《相似三角形的判定》教案 (省一等獎) 2

相似角的定二—用邊夾教目：1、過實踐和探索，得出兩個角形具備有兩邊對應成比例，并且夾角相等的條件，即可判斷這兩個三角形相似的方法。2、會選擇適當?shù)臈l件判斷兩個角形相似。3、經(jīng)歷“猜測—驗證—推廣—理—應用〞的數(shù)學活動過程，開展合情推理和有條理的表達能力。教重：經(jīng)歷探索三角形相似的條件的過程及其應用。教難：三角形相似條件的說理〔證明〕和應用。設理：任何數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)都會經(jīng)歷—驗證—推廣—說理〔證明〕—應用〞這一過程，它是研究學的根本思路。本節(jié)課先通過對特殊的相似三角形〔相似比為1的角形，即全等三角形〕的邊角邊判定條件的究，從而科學、大膽地提出猜測，接著用測量的方法來驗證猜測，然后對我們的猜測做進一步推廣，為了確保猜測的正確性，再運用已有的知識加以論證、說明，最后對探索到的數(shù)學知識又加以應。充分地表達了課標的過程教學，也美地展示了數(shù)學研究的根本思路。教實：、情境設提猜開語同學們，在上一節(jié)課的探索中，我們知道：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。那么三角形的相似還有沒有其它條件呢？今天我們再次踏上探索之旅途。出課：相似角的定二[書師：常言道“溫故而知新〞，下面邀請一位同學回憶一下三角形全等條件—邊角邊SAS〕的內？生果個三角形的兩邊與另個三角形的兩邊對應相等且角相等么兩個三角形全等。教板：①邊應等②角等師

和

中，

A

.根據(jù)邊角定條件來判

和全等，還需要添加什么條件？生：還需要添加條件

A

，

A

教板〔板在面教過中要變

在和A因

B

中

B

，

ACA

所

≌

B師：如果把條件：

A

，

ACA

改寫成：

。那么和

B

是否還全等？〔在剛剛的板書中改寫〕生：是的，因為條件

A

，

AC

和條件

是等價的，所以兩個三角形仍然是全等的。師：答復的很好！那么這兩個三角形除了是全等關系外，還是什么關系？〔學生思考〕……生：相似吧，因為全等三角形是相似比為1的特的相似三角形?！步處煱褎倓偘鍟械摹崭暮蟀澹?/p>

B

中的“≌〞改成“∽〕在和A因

B

中所

ABC∽師：確實如此！也就是說：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例〔比值為1且角那么這兩個三角形相.師：偉大的科學家牛頓曾說過：沒有大膽的猜測，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng).那么對于三角形相似的條件，你們有什么大膽的猜測呢？〔學生想說，但又不敢說。但在教師的鼓勵下，有同學鼓起了勇.〕生：我的猜測是：如果把比值改成，兩個三角形可能也是相似的.教在件出猜：在ABC和

B

中如

AC，AC

，么ABC和

B相嗎、探索動揭新活一操、察〔證測師：在古希臘，人們經(jīng)常用測量的方法來研究圖形今天，我們不防也用測一測、量一量的方法來驗證我們的猜.師：下面就讓我們用自己的雙手共同驗證我們的猜測吧！如圖，在∠和

B

中，

A師生共同操作：以∠A為內，eq\o\ac(△,畫)，得

A

師：同學們用量角器量一量和什么發(fā)現(xiàn)嗎生：B和師：其他同學是否也有這樣的發(fā)現(xiàn)？眾生：是的！師：你能判斷

和

B

相似嗎？眾生：能師：誰能說說你的判斷理由？生：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似師：通過驗證，當比值為2的時候，兩個三角形仍然相.活二進步測推k值師：如果設比值為k.通過剛剛研究：當k=1時兩三角形……生：相似師：當k=2時，兩三角形……生：相似師：此時，你還有什么更大膽的猜測？〔學生很積極〕生：k可以一切實數(shù).生：不對，可取大于0的切自然.生：k可以大于0的一實.生：和k無，只要兩邊對應成比.師：同學們的猜測都很大膽，都具牛頓的品質，但對嗎？生：我們可以用測量的方法加以驗證啊？師：對！下面就請同學們分別驗證k=2.5、3.5的時候是否還相.〔學生通過測量的方法分別驗證著自己的猜測〕師：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？眾生：仍然相似.活二說師：同學們剛剛認真的操作、仔細的觀察加深了我們猜測的可信度。但舉例有限，而k的取值卻無限，那么我們能運用已有的知識加以說明呢？教師在投影片上出示：如圖，在ABC

