數(shù)學(xué)家傅里葉（J.Fourier,1768-1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去。伴隨電機(jī)制造、交流電的產(chǎn)生與傳輸?shù)葘?shí)際問題的需要，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具已得到廣泛的應(yīng)用。直到19世紀(jì)末，制造出電容器。20世紀(jì)初，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。從此，在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用之中，采用頻率域（頻域）的分析方法比經(jīng)典的時間域（時域）方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)今，傅里葉分析方法已成為信號分析與系統(tǒng)設(shè)計不可缺少的重要工具。20世紀(jì)70年代，出現(xiàn)的各種二值正交函數(shù)（沃爾什函數(shù)），它對通信、數(shù)字信號處理等技術(shù)領(lǐng)域的研究提供了多種途徑和手段。使人們認(rèn)識到傅里葉分析不是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中唯一的變換域方法。但傅里葉分析始終有著極其廣泛的應(yīng)用，它是研究其他變換方法的基礎(chǔ)。而且出現(xiàn)了”快速傅里葉變換（FFT）”它給傅里葉分析這一數(shù)學(xué)工具增添了新的生命力。傅里葉分析方法不僅應(yīng)用于電力工程、通信和控制領(lǐng)域之中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。本章討論的路線：傅里葉級數(shù)正交函數(shù)——傅里葉變換，建立信號頻譜的概念；通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對于周期信號而言，進(jìn)行頻譜分析可用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換；傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。最后對研究周期信號與抽樣信號的傅里葉變換，并介紹抽樣定理，抽樣定理奠定了數(shù)字通信的理論基礎(chǔ)。

第二節(jié)

周期信號的傅里葉級數(shù)分析

一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

1、一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

為了積分方便，通常取積分區(qū)間為：三角函數(shù)集是一組完備函數(shù)集。2、另一種三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

3、傅里葉級數(shù)展開的充分條件通常所遇到的周期性信號都能滿足此條件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考慮這一條件。4、基波、諧波

通常把頻率為：稱為基波。頻率為：稱為二次諧波。頻率為：稱為三次諧波。頻率為：稱為三次諧波?？梢姡绷鞣至康拇笮∫约盎ㄅc各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。5、幅度譜、相位譜

周期信號的主要特點(diǎn)：二、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

1、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的形式

2.指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)中各個量之間的關(guān)系

3.指數(shù)形式表示的信號頻譜--復(fù)數(shù)頻譜Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。幅度譜與相位譜合并正、負(fù)頻率相應(yīng)項(xiàng)成對合并，才是實(shí)際頻譜函數(shù)。4.周期信號的功率特性—時域和頻域能量守恒定理周期信號的平均功率P：在一個周期內(nèi)求平方再求積分。帕塞瓦爾定理1.函數(shù)的對稱性三、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系要將信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)，如果f(t)是實(shí)函數(shù)，且它波形滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數(shù)中有些項(xiàng)為0，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也比較簡單。波形對稱性有兩類：（1）對整周期對稱。即偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）對半周期對稱。即奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)。2.傅里葉級數(shù)的系數(shù)求解(1)偶函數(shù)信號例如：周期三角波信號是一偶函數(shù)其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：例如：周期鋸齒波信號是一奇函數(shù)（2）奇函數(shù)信號（3）奇諧函數(shù)信號（半波對稱函數(shù)）奇諧函數(shù)信號：若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化，即滿足：00a=例子例如：奇諧函數(shù)四、傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用有限項(xiàng)級數(shù)來代替無限項(xiàng)級數(shù)。顯然，有限項(xiàng)數(shù)是一種近似的方法，所選項(xiàng)數(shù)愈多，有限項(xiàng)級數(shù)愈逼近原函數(shù)，其方均誤差愈小。例子以下為對稱方波，注意不同的項(xiàng)數(shù)，有限級數(shù)對原函數(shù)的逼近情況，并計算由此引起的方均誤差。只取基波分量一項(xiàng)解：其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：從上面例子看出：（1）n愈大，則愈逼近原信號f(t)。(2)當(dāng)信號f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。(3)當(dāng)信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形一般要發(fā)生失真。取基波分量和三次諧波分量取基波、三次諧波分量和五次諧波分量當(dāng)選取傅里葉有限級數(shù)的項(xiàng)數(shù)N很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。五、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象舉例3.1：解：舉例3.2：作業(yè)P1603-1，3-2，3-3，3-8

第三節(jié)

