43多項(xiàng)式方法求特征值問(wèn)題

4．3多項(xiàng)式方法求特色值問(wèn)題方法求多項(xiàng)式系數(shù)我們知道，求n階方陣A的特色值就是求代數(shù)方程()|AI|0（）的根。()稱為A的特色多項(xiàng)式。上式睜開(kāi)為()np1n1p2n2.....pn（）此中p1,p2,...pn為多項(xiàng)式()的系數(shù)。從理論上講，求A的特色值可分為兩步：第一步直接睜開(kāi)隊(duì)列式|AI|求出多項(xiàng)式()；第二步求代數(shù)方程(x)0的根，即特色值。關(guān)于低階矩陣，這類方法是可行的。但關(guān)于高階矩陣，計(jì)算量則很大，這類方法是不適用的。這里我們介紹用F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特色方程（）中多項(xiàng)式()的系數(shù)。因?yàn)榇鷶?shù)方程求根問(wèn)題在第2章中已經(jīng)介紹，所以本節(jié)中解決特色值問(wèn)題的要點(diǎn)是確立矩陣A的特色多項(xiàng)式()，所以稱這類方法為多項(xiàng)式方法求特色值問(wèn)題。記矩陣A=(aij)nn的對(duì)角線元素之和為trAa11a22...ann（）利用遞歸的看法定義以下n個(gè)矩陣Bk(k1,2,....,n):p1trB1B1A,p21B2A(B1p1I),trB22p31trB3B3A(B2p2I),3...............pk1trBkBkA(Bkpk1I),k1................pn1BnA(Bn1pn1I),trBnn（）能夠證明,(4.3.4)式中pk,k1,2,...,n,即是所求A的特色多項(xiàng)式()的各系數(shù)。用（）式求矩陣的特色多項(xiàng)式系數(shù)的方法稱為F-L方法。相應(yīng)特色方程為：(1)n(np1n1p2n2.....pn)0（）并且可證矩陣A的逆矩陣可表示為A11(Bn1pn1I)pn(4.3.6)例1求矩陣324A202423的特色值與A1.解用F-L方法求得324B1A202423p1trB161124B2A(B1p1I)2824211p21trB2152800B3A(B2p2I)080008p31trB38所以A的特色方程為3(1)3(362158)0此方程的根,即特色值為18,21,31111242A11(B2p2I)171p3484111242從例1中的計(jì)算結(jié)果可知B3p3I.Faddeev以前證明:對(duì)n階矩陣A,按(4.3.4)式計(jì)算出的Bn總有BnpnI(4.3.7)特色向量求法當(dāng)矩陣A的特色向量確立此后,將這些特色值逐一代入齊次線性程組(AI)x=0中,因?yàn)橄禂?shù)矩陣AI的秩小于矩陣AI的階數(shù)n,所以固然有n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù),但實(shí)際上是解有n個(gè)未知數(shù)的互相獨(dú)立的r個(gè)方程(r<n).當(dāng)矩陣A的所有特色值互不同樣時(shí),這樣的問(wèn)題中要解的齊次方程組中有n-1個(gè)獨(dú)立方程,此中含有n個(gè)特色向量重量,所以特色向量重量中最罕有一個(gè)需要隨意假定其值,才能求出其余特色重量.在計(jì)算機(jī)中解這樣的齊次線性程組,可用高斯-若當(dāng)消去法,以便把一組n個(gè)方程簡(jiǎn)化為等價(jià)的一組n-1個(gè)方程的方程組.可是,用高斯-若當(dāng)消去法簡(jiǎn)化一個(gè)齊次線性程組時(shí),方程之間不都是獨(dú)立的,在消去過(guò)程中系數(shù)為零的狀況許多.必需互換方程中未知數(shù)的序次,以避免主元素地點(diǎn)上為零的狀況.所以,為了提升精度和防范零元素的可能性,我們老是用主元素措施把絕對(duì)值最大的系數(shù)放于主元素地點(diǎn).比方,假定矩陣A為422A532241其特色方程為422532241=0睜開(kāi)后為(1)(2)(5)0故特色值分別為11,22,35下邊求特色向量，將1代入方程組(AI)x0中，得3x12x22x305x12x22x302x14x20x30（）以-5為主元素,互換上式第一與第二個(gè)方程得5x12x22x303x12x22x302x14x20x30(4.3.9)用高斯-若當(dāng)消去法消去-5所在列中的x1,并把主元素所內(nèi)行調(diào)到最后,得0x1164x30x2550x116x24x3055x12x22x3055(4.3.10)再以16/5為主元素,消去它所在列中的x2,并把主元素所在的行調(diào)到最后,得0x10x20x30x10x21x3020x1x21x30(4.3.11)4這就是用高斯若當(dāng)消去法實(shí)現(xiàn)把一組三個(gè)方程簡(jiǎn)化為等價(jià)的一組兩個(gè)獨(dú)立方程的情況