B

中，如果∠A=∠A′

A

，試說明：∽

B師：下面就讓我們沿著問題的路標，向成功邁進吧！

教師出示問題1：問題1：如何在△ABC中構造出個相似的三角形？〔學生思考〕生：作BC邊的平行線.〔學生根上一節(jié)的內容很容易想到〕師：非常棒！在AB邊上任找一

B點根據(jù)上節(jié)課的知識，我們可以知道師：像這樣的三角形有多少個？生：無數(shù)個教師出示問題2：

與△相似.問題2：點

B

在什么位置時，所構造的

可能與

全等？〔學生思考〕生：

AB

B

時教師出示以下列圖：師：假設

和

B

全等，而

又和

ABCABC就

B相似.師：

和

B

全等已經(jīng)有什么條件了？生：

B

，

A

.師：還需要什么條件？生：

AC

C

或

B

或

師：我們不妨從邊入.教師出示問題3：問題3：如何說明

〔學生思考、討論〕生：

因為

∽

所以

ABAC又因為

A

，

AB

B所

C

．．師：剛剛嚴謹?shù)耐评?，再次說明了猜測的正確.師：請同學們用自己的語言總結出我們今天的發(fā).〔學生積極發(fā)言，通過前面的研究，根本都可以能說對〕教師總結：如一三形兩與一三形兩對成例并夾角等那這個角相。教板：、應用論加理師：通過前面的探索，我們又發(fā)現(xiàn)了一種判定兩三角形相似的方法，下面我們就應用今日所學去解決更多的數(shù)學問.〔1〕師示考思：如圖，在△ABC和eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,′)要加什么條件？生：生：生：

BA師：要說明兩個三角形相似，假設一對等角，那可找另一對等角，或找夾等角的兩邊對應成比例。〔2〕師示論討1在△ABC中㎝，AC=6㎝在AB邊上有一定點D，AD=4，在AC邊有一動點E.試問：當AE=㎝，△ABC和相似

〔學生充分討論后，讓學生在課件中找出兩個三角形可能相似時點的概位置，如上圖兩點

1

、

2

〕第一種情況：當動點E在E處時：1∽ABC需要條件

AEAB第一種情況：當動點E在

2

處時：

∽

ABC

需要件

AEAC討2如圖，在△ABC中，㎝AC=2㎝問題1：在AB上取點D，當AD=㎝時∽eq\o\ac(△,；)ABC問題2：在AC的延線上取一點，當CE=㎝，AEB△ABC.問題3：此時，BE與DC有樣位置關系？為什么？〔3〕師示察觀：②③④⑥5個角形中三角形①相似的三角形有哪些？為什么？、小結思（1）學生總結：通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？〔2〕教總結：在今天的這節(jié)課中，我們通過“猜測—驗證—推廣—說理—應用〞的過程，探索出三角形相似的條件。在這過程中，我們發(fā)揚著“敢想、敢做；務實、嚴謹〞的數(shù)學精神。在這過程中，我們感受著數(shù)學從到未知的魅力同學們在今后的學習中，繼續(xù)“探索數(shù)學世界、秉承數(shù)學精神、感受數(shù)學魅力〞。、布置業(yè)用今天所學的探索方法去探索三角形相似的其它條件。

本時教反有人說學課堂就是傳授數(shù)學知識〞，其實這種想法是很片面的。數(shù)學教學的目的不單單是傳授枯燥的數(shù)學知識重要的是通過數(shù)學知識這一載體養(yǎng)生的數(shù)學思維能力和滲透數(shù)學研究方法數(shù)思能力和數(shù)學研究方法的形成不能依靠教師告訴學生它是潛移默化的它能夠讓學生一次又一次的數(shù)學活動中感受它用這有價值的數(shù)學活動越多學生對它的理解越深刻就需要教師能夠提供應學生更多的數(shù)學活動時機探數(shù)學知識的發(fā)生過程就是一個很好的時機此經(jīng)數(shù)學知識的形成過程在這次課程改革中被提到一個尤為重要的地位這程中能培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學研究方法的滲透。下面，就結合我在我校對外公開中探索三角形相似的條件2一，談談過程教學的得與。本節(jié)課的主要內容“如果一個角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例且夾角相等，那么這樣的兩個三角形相似。〞應該說學生對該知識是能夠比擬容易掌握的但為了能更好的培養(yǎng)學生的思維能力成良好的研究習慣在本節(jié)課的教學中我數(shù)學研究的一般思路“猜測—驗證—推廣—說理〔證明〕—應用〞進行了知識形成過程的教學，充分的展示出該知識的形成過程。下面就從數(shù)學研究的一般思路一一說起。一提猜在圖的全等這章的學習中們知道根據(jù)全等三角形邊角邊判定條件判定兩個三角形全等，只需知道兩邊對應相等，并且夾角相等。綜合這判定條件和相似三角形，可以從以下三個層次做進一步的思考第一個層次：兩邊對應相等可以做一個等價的改兩邊對應成比例，且比值為。第二個層次：全等三角是相似為的特殊的相似三角形，因此這兩個三角形除了是全等關系，還是相似關系。第三個層次似角形對邊的求比全等三角形對邊的要求要寬松對的要求是同等的。在以上三個層次的研究根底上出科學大膽的猜測一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例并夾相等如果把比值條件放寬比方把比值由1改2的候，那么兩個三角形是否還相似呢？猜測并不是胡想亂想，它的提出需要學生對已有的知識和需探究的知識有很深刻的理解，很深的洞察力。光有知識是遠遠達不到要求的。上面猜測的提出就是一個很好的例子，如果不能理解出上面的三層含，就不會有這樣科學、合理的猜測。在這猜測提出的過程中，學生會更清楚全等和相似兩者之間的關系〔特殊與一般的關系在無意間感受、運用著類比和從特殊到一般的數(shù)學研究方法。