典型周期信號的傅里葉級數(shù)

典型周期信號的傅里葉級數(shù)典型周期信號的頻譜分析可利用：傅里葉級數(shù)或傅里葉變換介紹的典型周期信號有如下：1、周期矩形脈沖信號2、周期鋸齒脈沖信號3、周期三角脈沖信號4、周期半波余弦信號5、周期全波余弦信號1、周期矩形脈沖信號(1)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1。解：（2）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜幅度譜相位譜復(fù)數(shù)頻譜：實(shí)數(shù)頻譜：幅度譜與相位譜合并周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱方波信號有兩個特點(diǎn)：a.是正負(fù)交替的信號，其直流分量a0等于零。b.它的脈寬恰等于周期的一半，即t=T1/2（3）舉例：周期對稱方波信號的傅里葉級數(shù)解：幅度譜相位譜(2)周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號，是奇函數(shù)。解：它是奇函數(shù)可求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)bn,留給同學(xué)們做。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：此信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。(3)周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期三角脈沖信號，是偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)可求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：(4)周期半波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期半波余弦信號，是偶函數(shù)。解：它是偶函數(shù)可求出傅里葉級數(shù)的系數(shù)a0,an,留給同學(xué)們做。此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：(5)周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期全波余弦信號，是偶函數(shù)。解：令余弦信號為此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：則，全波余弦信號為：作業(yè)P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，

第四節(jié)

傅里葉變換

一、傅里葉變換（非周期信號）1.傅里葉變換引入

由于周期信號的周期T1，譜線的間隔w10，則離散譜變成連續(xù)譜。由于周期信號的周期T1，譜線的長度F(nw1)趨于零，則其頻譜失去應(yīng)有的意義。但從物理意義上講，既然是一個信號，那么必然有能量，無論如何分解，必須存在頻譜分布。2.頻譜密度的概念

對非周期信號不能采用周期信號的頻譜定義方式。而必須引入一個新的量。頻譜密度函數(shù)：在T1，譜線的間隔w10,不趨于零，而趨近于有限值，且變成一個連續(xù)函數(shù)，簡稱為頻譜函數(shù)。3.傅里葉變換定義由：得：4.非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜頻譜函數(shù)F(w)：一般是復(fù)函數(shù)。：是F(w)的模，它代表信號中各頻率分量的相對大小。：是F(w)的相位函數(shù)，它代表信號中各頻率分量的相位關(guān)系。人們習(xí)慣上也把：：為非周期信號的幅度頻譜；：為非周期信號的相位頻譜。5.傅里葉變換形式的三角形式6.傅里葉變換的特點(diǎn)非周期信號和周期信號一樣，可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。由于非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。由于周期趨于無限大，因此，對任一能量有限（功率無限）的信號（如單脈沖信號），在各頻率點(diǎn)的分量幅度趨于零。非周期信號的頻譜用頻譜密度來表示。看出：周期信號其頻譜為離散譜；（傅里葉級數(shù)）非周期信號其頻譜為連續(xù)譜；（傅里葉變換）周期信號與非周期信號，傅里葉級數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來。7.傅里葉變換的存在充分條件傅里葉變換存在的充分條件是在無限內(nèi)滿足絕對可積條件：借助奇異函數(shù)（如沖激函數(shù)）的概念，可使許多不滿足絕對可積條件的信號，如周期信號、階躍信號、符號函數(shù)等存在傅里葉變換。

第五節(jié)

典型非周期信號的傅里葉變換

典型非周期信號的傅里葉變換

本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1、單邊指數(shù)信號2、雙邊指數(shù)信號3、奇雙邊指數(shù)信號4、矩形脈沖信號5、鐘形脈沖信號6、符號函數(shù)7、升余弦脈沖信號一、單邊指數(shù)信號的傅里葉變換

其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：單邊指數(shù)信號的頻譜如下：時域波形頻域頻譜二、雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換

其傅里葉變換為：代入傅里葉變換定義公式中解：雙邊指數(shù)信號的頻譜如下：頻域頻譜時域波形相位等0三、奇雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換

頻域頻譜時域波形四、矩形脈沖信號的傅里葉變換

時域有限的矩形脈沖信號，在頻域上是無限分布。通常，認(rèn)為信號占有頻率范圍（頻帶）為五、鐘形脈沖信號的傅里葉變換（高斯脈沖）

其傅里葉變換為：因?yàn)殓娦蚊}沖信號是一正實(shí)函數(shù)，所以其相位頻為零。六、符號函數(shù)的傅里葉變換

其傅里葉變換為：

這種信號不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。采用符號函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號函數(shù)的頻譜。七、升余弦脈沖信號的傅里葉變換

