第三章 參數(shù)估計(jì)-4

周圣武數(shù)理統(tǒng)計(jì)Tel-mail:zswcumt@163.com中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院記為定義

設(shè)X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱(chēng)隨機(jī)變量所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布1.抽樣分布復(fù)習(xí)記作T～t(n)。所服從的分布為自由度為n的t分布.設(shè)X～N(0,1),Y～則稱(chēng)變量,且X與Y相互獨(dú)立，2.t分布設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)服從自由度為3.F

分布n1及n2的F分布，記作F~F(n1,n2)。

定理1設(shè)X1,X2,…,Xn

是取自正態(tài)總體的樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則有⑴⑵⑶相互獨(dú)立定理2

設(shè)總體X

服從正態(tài)分布是X的樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則有⑴⑵

定理3設(shè)X1,X2,…,Xn1與Y1,Y2,…,Yn2分別是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，并且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，記則有⑴⑵當(dāng)時(shí)其中估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)的問(wèn)題，若根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚(yú)數(shù)N的最大似然估計(jì)值為1000條。Question:

這個(gè)數(shù)是湖中魚(yú)數(shù)的真值嗎？湖中魚(yú)數(shù)的真值[]=>希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.§3.4區(qū)間估計(jì)這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的習(xí)慣上把置信水平記作，這里

是一個(gè)很小的正數(shù).的，稱(chēng)為置信概率、置信水平或置信度。定義

設(shè)θ是總體X的一個(gè)未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn

為X的樣本，若對(duì)于事先給定的一個(gè)數(shù)α，0<α<1,存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使得則稱(chēng)是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間；給出該區(qū)間含真值θ的可靠度；注意：α表示該區(qū)間不包含真值θ的可能性。為θ的置信區(qū)間，1－α為置信水平。通常,

采用95%置信水平,有時(shí)也取99%或90%.即置信水平為這時(shí)重復(fù)抽樣100次,則在得到的100個(gè)區(qū)間中包含真值的有95個(gè)左右,不包含真值的有5個(gè)左右。例

若例1設(shè)x1,x2

,

…,x10是來(lái)自N(,

2)的樣本，則的置信水平為1-的置信區(qū)間為

其中，s分別為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這個(gè)置信區(qū)間的由來(lái)將在后面說(shuō)明，這里用它來(lái)說(shuō)明置信區(qū)間的含義。若取

=0.10，則t0..95(9)=1.8331，上式化為

現(xiàn)假定=15,

2=4，則我們可以用隨機(jī)模擬方法由N(15,4)產(chǎn)生一個(gè)容量為10的樣本，如下即是這樣一個(gè)樣本：

14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.9513.3716.2912.38

由該樣本可以算得從而得到的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為該區(qū)間包含的真值15。現(xiàn)重復(fù)這樣的方法100次，可以得到100個(gè)樣本，也就得到100個(gè)區(qū)間，我們將這100個(gè)區(qū)間畫(huà)在圖上。由圖上可以看出，這100個(gè)區(qū)間中有91個(gè)包含參數(shù)真值15，另外9個(gè)不包含參數(shù)真值。取=0.50，我們給出100個(gè)這樣的區(qū)間?？梢钥闯?，這100個(gè)區(qū)間中有50個(gè)包含參數(shù)真值15，另外50個(gè)不包含參數(shù)真值。

計(jì)算置信區(qū)間的一般步驟：⑴由樣本X1,X2,…,Xn構(gòu)造一個(gè)樣本函數(shù)

其中只含有未知參數(shù)θ⑵對(duì)于給定的置信水平1－α，找a,b,使得(3)解不等式由此可得θ的置信水平為1－α的置信區(qū)間§3.5

正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)X1,X2,…,Xn為總體N(μ,σ2)的一個(gè)樣本，在置信水平1－α下，確定μ和σ2的置信區(qū)間。設(shè)已知方差且是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量；⑴已知方差，估計(jì)均值μ又1.單正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)對(duì)于給定的置信度查正態(tài)分布表，找出臨界值使得由此可找出無(wú)窮多組通常我們?nèi)?duì)稱(chēng)區(qū)間使得由上分位點(diǎn)的定義

對(duì)于給定的有所以μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為簡(jiǎn)記為例

若取查表得值算得樣本均值的觀察值則得到一個(gè)置信度為0.95的μ的置信區(qū)間，若由一個(gè)樣本注：

μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。

上例中同樣給定,可以取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上α分位點(diǎn)-Z0.04和Z0.01，則也有則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為但對(duì)稱(chēng)時(shí)的區(qū)間長(zhǎng)度最短。像N(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對(duì)稱(chēng)的情況。當(dāng)n固定時(shí),以的區(qū)間長(zhǎng)度為最短，若L為區(qū)間長(zhǎng)度，則可見(jiàn)L隨n

