第三章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法

第三章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法任好玲機電實驗大樓B506TelQ:45075614一、導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建二、邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法（自學(xué)）四、導(dǎo)熱問題數(shù)值計算實例主要內(nèi)容數(shù)值求解的基本思想及常用的數(shù)值求解方法有限差分法節(jié)點離散方程的建立——泰勒級數(shù)展開法與熱平衡法。節(jié)點離散方程(組)的求解

直接求解;

簡接求解——高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的有關(guān)概念

重點：用熱平衡法建立穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的離散方程，數(shù)值求解的高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法主要內(nèi)容數(shù)值求解的基本方法及過程求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計算法；(3)實驗法三種方法的基本求解過程

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；實驗法，就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法主要內(nèi)容數(shù)值求解方法的特點分析法

能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見.數(shù)值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應(yīng)性強，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低實驗法:是傳熱學(xué)的基本研究方法

適應(yīng)性不好；費用昂貴.有限差分法（finite-difference）有限元法（finite-element）邊界元法（boundary-element）分子動力學(xué)模擬（MD）

導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立物理問題的數(shù)值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進(jìn)初場是否導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立有限差分法解方程,并用節(jié)點的解的集合(離散值)來代替原物體內(nèi)的連續(xù)溫度分布離散：將連續(xù)體用網(wǎng)格分割成有限單元體取節(jié)點：以單元體的中心點代表該單元體建立節(jié)點離散方程：對每一單元體按一定方法，將針對微元體得出的導(dǎo)熱微分方程簡轉(zhuǎn)化成針對有限單元體的節(jié)點離散方程(代數(shù)方程組)導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立有限差分法例題：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題控制方程：是指描寫物理問題的微分方程針對圖示的導(dǎo)熱問題，它的控制方程（即導(dǎo)熱微分方程）為：其四個邊的邊界條件為三個邊界條件中的一種，三個邊界條件為：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立有限差分法例題：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程（離散方程）首先劃分各節(jié)點的類型；其次，建立節(jié)點離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。對節(jié)點(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時，有設(shè)立迭代初場

:直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預(yù)先設(shè)定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進(jìn)導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及內(nèi)部節(jié)點離散方程的建立有限差分法例題：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題求解代數(shù)方程組求解時遇到的問題：①線性；②非線性；③收斂性等。m=1的左邊界上各節(jié)點的溫度已知外，其余(M-1)N個節(jié)點均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其各項系數(shù)在整個求解過程中不再變化；非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其各項系數(shù)在整個求解過程中不斷更新。是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。解的分析：通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應(yīng)進(jìn)一步計算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分析計算所得的溫度場及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。建立離散方程的常用方法節(jié)點類型這是導(dǎo)熱問題數(shù)值計算的關(guān)鍵一步。要得出節(jié)點的離散方程，首先要了解該節(jié)點是哪種類型。具有對流邊界條件的外角頂；具有對流邊界條件的平直邊界節(jié)點；具有對流邊界條件和對稱絕熱角頂；具有絕熱邊界條件的平直邊界節(jié)點；具有對流邊界條件的內(nèi)角頂；內(nèi)部節(jié)點。建立離散方程的常用方法

泰勒級數(shù)展開法對于節(jié)點（m+1,n）及（m-1,n）分別寫出函數(shù)t對（m,n）點的泰勒級數(shù)建立離散方程的常用方法

泰勒級數(shù)展開法中心差分二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程式為其在節(jié)點（m,n）處的中心差分方程式為若△x=△y則有建立離散方程的常用方法控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積（元體）應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：導(dǎo)入元體的總熱流量＋元體內(nèi)熱源生成熱＝導(dǎo)出元體的總熱流量＋元體內(nèi)能的增量從節(jié)點(m-1,n)通過界面w傳導(dǎo)到節(jié)點(m,n)的熱流量通過界面e,n,s傳導(dǎo)給節(jié)點（m,n）的熱流量也可求得對元體(m,n).根據(jù)能量守恒定律可知：建立離散方程的常用方法控制容積平衡法(熱平衡法)導(dǎo)入元體的熱流量為正，導(dǎo)出元體的熱量為負(fù)說明：上述分析與推導(dǎo)是在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的；熱平衡法概念清晰，過程簡捷；

熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體；適用于非均勻網(wǎng)格；適用于導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源分布不均勻的情形；適用于物體內(nèi)的各個節(jié)點（內(nèi)節(jié)點與邊界節(jié)點）物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡單；（2）邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立

對于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對于第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因而應(yīng)對位于該邊界上的節(jié)點補充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。為了求解方便，這里我們將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源Φ(不必均勻分布)。邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立——平直邊界上的節(jié)點為使討論具有一般性，設(shè)物體具有內(nèi)熱源平直邊界上的節(jié)點當(dāng)邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立——外部角點為使討論具有一般性，設(shè)物體具有內(nèi)熱源外部角點當(dāng)邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立——內(nèi)部角點為使討論具有一般性，設(shè)物體具有內(nèi)熱源內(nèi)部角點當(dāng)邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立——邊界熱流密度絕熱邊界平直邊界當(dāng)傳入計算區(qū)域的熱量為正對流邊界外部角點內(nèi)部角點：無量綱數(shù)，以網(wǎng)格步長Δx為特征長度的Bi數(shù)，稱為網(wǎng)格Bi數(shù)當(dāng)計算區(qū)域中出現(xiàn)曲線或傾斜邊界時,常用階梯型折線來模擬真實邊界邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的建立——不規(guī)則邊界處理模擬或逼近精度與什么有關(guān)？邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法

迭代法：先對要計算的場作出假設(shè)（設(shè)定初場），在迭代計算中不斷予以改進(jìn)，直到計算前的假定值與計算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計算收斂。直接解法：通過有限次運算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。高斯——賽德爾迭代法：每次迭代計算，均是使用節(jié)點溫度的最新值。雅可比迭代法：每次迭代計算，均用上一次迭代計算出的值。邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法設(shè)初場：邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法——收斂的準(zhǔn)則k及k+1表示迭代次數(shù)；——第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時，第三個較好ε’=10-3～10-6差分方程能收斂邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法例題1：高斯-賽德爾迭代法：滿足收斂條件能否收斂？設(shè)初值，一般設(shè)為零

節(jié)點迭代次數(shù)t1(℃)t2(℃)t3(℃)000013.6255.6753.76921.735(-1.89)4.545(-1.13)4.996(1.227)31.864(0.129)4.029(-0.516)5.061(0.065)41.985(0.121)3.979(-0.05)5.013(-0.048)52.004(0.019)3.994(0.015)5.000(-0.013)62.002(0.002)4.000(0.006)5.000(0.000)

最后結(jié)果2.0024.0005.000邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界代數(shù)方程的求解方法例題1：高斯-賽德爾迭代法求1、2、3、4溫度：1234t=100℃t=100℃t=100℃t=500℃

各節(jié)點均為內(nèi)節(jié)，故：小結(jié)導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想——數(shù)值計算是解決較復(fù)雜的導(dǎo)熱問題的有效途徑常用的數(shù)值求解方法：有限單元法和有限差分法*

——離散(分割)、取節(jié)點、列節(jié)點離散方程、解方程建立節(jié)點離散方程的兩種方法:——泰勒級數(shù)展開法與熱平衡法。

——節(jié)點離散方程的建立是導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的重要環(huán)節(jié)(要求能根據(jù)不同情況，用熱平衡法自行推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的節(jié)點有限差分方程)。節(jié)點離散方程（組）的求解

——用高斯-