升余弦脈沖信號：其傅里葉變換為：

它的頻譜是由三項(xiàng)構(gòu)成的，他們都是矩形脈沖的頻譜，只是有兩項(xiàng)沿頻率軸左、右平移了代入傅里葉變換定義公式中解：化簡得：作業(yè)P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，

第六節(jié)

沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換

（1）沖激函數(shù)的傅里葉正變換

f(t)=d(t)一、沖激函數(shù)的傅里葉變換

單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，即：在整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的。在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。稱此頻譜為“均勻譜”或“白色譜”。其傅里葉變換為：（2）沖激函數(shù)的傅里葉反變換

其傅里葉變換為：直流信號f(t)=E求f(t)沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。反過來，直流信號的頻譜是沖激函數(shù)。求解直流信號的傅里葉變換解：采用寬度為的矩形脈沖的極限而求得。當(dāng)時，矩形脈沖成為直流信號f(t)=E,其傅氏變換為：若令比較上兩式可得到：當(dāng)E=1時，二、沖激偶信號的傅里葉變換

沖激偶函數(shù)：其傅里葉變換為：推導(dǎo)：解：

兩邊求導(dǎo)：得：推廣：：

三、階躍信號的傅里葉變換

階躍函數(shù)：階躍函數(shù)u(t)不滿足絕對可積條件，但它仍存在傅里葉變換?？梢姡簡挝浑A躍函數(shù)u(t)的頻譜在w=0點(diǎn)存在一個沖激函數(shù)，即：u(t)含有直流分量。此外：由于u(t)不是純直流信號，它在t=0點(diǎn)有跳變，因此在頻譜中還存在其他頻率分量。第七節(jié)

傅里葉變換的基本性質(zhì)

傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換建立了時間函數(shù)f(t)與頻譜函數(shù)F(w)之間的對應(yīng)關(guān)系。其中，一個函數(shù)確定之后，另一函數(shù)隨之被唯一地確定。1、對稱性2、線性（疊加性）3、奇偶虛實(shí)性4、反折5、共軛性能6、尺度變換特性7、時移特性8、頻移特性9、微分特性10、積分特性傅里葉變換的性質(zhì)TT傅里葉變換的性質(zhì)TTT其中，a1,a2為常數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)為復(fù)函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)當(dāng)信號在時域中壓縮（a>0)，等效于在頻域中擴(kuò)展。當(dāng)信號在時域中擴(kuò)展（a<0)，等效于在頻域中壓縮。當(dāng)信號在時域中沿縱軸反折（a=-1)，說明信號在時域中沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。即：信號的波形壓縮a倍，信號隨時間變化加快a倍，則它所包含的頻率分量增加a倍。即頻譜展寬a倍。根據(jù)能量守恒定律，各頻率分量的大小必然減小a倍。在通信系統(tǒng)中，通信速度與占用頻帶寬度是一對矛盾。傅里葉變換的性質(zhì)信號在時域中延時t-t0（沿時間軸右移），等效于在頻域中相位產(chǎn)生偏差（-wt0),其幅度譜不變。例3-2求下列所示三脈沖信號的頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號由時移特性可得：其頻譜如下：例3-3求雙Sa信號的頻譜。解：令f0(t)表示為Sa信號波形由時移特性得：已知F0(w)表示為Sa信號頻譜可得幅度譜：雖然單Sa信號的頻譜最為集中，但它含有直流分量，使得它在實(shí)際傳輸過程中帶來不便，而雙Sa信號的頻譜能消去直流分量。傅里葉變換的性質(zhì)頻譜搬移技術(shù)在通信中應(yīng)用廣泛。如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻域上右移w0,等效時域中信號調(diào)制。即乘以因子例3-4已知矩形調(diào)幅信號如圖所示其中G(t)為矩形脈沖，脈幅為E，脈寬為，試求其頻譜。解：G(t)矩形脈沖的頻譜為：根據(jù)頻移特性：f(t)的頻譜F(w)為其頻譜圖為：例3-5已知余弦信號利用頻移定理求其頻譜。解：已知直流信號的頻譜是位于w=0點(diǎn)的沖激函數(shù)，即利用頻移定理，可求得其頻譜位于0,頻譜圖如下：余弦、正弦信號即為單頻信號。傅里葉變換的性質(zhì)例子已知單位階躍信號u(t)的傅里葉變換利用時域微分定理，求(t)及’(t)。解：例3-6已知三角脈沖信號利用微分特性求其頻譜F(w).解：f(t)的波形如右求導(dǎo)再求導(dǎo)求其頻譜最后求出f(t)的頻譜F(w).將f(t)取一階與二階導(dǎo)數(shù)：求出二階導(dǎo)數(shù)的頻譜F2(w).求得f(t)的頻譜為：其頻譜圖例3-7求下列截平斜變信號的頻譜解：利用積分特性求y(t)的頻譜Y(w).已知：矩形脈沖信號f(t)，其積分就是y(t)求積分通過積分特性求其頻譜最后求出y(t)的頻譜Y(w).已知矩形脈沖信號f(t)的頻譜根據(jù)積分特性求出y(t)的頻譜Y(w).時移時移作業(yè)P1683-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，3-30，第八節(jié)