.因?yàn)檫@個(gè)等價(jià)的方程組包括兩個(gè)獨(dú)立的方程,而有三個(gè)未知數(shù)，所以只需假定此中一個(gè)值

,則其余兩個(gè)值就能夠經(jīng)過(guò)兩個(gè)獨(dú)立方程解出.比方,令x31,則獲得矩陣A的對(duì)應(yīng)于11的一個(gè)特色向量為12141對(duì)其余兩個(gè)特色值的對(duì)應(yīng)特色向量求法與上述對(duì)11的推導(dǎo)過(guò)程同樣.計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)求解這樣的齊次線性方程組的消去步驟是,用第3章談?wù)撨^(guò)的高斯-若當(dāng)消去法的公式,方程組(4.3.9)的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)第一次消去后的矩陣B為16455164B552255(4.3.12)以矩陣為方程組(4.3.10)的系數(shù)矩陣,此中省略了有0和1元素的第一列.在進(jìn)行第二次消元以前,要應(yīng)用完整主元素措施對(duì)前兩行進(jìn)行最大主元素選擇,而后再進(jìn)行必需的行或列互換.每達(dá)成一次消元過(guò)程,總省略只有0和1元素的第一列,并且計(jì)算機(jī)僅找尋矩陣的前n-k行中的最大主元素,此中k是消元過(guò)程應(yīng)用的次數(shù).對(duì)(4.3.12)式再進(jìn)行一次消元過(guò)程,則獲得列矩陣0B11214(4.3.13)此矩陣是對(duì)應(yīng)于方程組(4.3.11)的系數(shù)矩陣,可是省略了含0和1元素的前兩列.一般來(lái)說(shuō),最后矩陣列的數(shù)量等于矩陣AI的階數(shù)和秩的差值.因?yàn)榉匠探M(4.3.8)有三個(gè)未知數(shù),兩個(gè)獨(dú)立方程,所以計(jì)算機(jī)一定隨意給定一個(gè)未知數(shù)的值,以便能夠從其余兩個(gè)獨(dú)立方程中解出其余兩個(gè)未知數(shù).為方便，在計(jì)算機(jī)決定特色向量時(shí),要合適地設(shè)定隨意采納的未知數(shù)的值.比方,令x31,由方程組知道,其余兩個(gè)重量的值正好能從含x3的非零系數(shù)項(xiàng)得出.為此,從計(jì)算機(jī)所儲(chǔ)存的最后矩陣中,令B1最上邊的0元素為-1,并把它按序調(diào)到最下邊第三行的地點(diǎn)上,就獲得所求的特色向量(1,1,1)T.24在工程問(wèn)題中,從特色方程所求出的特色值,少量情況也有同樣的.一般地,當(dāng)一個(gè)特色方程有k重根時(shí),矩陣AI的秩可能比其階數(shù)少1,或2,或3,,或k,自然對(duì)應(yīng)于的線性沒(méi)關(guān)的特色向量的個(gè)數(shù)也就是1,或2,或3,,或k,下邊經(jīng)過(guò)一個(gè)特色值對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性沒(méi)關(guān)特色向量的例子進(jìn)一步說(shuō)明計(jì)算機(jī)求特色向量的方法.設(shè)矩陣A為324A202423其特色方程為324220423睜開(kāi)后得(1)2(8)0所以特色值為121,38為了決定1的特色向量,將1代入方程組(AI)x=0,得424x1212x20424x3(4.3.14)應(yīng)用一次高斯-若當(dāng)消去法,得000x1000x2011/21x3(4.3.15)寫(xiě)成矩陣形式,(4.3.15)式的系數(shù)矩陣為00B001/21(4.3.16)因?yàn)榉匠探M(4.3.15)的系數(shù)矩陣的秩為1,它比矩陣階數(shù)少2,所以對(duì)應(yīng)于1有兩個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量,一定給兩個(gè)未知數(shù)隨意規(guī)定值,才能確立這兩個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量,由（）式可看出,一般老是選擇x21,x30求一個(gè)特色向量;選擇x20,x31求另一個(gè)特色向量;這樣有兩個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量1/21100,1計(jì)算機(jī)中求兩個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量的方法是,在(4.3.16)式的B中,把第一列中第一個(gè)0元素用-1取代,第二列中第二個(gè)0元素也用-1取代,而后把第一、第二行按序調(diào)到最下邊一行的地點(diǎn)上，第三行自然就成了第一行，這樣調(diào)動(dòng)后矩陣的第一列和第二列就是所求的兩個(gè)線性沒(méi)關(guān)的特色向量。對(duì)應(yīng)于1的所有特色向量為1/21k11k2001此中k1與k2是隨意常數(shù)，且不一樣時(shí)為零。為了說(shuō)明列互換的必需性，防范主元素為零，再舉一個(gè)例子，設(shè)矩陣A為2812A144001其特色方程為(2)(1)0特色值為12,20,31對(duì)應(yīng)于2的特色向量可由解以下方程組而求得4812x1124x20001x3(4.3.17)用一次高斯-若當(dāng)消去法，得001x1001x20123x3(4.3.18)若不進(jìn)隊(duì)列互換，則下一個(gè)消元過(guò)程只好在第一行的第二個(gè)元素與第二行的第二個(gè)元素中找最大主元素，而它們都是零，我們不得不對(duì)(4.3.17)式進(jìn)隊(duì)列互換，即互換未知數(shù)之間的序次，以后再進(jìn)行消去過(guò)程.對(duì)(4.3.17)式進(jìn)隊(duì)列互換，即把絕對(duì)值最大系數(shù)放在主元素地點(diǎn)，明顯是第一列與第三列的互換，互換后成為1284x3421x20100x1(4.3.19)此中未知數(shù)列矩陣中x1與x3也進(jìn)行了互換，這樣才能保證(4.3.17)式與式等價(jià)，對(duì)式進(jìn)行一次高斯-若當(dāng)消去法，得02/31/3x302/31/3x2012/31/3x1(4.3.20)再進(jìn)行一次消去過(guò)程，得000x3100x20011/2x1(4.3.21)在計(jì)算機(jī)被騙算，剩下一個(gè)最后的列矩陣0