實際教學中，沒有同學敢提出自己的猜測，但他們的眼神告訴我，他們有猜測，但就不敢說。在我的鼓勵之下，最終有同學說出了自己的猜測，并且就是我所希望的猜測。造成這樣的原因可能是很平時的教學過于嚴肅以及后面有聽課教師有關。二測驗猜測對嗎？我們需要對它做出一個判斷。測量法、特殊值法…都是很好的驗證方法。對于代數(shù)中的字母問題、公等特殊值法就以的發(fā)揮它的作用。比方：()

2

2

2

對嗎？我們只需要找?guī)讉€數(shù)字代入就可以知道它的正確性。很明顯當a=1,b=-1時，式不成立。圖形問題那么是測量法的舞臺，在本節(jié)課的實際教學就是采用測量法來加以驗證的。如圖：在∠和

B

中，

A師生共同操作：①以∠為角，eq\o\ac(△,畫)ABC，使②用量角器量出B和

A學生通過自己的測量深信不已把腦中的問好拉成了感慨號到此學已經(jīng)成功的邁出了探索的第一步，也是意義最重大的一步。在教學中發(fā)學生畫圖的速度慢至有的同學量出的角是不相等的這就需要在平時加強對學生動手能力的培養(yǎng)。三合推在數(shù)學知識不斷的增長中，推廣是一種很重要的數(shù)學研究方法。比值從1到2這一步的成功方面使學生加強了成功帶來的自信一面更可以翻開學生的思維空間值k能不是其它的數(shù)值呢？或許與k的取值無關？他們在無意間比照值K做推廣這樣的想法可謂是出色的們已經(jīng)能夠運用數(shù)學研究中的一種重要的研究方法——推廣在數(shù)學知識的展中對學知識的每一次推廣都具有劃時代的作用方：數(shù)域的推廣：自然數(shù)正有數(shù)實復數(shù)坐標系的推廣：數(shù)軸平坐系空間坐標系或許對K值推廣沒有上面兩個例子那樣復雜而又有意義本質上確實一樣的是對已有知識的更深層次的思考和推廣。在前面已有的經(jīng)驗根底上學生以自行驗證自己的猜測課堂中一又一次的發(fā)出感慨，感受著數(shù)學的微妙！甚至，有同學說相似和比值有關系的更大膽的想法。四嚴說和比值k無這經(jīng)過大量實后的一個很大膽的想法舉例畢竟有限但k的值卻是無限的，這就需要運用已有的、確信無疑的知識來說明想法的正確性。在教學中，這是一個難點一面在這里要運用構造法一方面要運用到用比例線段證明線段相等為了突破這兩個難點，在這里精心設置了三個問題：

問題1：如何在△中造出一個相似的三角形？問題2：點所造

可能與

B

全等？問題3：如何說明

C問題1和題2的置是為了突構造法兩問題的設置有一定的臺階性想法構造相似三角形，在此根底上，再找出可能全等的三角形。在臺階的引導下，學生根本能夠構造出想要的三角形題3的置是為了解決用比例線段證明線段相等個題設置的有探究的價值，同時也存在一定的難度，學生很少有人能夠想出方法。在教學中，該問題可以設置兩問，如下：問題a：從

