專題26奇偶分析

閱讀與思考整數可以分為奇數和偶數，一個整數要么是奇數，要么是偶數，因此奇偶性是一個整數的固有屬性，即奇數≠偶數．由于奇偶性是整數的固有屬性，因此可以說奇偶性是整數的一種不變性，通過分析整數的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析．運用奇偶分析解題，常常要用到奇數和偶數的基本性質：1.奇數≠偶數.2.奇數±奇數=偶數，奇數±偶數 =奇數，偶數±偶數 =偶數，奇數個奇數的和是奇數，偶數個奇數的和為偶數，若干個偶數的和是偶數 .3.若干個奇數之積是奇數，偶數與任意整數之積是偶數 .4.若a是整數，則 a與a， a，an（n為自然數）有相同的奇偶性 .5.設a，b是整數，則

a

b，a

b，

a

b

，

a

b

都有相同的奇偶數

.6.偶數的平方是

4的倍數，奇數的平方是

4的倍數加

1.例題與求解【例1】數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?的排列規(guī)律是：前兩個數是開始，每一個數是它前面兩個數的和，這個數列叫做斐波那契數列，在斐波那契數列的前

1，從第三個數2004個數中共有____個偶數．(“希望杯”邀請賽試題 )解題思路：本例關鍵是發(fā)現斐波那契數列的各項奇偶性的規(guī)律 .【例2a，b，c都是正整數，且a，b是奇數，則3a(b1)2c是().】如果A．只當c為奇數時，其值為奇數B．只當c為偶數時，其值為奇數C．只當c為3的倍數時，其值為奇數D．無論c為任意正整數時，其值均為奇數（五城市聯賽試題）解題思路：直接運用奇數偶數的性質作出選擇．【例3】能否找到自然數a和b，使a22002b2.（“華羅庚金杯”邀請賽試題）解題思路：假設存在自然數a和b，使等式成立，則(ab)(ab)2002，從ab，ab的奇偶性展開推理．【例4】在6張紙片的正面分別寫上整數 1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意寫上 1~6這6個整數，然后計算每張紙片正面與反面所寫數字之差的絕對值，得出 6個數，請你證明：所得的 6個數中至少有兩個是相同的 .（北京市競賽試題）解題思路：從反面入手，即設這 6個數兩兩都不相等，利用 ai bi與ai bici=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母進行推理證明 .【例5】表甲是一個英文字母電子顯示盤， 每一次操作可以使某一行 4個字母同時改變， 或者使某一列4個字母同時改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個英文字母變成它下一個字母（即 A變成B，B變成C?最后字母Z變成A）.問：能否經過若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請寫出變化過程，如不能，說明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲 表乙（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：表甲與表乙看上去沒有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?，看是否能成功？如果是不能，就應找出不能的理由，解題的關鍵是如何將問題“數字化” ，挖掘操作變化過程中的不變量或不變性 .【例6】設x1，x2，?xn為＋1或－1，并且x1x2x3x4 x2x3x4x5 x3x4x5x6 xn3xn2xn1xnxn2xn1xnx1 xn1xnx1x2 xnx1x2x3 0.證明n能被4整除.解題思路：應用整數的奇偶性解題，常需變化角度去考察問題，從而化難為易．能力訓練1．若按奇偶分類，則11223320112011是______數.2．已知a是質數，b是奇數，且a2b2001，則ab_______.（江蘇省競賽試題）3．若質數m，n滿足5m7n129，則mn的值為____________.（河北省競賽試題）2222這95個數中，十位數字為奇數的數共有____________個.4．在1，2，3，?，95（全國初中數學聯賽試題）5．將1，2，3，4，5這五個數字排成一排，最后一個數是奇數，且使得其中任意連續(xù)三個數之和都能被這三個數中的第一個數整除，那么，滿足要求的排法有()種.A.2B.3C.4D.56．設a，b為整數，給出下列四個結論1）若a5b是偶數，則a3b是偶數2）若a5b是偶數，則a3b是奇數3）若a5b是奇數，則a3b是偶數4）若a5b是奇數，則a3b是奇數其中正確結論的個數是()．A.0B.2C.4D.1或3（“五羊杯”競賽試題）7．如果a，b，c是三個任意整數，那么ab，bc，ca()．222A.都不是整數B.至少有兩個是整數C.至少有一個是整數D.都是正數（“T1杯”全國競賽試題）8．將1000到1997這998個自然數任意排成一行，然后依次地求出三個相鄰數的和，在這些和中，奇數的個數至多有()．A.499個B.496個C.996個D.995個．設a，a，?a是，，，?，1999的一個排列，求證：(a1)(a22)(a1999)91219912311999為偶數.10．在黑板上記上數1，2，3，?，1974，允許擦去任意兩個數，且寫上它們的和或差.重復這樣的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個數為止.求證：這個數不可能為零．（數學奧林匹克競賽試題）11．你能找到三個整數 a，b，c，使得關系式(a b c)(a b c)(a b c)(b c a) 3388成立嗎？如果能找到，請舉一例；如果找不到，請說明理由 .（“希望杯”邀請賽試題）12．設標有A，B，C，D，E，F，G記號的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關E，G四盞燈開著，其余三盞燈是關的，小剛從燈 A開始，順次拉動開關，即從 A到次拉動開關，即又從 A到G，?，他這樣拉動了 1999次開關后，問哪幾盞是開的？