卷積特性（卷積定理）

卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號處理中的重要地位－－應(yīng)用最廣。所以單獨(dú)以一節(jié)來講。共分二個定理：時域卷積定理頻域卷積定理卷積特性１、時域卷積定理

給定兩個時間函數(shù)已知：則：時域卷積

頻域相乘。即：兩個時間函數(shù)卷積的頻譜等于各個時間函數(shù)頻譜的乘積。證明：

根據(jù)卷積定義則：２、頻域卷積定理

給定兩個時間函數(shù)已知：則：頻域卷積

時域相乘。即：兩個時間函數(shù)頻譜的卷積等效于各個時間函數(shù)的乘積（乘以系數(shù)）。例3-８已知余弦脈沖信號解：把余弦脈沖信號看成是矩形脈沖信號Ｇ(t)與周期余弦信號相乘。利用卷積定理求其的頻譜。乘以等于時域：頻域：卷積等于已知：化簡得：例3-９題目同例３－６已知三角脈沖信號利用卷積定理求其頻譜F(w).解：兩個同樣矩形脈沖的卷積即為三角脈沖。如下：卷積等于時域卷積等于頻域相乘。乘以等于即求出三角脈沖的頻譜F(w).補(bǔ)充例子3.１：請同學(xué)們畫出頻譜圖用ＭＡＴＬＡＢ畫出頻譜圖：補(bǔ)充3.２：已知f(t)=g2(t)cos(500t)，求其頻譜函數(shù)cos(100t)cos(1000t)

解：頻譜圖補(bǔ)充例子3.３：頻譜圖：補(bǔ)充例３.４：補(bǔ)充例3.５：頻譜圖：作業(yè)P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九節(jié)

周期信號的傅里葉變換

一、周期信號的傅里葉變換

周期信號-------傅里葉級數(shù)非周期信號-------傅里葉變換周期無窮大求和變求積分

周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號的傅里葉變換。目的：把周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。1.正弦、余弦周期信號的傅里葉變換

頻譜例子其頻譜圖為：有限長的余弦信號

有限長余弦信號f0(t)的寬度增大時，頻譜F0()越來越集中到1的附近，當(dāng)，有限長余弦信號就變成無窮長余弦信號，此時頻譜在1處成為無窮大，而在其他頻率處均為零。即此時頻譜變?yōu)槲挥?的兩個沖激函數(shù)。2.一般周期信號的傅里葉變換

令周期信號f(t)的周期為T1，角頻率為1=2f1其中：2.單脈沖信號的傅里葉變換

單脈沖信號：從周期脈沖信號f(t)中截取一個周期，得到單脈沖信號。單脈沖的傅里葉變換F0():為非周期信號直接用傅里葉變換定義公式。3.利用單脈沖信號求周期信號的傅里葉變換

周期信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)Fn等于單脈沖信號的傅里葉變換F0()在n1頻率點(diǎn)的值乘以1/T1?；?qū)懗芍芷谛盘柵c單脈沖信號的關(guān)系：可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。例3-10求周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。解：畫波形單位沖激函數(shù)的間隔為T1，用符號T(t)表示周期單位沖激序列：FS可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)中只包含位于=0,1,21,n1,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T1。FTT(t)是周期函數(shù)，求其傅里葉級數(shù)：求T(t)的傅里葉變換?？梢?，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于=0,1,21,n1,頻率處的沖激函數(shù)，其強(qiáng)度大小相等，均等于1。例3-11求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。解：先求矩形單脈沖信號f0(t)的傅里葉變換F0(w)……再求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)Fn……求得周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)：最后求周期矩形脈沖信號的傅里葉變換F(w)?？闯觯褐芷谛盘栴l譜是離散的；非周期信號的頻譜是連續(xù)。第十節(jié)