的增大而減少（α給定）.例1已知幼兒身高（cm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從5~6歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：115,120，131,115,109,115,115,105,110假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為7，置信度為95%;試求總體均值μ的置信區(qū)間。解已知由樣本值算得：查正態(tài)分布表得，由此得置信區(qū)間設(shè)總體問(wèn)需要抽取容量為多大的樣本,才能使的置信水平為0.95的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.49?解

設(shè)需要抽取容量為n的樣本,其樣本均值為查表得于是μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為該區(qū)間長(zhǎng)度例2解得取⑵方差未知，估計(jì)均值μ因?yàn)榈臒o(wú)偏估計(jì)。而選取樣本函數(shù)對(duì)于給定的查t分布表，得臨界值使我們?nèi)?duì)稱(chēng)區(qū)間可用樣本方差：所以μ的置信區(qū)間為簡(jiǎn)記為用儀器測(cè)量溫度,重復(fù)測(cè)量7次,測(cè)得溫度分別為:115,120,131,115,109,115,115;設(shè)溫度在置信度為95%時(shí),試求溫度的真值所在范圍。例3查表得已知由樣本值算得解設(shè)μ是溫度的真值，X是測(cè)量值所以置信區(qū)間為例4對(duì)某種型號(hào)飛機(jī)的飛行速度進(jìn)行15次試驗(yàn),測(cè)得最大飛行速度(單位:米/秒)為422.2,417.2,425.6，420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5，413.5,441.3,423.0,428.2根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為最大飛行速度服從正態(tài)分布.求飛機(jī)最大飛行速度的期望值的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解

以X表示該飛機(jī)的最大飛行速度,則查表得由于總體方差未知,因此的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:由⑶方差的置信區(qū)間（均值μ未知）X1,X2,…,Xn為總體的一個(gè)樣本我們知道是的無(wú)偏估計(jì)并且樣本函數(shù)：找使概率對(duì)稱(chēng)的區(qū)間由于分布不對(duì)稱(chēng)性，即由分布表的構(gòu)造置信區(qū)間即標(biāo)準(zhǔn)差σ的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間注意：在密度函數(shù)不對(duì)稱(chēng)時(shí)，如習(xí)慣上仍取對(duì)稱(chēng)的分位點(diǎn)，但其置信區(qū)間的長(zhǎng)度并不最短。例6

某自動(dòng)車(chē)床加工零件，抽查16個(gè)測(cè)得長(zhǎng)加工零件長(zhǎng)度的方差。解

先求σ2的估計(jì)值度（毫米），怎樣估計(jì)該車(chē)床查表所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間例7

假設(shè)總體信區(qū)間。的樣本為，求未知，X的置信度為95%的置解⑴μ的置信區(qū)間為⑵σ2的置信區(qū)間為所以σ2的置信區(qū)間為2.雙正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)X1,X2,…,Xn1為總體的一個(gè)樣本，Y1,Y2,…,Yn2為總體X與Y相互獨(dú)立。的一個(gè)樣本,（1）的置信區(qū)間①均為已知,且是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為②未知所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為（2）的置信區(qū)間所以的置信水平為1-α的置信區(qū)間為3.非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（1）指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（2）二項(xiàng)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（3）一般分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（應(yīng)用中心極限定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換）在樣本容量充分大時(shí)，可以用漸近分布來(lái)構(gòu)造近似的置信區(qū)間。一個(gè)典型的例子是關(guān)于(0-1)分布中比例p的置信區(qū)間。(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)x1,…,xn是來(lái)自b(1,p)的樣本,有其中=z2/2，實(shí)用中通常略去/n項(xiàng)，于是可將置信區(qū)間近似為對(duì)給定

，1.對(duì)某事件A作120次觀察，A發(fā)生36次。試給出事件A發(fā)生概率p的0.95置信區(qū)間。答案（0.218，0.382）2.某傳媒公司欲調(diào)查電視臺(tái)某綜藝節(jié)目收視率p，為使得p的1-置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)d0，問(wèn)應(yīng)調(diào)查多少用戶？

答案練習(xí)P69：15~20練習(xí)題1.設(shè)總體X的概率密度為X1,X2,…,Xn為X的樣本。（1）求參數(shù)θ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；（2）判斷θ的最大似然估計(jì)量是否是θ的無(wú)偏估計(jì)；（3）判斷θ的最大似