.現在A，C，G，再從A開始順專題26奇偶分析例1668提示：裴波拉數列各項的奇偶性規(guī)律是：從第一個數開始，每組連續(xù)的3個數中，前兩個數是奇數，第三個數是偶數，又因為2004÷3＝668.所以前2004個數中共有668個偶數.例2D例3假設存在自然數a和b，使a22002b2.則（a＋b）(a－b)＝＝20022×1001，若a，b同為奇數或同為偶數，則（a＋b）×（a－b）必定是“偶數×偶數”；若a，b為一奇一偶，則(a＋b)(a－b)必定是“奇數×奇數”上.述兩種情況均與等式右邊的“偶數×奇數”相矛盾，故找不到自然數a和b，使a22002b2.例4提示：設6張卡片正面寫的數是a1,a2,a3,a4,a5,a6，反面寫的數對應為b1,b2,b3,b4,b5,b6，則這6張卡片正面寫的數與反面寫的數的絕對值分別為a1b1,a2b2,...,a6b6.設這6個數兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，?，5這6個值，于是a1b1,a2b2,...,a6b6＝0＋1＋2＋?＋5＝15是個奇數.aibiaba1b1+a2b2...a6b6又與ii（i＝，，3?，126）的奇偶性相同，所以與a1b1a2b2...a6b6a1...a6b1b2...b60的奇偶性相同，是個偶數，導致矛盾 .例5 提示：不能，理由如下：將表中的英文字母分別用它們在字母表中的序號代替（即 A用1，B用2，?，Z用26代替），這樣表甲和表乙就分別變成了表丙和表?。?915218112419202661685247815314182021914222436251表丙 表丁這樣，每一次操作中字母的置換就相當于下面的置換：1→2，2→3，?，25→26，26→1.顯然，每次操作不改變這 16個數字和的奇偶性，但表丙、表丁 16個數字的和分別為 213，174，它們的奇偶性不同，故表丙不能變成表丁，即表甲不能變成表乙．例6由于乘積x1x2x3x4,x2x3x4x5,...,xnx1x2x3都是＋1或－1，且總和為0．所以一定有偶數項，即n一定是偶數2m.m將上面的n個數相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m個，所以它們的乘積為1，另一方面，在乘積中，作為因數都出現四次，所以乘積為＋1，于是，m為偶數，故n是4的倍數．【能力訓練】1．偶2.1999提示：由 ＋b＝2001知 ，b必為一奇一偶．又∵a是質數且a為偶數．∴a＝2，b＝997，故a＋b＝1999.19或254.19提示：在 中，十位數字是奇數的只有 ＝16， ＝36，兩位數的平方可以表示為=100 ＋20ab＋ ，它的十位數的奇偶性與 十位數字的奇偶性相同，因此， b只能取4與6，即相鄰的每 10個數中有兩個數的十位數字是奇數．5．D 提示：設 是1，2，3，4，5中一個滿足要求的數列，首先，對于 不能連續(xù)兩個都是偶數，否則這兩個之后都是偶數，與已知條件矛盾，其次，如果 (1≤i≤3)是偶數，是奇數，則 是奇數，這說明一個偶數后面一定要接兩個或兩個以上的奇數，除非接的這個奇數是最后一個數．所以， 只能是偶奇奇偶奇，故有如下 5種情形滿足條件：① 2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.6．B 7．C 8．D9.提示：10．考慮黑板上保留奇數的個數 .經過一次操作，如果是一個奇數和一個偶數，則和或差仍為奇數，奇數的個數保持不變．如果是兩個奇數，則和或差為偶數．奇數的個數減少2個；如果是兩個偶數，則和或差為偶數．奇數的個數保持不變.由以上分析知，經過操作，黑板上奇數的個數的奇偶性不變．由于一開始黑板上共有奇數，即有奇數個奇數．經過若干次操作后，黑板上一定仍保留著奇數個奇數，故留下的一個數不可能為0．11．找不到滿足條件的三個整數，理由如下：假設存在整數a，b，c滿足等式，則左邊四個式子中至少有一個是偶數，不妨a＋b＋c為偶數，則a－b＋c＝(a＋b＋c)－2b，a＋b－c＝(a＋b＋c)－2c，－－(a＋b＋c)－2a