第3章 隨機(jī)過(guò)程

回顧

隨機(jī)過(guò)程的基本概念角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合.(t)={1(t),2(t),…,n(t)}是全部樣本函數(shù)的集合。角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。隨機(jī)過(guò)程是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。2/4/20231回顧

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征均值（數(shù)學(xué)期望）表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。積分是對(duì)x進(jìn)行的，表示t時(shí)刻各個(gè)樣本的均值，不同時(shí)刻t的均值構(gòu)成擺動(dòng)中心。方差表示隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻對(duì)于均值a(t)的偏離程度。等于均方值與均值平方之差。2/4/20232第3章隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)反映隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系互相關(guān)函數(shù)：將相關(guān)函數(shù)的概念引伸到兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程2/4/20233回顧嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

性質(zhì)數(shù)字特征判斷隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性。定義廣義(寬)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。各態(tài)歷經(jīng)性

時(shí)間平均=統(tǒng)計(jì)平均2/4/20234回顧平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度(維納-辛欽關(guān)系)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一樣本的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度。2/4/2023510ffH-fHδ(f)Pξ(f)典型例題1.隨機(jī)過(guò)程(t)的功率譜密度如圖試求：⑴自相關(guān)函數(shù)R(τ)；⑵直流功率；⑶交流功率。解：由圖可知，該功率譜密度表達(dá)式為2/4/20236典型例題2.設(shè)s(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)脈沖序列，其功率譜密度為Ps(f),求已調(diào)信號(hào)e(t)=s(t)cosωct的功率譜密度Pe(f)。解：2/4/20237第3章隨機(jī)過(guò)程3.3高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）

3.3.1定義如果隨機(jī)過(guò)程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。

n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中2/4/20238第3章隨機(jī)過(guò)程|B|－歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk－行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子

bjk－為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即2/4/20239第3章隨機(jī)過(guò)程

3.3.2重要性質(zhì)對(duì)于高斯過(guò)程，只需要研究它的數(shù)字特征。由高斯過(guò)程的定義式可以看出，高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過(guò)程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。2/4/202310第3章隨機(jī)過(guò)程如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j

k，有bjk=0，則其概率密度可以簡(jiǎn)化為

高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后的過(guò)程仍是高斯過(guò)程。即若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過(guò)程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過(guò)程。若干個(gè)高斯過(guò)程的代數(shù)和的過(guò)程仍是高斯型。2/4/202311第3章隨機(jī)過(guò)程

3.3.3高斯隨機(jī)變量定義：高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為均值a處，出現(xiàn)的概率最大。2/4/202312第3章隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)⑴f(x)對(duì)稱于直線x=a，即⑵⑶a表示分布中心，

稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著

的減小而變高和變窄。若a=0,=1，稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：2/4/202313第3章隨機(jī)過(guò)程正態(tài)分布函數(shù)（正態(tài)分布的概率密度f(wàn)(x)的積分）

這個(gè)積分的值無(wú)法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)erf(x)表示：－誤差函數(shù)，可以查表求出其值。令 則有及2/4/202314第3章隨機(jī)過(guò)程誤差函數(shù)是自變量的遞增函數(shù)，且有erf(0)=0，erf(∞)=1，erf(-x)=-erf(x)用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示：

式中互補(bǔ)誤差函數(shù)是自變量的遞減函數(shù)，且有erfc(0)=1，erfc(∞)=0，erfc(-x)=2-erfc(x)。當(dāng)x>2時(shí)，2/4/202315第3章隨機(jī)過(guò)程用Q函數(shù)表示：Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q(-x)=1-Q(x)，x≥0；Q(0)=1/2，Q(∞)=0。2/4/202316第3章隨機(jī)過(guò)程3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)）：線性時(shí)不變系統(tǒng)可由其單位沖激響應(yīng)h(t)或其頻率響應(yīng)H(f)表征。輸入與輸出關(guān)系可以表示成卷積式中vi

－輸入信號(hào)，vo－輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：2/4/202317第3章隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)：把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本，vo(t)看作輸出隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本。當(dāng)線性系統(tǒng)輸入端加入一個(gè)隨機(jī)過(guò)程i(t)時(shí)，對(duì)于i(t)的每個(gè)樣本[vi,n(t),n=1,2,…]，系統(tǒng)輸出都有一個(gè)[vo,n(t),n=1,2,…]與其相對(duì)應(yīng)，而所有[vo,n(t),n=1,2,…]的集合構(gòu)成輸出隨機(jī)過(guò)程o(t)，因此假設(shè)：i(t)－輸入的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，a－均值，Ri()－自相關(guān)函數(shù)，Pi()－功率譜密度；求輸出過(guò)程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性（均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布）。2/4/202318第3章隨機(jī)過(guò)程輸出過(guò)程o(t)的均值