抽樣信號的傅里葉變換

一、抽樣、抽樣信號的概念1.抽樣

抽樣：利用抽樣脈沖序列p(t)從邊續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列的離散樣值的過程，稱之。2.抽樣信號

抽樣信號：經(jīng)抽取后的一系列的離散信號稱之。請同學(xué)們注意區(qū)別：抽樣信號與抽樣函數(shù)Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個含義。抽樣也稱為“采樣”或“取樣”。二、實(shí)現(xiàn)抽樣的原理及框圖1.原理

抽樣原理：連續(xù)信號經(jīng)抽樣成抽樣信號，再經(jīng)量化、編碼變成數(shù)字信號。將這種數(shù)字信號經(jīng)傳輸，進(jìn)行上述逆過程，就可恢復(fù)出原連續(xù)信號。2.框圖

抽樣量化編碼抽樣過程方框圖連續(xù)信號f(t)抽樣信號數(shù)字信號fs(t)抽樣脈沖p(t)三、抽樣后，提出的問題抽樣后，有兩個問題要解決：1.抽樣信號fs(t)的傅里葉變換？它和未經(jīng)抽樣的原連續(xù)信號f(t)的傅里葉變換有什么聯(lián)系？（本節(jié)討論的內(nèi)容）

２.連續(xù)信號被抽樣后，它是否保留了原信號f(t)的全部信息？即在什么條件下，可從抽樣信號fs(t)中無失真地恢復(fù)出原連續(xù)信號f(t)？（下節(jié)討論）

四、抽樣方式抽樣有兩種方式：1.時域抽樣

２.頻域抽樣五、時域抽樣設(shè)連續(xù)信號抽樣脈沖信號抽樣后信號fs(t)若采用均勻抽樣，抽樣周期為Ts，抽樣頻率為抽樣過程：通過抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號f(t)相乘。即：p(t)是周期信號，其傅里葉變換其中是p(t)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)根據(jù)頻域卷積定理：化簡結(jié)論：信號時域抽樣：（1）其頻譜Fs(w)是連續(xù)信號頻譜F(w)是原信號頻譜的周期延拓；（2）其周期為抽樣頻率ws，（3）其幅度被Pn加權(quán)。由于Pn僅是n的函數(shù)，所以其形狀不會發(fā)生變化。六、抽樣脈沖序列的形狀可采用不同的抽樣脈沖進(jìn)行抽樣，討論兩種典型的抽樣脈沖序列：1.矩形脈沖抽樣(自然抽樣）

２.沖激抽樣（理想抽樣）1.矩形脈沖抽樣(自然抽樣）抽樣脈沖p(t)是矩形，它的脈沖幅度為E，脈寬為，抽樣角頻率為s(抽樣間隔為Ts)，頻譜……頻譜頻譜相乘頻譜卷積求得頻譜包絡(luò)幅度：得到矩形抽樣信號的頻譜：說明：矩形抽樣在脈沖頂部不是平的，而是隨f(t)變化的，故稱之“自然抽樣”。2.沖激抽樣(理想抽樣）若抽樣脈沖p(t)是沖激序列頻譜頻譜…………得到?jīng)_激抽樣信號的頻譜：頻譜相乘頻譜卷積求得頻譜包絡(luò)幅度：……不管矩形脈沖抽樣或沖激抽樣，其抽樣后的信號其頻譜是離散周期的信號，其頻譜的周期為：結(jié)論：對于矩形脈沖抽樣，其頻譜的幅度隨Sa函數(shù)變化。對于沖激抽樣，其頻譜的幅度為常數(shù)。沖激抽樣是矩形脈沖抽樣的一種極限情況。實(shí)際抽樣為矩形脈沖抽樣。例子

鐘形連續(xù)信號：用間隔矩形脈沖p(t)進(jìn)行抽樣則抽樣信號其抽樣信號的頻譜為其頻譜為：抽樣信號的傅里葉變換

七、頻率抽樣

設(shè)連續(xù)信號若已知連續(xù)信號頻譜則抽樣后的頻譜:其中理想抽樣信號為:即在頻域上抽樣:對