多維隨機(jī)變量的特征數(shù)

一、多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

二、邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)第三章多維隨機(jī)變量及其分布五、條件分布與條件期望二、數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)三、協(xié)方差一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、相關(guān)系數(shù)§3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)五、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望向量與協(xié)方差矩陣定理2.2.1

設(shè)Y=g(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，若E(g(X))存在，則一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列為則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為（2）如果Z=g(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為f(x,y),則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為特別地，若取g(X,Y)=X,可以得到X的期望為——離散——連續(xù)例3.4.1在長(zhǎng)度為a

的線段上任取兩個(gè)點(diǎn)X和Y,求這兩點(diǎn)間的平均長(zhǎng)度。解：因?yàn)閄、Y獨(dú)立，且都服從U(0,a).所以（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為積分計(jì)算須分區(qū)域.注意：直接代公式較麻煩，可以先求Y的分布.二、數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)線性分析：直接寫出X的分布非常困難，因?yàn)槊恳恢磺蚩赡芏啻伪幻?考慮每一種顏色的球是否被摸到.引入隨機(jī)變量如下：例3.4.4設(shè)一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求E(X)。例3.4.4設(shè)一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求E(X)。該方法稱為分解隨機(jī)變量法,求期望不需要獨(dú)立性三、協(xié)方差協(xié)方差也稱為相關(guān)中心矩。聯(lián)合分布中各分量間的關(guān)系注意：詳見(jiàn)協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的主要性質(zhì):注：以上性質(zhì)可用定義及期望的性質(zhì)來(lái)證明.反之不能成立！補(bǔ)充說(shuō)明：四、相關(guān)系數(shù)在表示隨機(jī)變量的關(guān)系時(shí)，為了消除量綱的影響，引入了相關(guān)系數(shù)的概念。引理——施瓦茨不等式證：注：施瓦茨不等式表明相關(guān)系數(shù)的取值范圍是相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

當(dāng)ρ=0時(shí)，稱X,Y不相關(guān)；當(dāng)ρ=±1時(shí)，稱X,Y幾乎處處有線性關(guān)系.補(bǔ)充說(shuō)明相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)刻畫了隨機(jī)變量X、Y間線性相關(guān)的程度。ρ=±1時(shí)，表示X、Y幾乎處處具有線性關(guān)系；ρ=0時(shí)，表示X、Y不具有線性關(guān)系，但可以具有其他（如曲線）關(guān)系。獨(dú)立性是指兩個(gè)隨機(jī)變量不具有任何關(guān)系。對(duì)二元正態(tài)分布來(lái)說(shuō)，獨(dú)立性與不相關(guān)〔ρ=0〕是等價(jià)的。與協(xié)方差相比較，相關(guān)系數(shù)是一個(gè)不帶單位的系數(shù)，消除了量綱的影響，可以更準(zhǔn)確地反映隨機(jī)變量間的關(guān)系；同時(shí)，也方便不同類型隨機(jī)變量的比較。00.511y=x注：協(xié)方差雖然很小，但相關(guān)系數(shù)卻比較大。所以協(xié)方差反映隨機(jī)變量的相關(guān)程度不是很準(zhǔn)確的。例12【投資風(fēng)險(xiǎn)組合】設(shè)有一筆資金,總量為1,如今要投資甲、乙兩種證券。若將資金x1投入甲證券，余下資金x2=1-x1投入乙證券，于是就形成了一個(gè)投資組合。記X為投資甲證券的收益率，Y為投資乙證券的收益率，它們都是隨機(jī)變量。若已知X、Y的均值和方差分別是μ1，μ2

和σ12，σ22

，X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρ。試求該投資組合的平均收益和風(fēng)險(xiǎn)，并求使風(fēng)險(xiǎn)最小的x1是多少？解：因?yàn)樵摻M合的收益為所以平均收益為風(fēng)險(xiǎn)（方差）為按照求函數(shù)極值的方法可求出這時(shí)，該組合投資的風(fēng)險(xiǎn)最小。五、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣對(duì)于多維隨機(jī)變量，我們以矩陣的形式給出其數(shù)學(xué)期望和方差。為隨機(jī)向量的方差——協(xié)方差陣，簡(jiǎn)稱協(xié)方差陣，協(xié)方差陣的重要性質(zhì)n維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣是一個(gè)對(duì)稱的非負(fù)定矩陣.詳見(jiàn)P180—定理3.4.2例3.3.1概率解等價(jià)于概率結(jié)論設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解例3.3.2可得所以例3.3.3（泊松分布的可加性）證例3.3.4（二項(xiàng)分布的可性）證二、最大值與最小值的分布例3.3.5（最大值分布）解例3.3.6（最小值分布）解三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布Z=X+Y的分布由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對(duì)稱,當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),卷積由公式解例3.3.7

（正態(tài)分布的可加性）

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.得說(shuō)明有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.見(jiàn)教材P168中間.例3.3.8（伽瑪分布的可加性）證由伽瑪分布的兩個(gè)特例：得到另外兩個(gè)結(jié)論：例3.3.9證四、變量變換法仍以介紹二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，對(duì)于n維的情況其方法類似.1.變量變換法注：此方法的證明涉及二重積分換元法，這里不作證明.