對(duì)o(t)兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，得到 因?yàn)榧僭O(shè)輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，則有 式中，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)，即直流增益。因此輸出過(guò)程的均值是一個(gè)常數(shù)。2/4/202319第3章隨機(jī)過(guò)程輸出過(guò)程o(t)的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)輸入過(guò)程的平穩(wěn)性，有于是即輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)僅僅是時(shí)間間隔的函數(shù)?？梢?jiàn)，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。2/4/202320第3章隨機(jī)過(guò)程輸出過(guò)程o(t)的功率譜密度

對(duì)上式進(jìn)行傅里葉變換： 令=+－，代入上式，得到 即結(jié)論：輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入過(guò)程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po(f)的反傅里葉變換求Ro()

2/4/202321第3章隨機(jī)過(guò)程輸出過(guò)程o(t)的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看，可表示為一個(gè)和式的極限：由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過(guò)程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是這無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個(gè)“和”也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過(guò)程也為高斯過(guò)程。注意，與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。更一般地說(shuō)，高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后的過(guò)程仍為高斯過(guò)程。2/4/202322第3章隨機(jī)過(guò)程3.5窄帶隨機(jī)過(guò)程

什么是窄帶隨機(jī)過(guò)程？若隨機(jī)過(guò)程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f（帶寬）內(nèi)，且中心頻率fc遠(yuǎn)離零頻率，即則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶帶通型，通過(guò)窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必然是窄帶隨機(jī)過(guò)程。2/4/202323第3章隨機(jī)過(guò)程典型的窄帶隨機(jī)過(guò)程的譜密度和樣本函數(shù)

窄帶隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本的波形，如同一個(gè)包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。頻率不是隨機(jī)的。2/4/202324第3章隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示式包絡(luò)~相位形式

式中，aξ(t)－窄帶隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)包絡(luò)

ξ(t)－窄帶隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)相位

c－正弦波的中心角頻率顯然，aξ(t)和ξ(t)的變化相對(duì)于載波cosct的變化要緩慢得多。2/4/202325第3章隨機(jī)過(guò)程同相~正交形式將窄帶隨機(jī)過(guò)程表示式進(jìn)行三角函數(shù)展開(kāi)，得到其等價(jià)式式中 －(t)的同相分量 －(t)的正交分量可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由aξ(t)和ξ(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則aξ(t)和ξ(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。

注意：窄帶過(guò)程的aξ(t)和ξ(t)及c(t)和s(t)都是隨機(jī)緩變的過(guò)程，均屬低通型過(guò)程。今后均假設(shè)(t)是一個(gè)均值為0，方差為ξ2的平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程。2/4/202326第3章隨機(jī)過(guò)程3.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性

數(shù)學(xué)期望：對(duì)上式求數(shù)學(xué)期望得到因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E[(t)]=0，所以2/4/202327第3章隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)：式中2/4/202328第3章隨機(jī)過(guò)程因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而僅與有關(guān)。因此，若令t=0，上式仍應(yīng)成立，這時(shí)因與時(shí)間t無(wú)關(guān)，以下二式自然成立所以2/4/202329第3章隨機(jī)過(guò)程因與時(shí)間無(wú)關(guān)，再令t=π/2c，同理可以求得

小結(jié)1：若窄帶過(guò)程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。2/4/202330第3章隨機(jī)過(guò)程進(jìn)一步分析以下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有小結(jié)2：同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到這說(shuō)明Rsc()是的奇函數(shù)，所以同理可證2/4/202331第3章隨機(jī)過(guò)程將代入下兩式得到同時(shí)小結(jié)3：(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因?yàn)榫禐?）。2/4/202332第3章隨機(jī)過(guò)程根據(jù)平穩(wěn)性，過(guò)程的特性與變量t無(wú)關(guān)，故由式 得到

小結(jié)4：因?yàn)?t)是高斯過(guò)程，所以，c(t1)、s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t)、s(t)也是高斯過(guò)程。根據(jù)Rcs(0)=0可知，c(t)與s(t)在=0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此小結(jié)5：c(t)與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。2/4/202333第3章隨機(jī)過(guò)程結(jié)論：一個(gè)均值為零，方差為