∽，你能得到什么比例式？〔結論師板書，便于學生思考〕問題b：

AC

和

A

有什么關系？為什么？這樣做既降低了難度有定思維空間于學生掌握運用比例線段說明線段相等的方法。五正應學習數(shù)學的最終目的是應用應可以分兩種一是解決數(shù)學內部的問題另一種是解決生活實際問題對本節(jié)課數(shù)學內部的應用傳統(tǒng)教學對于解題能力的培養(yǎng)很有好處在此我也吸收了一些很好的經(jīng)驗時對節(jié)課例題的選擇又有很強的靈活性和時代性。比方動點在何處時三角形相似，再比方最后的“觀察〞中找相似三角形。學生在這里根本都能理解解題的方法通過個別同學的板書以現(xiàn)學生解題的標準性太差。這需要在今后的教學中吸取傳統(tǒng)教學的優(yōu)勢，加強解題標準性的訓練。通過以上5個步學生對經(jīng)歷如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這樣的兩個三角形似〞這一知識的形成過程，從而對該知識有了更為立體的認識。在這過程中，學生感受到了數(shù)學研究的一般方法。[教學反思

學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結合；在遇到問題時，多數(shù)學生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學生學習的樂園。在本節(jié)課的教學中，我始終堅持以引導為起點，以問題為主線，以能力培養(yǎng)為核心，遵照教師為主導，學生為主體，訓練為主線的教學原那么；通過師生雙邊活動，通過對單元的復習，使學生對本單元的知識系統(tǒng)化，重點知識突出化，能力培養(yǎng)階梯化；在選擇題目時注意了以基此題為主，少量思考性較強的題目為輔，兼顧了不同層次學生的不同要求。本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的形狀。教學時我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒，個學生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當進行指導。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而且在情感上每位學生都得了成功的體驗，建自信心。接著，我利用可操作材料，體會展開圖與長方體、正方體的聯(lián)系；通過立體與平面的有機結合，開展學生的空間觀念。這樣由淺入深、由表及里地使學生逐步達教學目標的要求：閉上眼睛想象展開或折疊的過程，促進學生建立表象，幫助學生理解概念，開展空間觀念。24.1圓(第3課時)教學內容1．圓周角的概念．2．圓周角定理：在同圓或等圓，同弧或等弧所對的圓周角相等于條弦所對的圓心角的一半．推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用．教學目標1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等等于這條弧所對的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半〔或直徑〕所對的圓周角是直角的周角所對的弦是直徑．4．熟練掌握圓周角的定理及其理的靈活運用．設置情景給圓周角概念探究這些圓周角與圓心角的關系用數(shù)學分類思想給予邏輯證明定理得推導讓生活動證明定理推論的正確性后運用定理及其推導解決一些實際問題．重難點、關鍵1．重點：圓周角的定理、圓周的定理的推導及運用它們解題．2．難點：運用數(shù)學分類思想證圓周角的定理．

3．關鍵：探究圓周角的定理的在．教學過程一、復習引入〔學生活動〕請同學們口答下面兩個問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么在聯(lián)系呢？老師點評〕們把頂點在圓心的角叫圓心角．〔2〕在同圓或等圓中，如果兩圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等它們所對的其余各組量都分別相等．剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、探索新知問題：如下圖的O，我們在射游戲中，設E、F球門，設球員們只能在所的⊙其它置射門，如下圖的A、B點通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這的角，它們的頂點在圓上?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復下面的問題．1．一個弧上所對的圓周角的個有多少個？2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是發(fā)生變化？

A

C3．同弧上的圓周角與圓心角有么關系？〔學生分組討論〕提問二、三位同學代表發(fā)言．

O老師點評：1．一個弧上所對的圓周角的個有無數(shù)多個．

B2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，弧所對的圓周角是沒有變化的．3．通過度量，我們可以得出，弧上的圓周角是圓心角的一半．下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，?并且

它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞〔1〕設圓周角∠ABC的邊BC是O直徑，如下圖∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∴∠AOC=∴

12

∠AOC〔2角∠的邊AB一條直徑OD的兩側∠ABC=∠AOC嗎請同學們獨立完成這題的說明過程．

12老師點評：連結BO交⊙于D理∠AOD是ABO的外角，∠COD是BOC的外角，那么就有∠AOD=2，∠DOC=2∠CBO因此AOC=2∠ABC．〔3角∠的邊AB一條直徑OD的同側∠ABC=∠AOC嗎請同學們獨立完成證．

12老師點評連結OA連結BO并長交O那么AOD=2∠ABD∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

111∠AOD-∠COD=∠AOC222現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，

因此，同弧上的圓周角是相等的．從〔1總歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．進一步，我們還可以得到下面的推導：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角90°圓周角所對的弦是直徑．下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目．例1．如圖AB是O的直BD是⊙的，延長BD到，使AC=AB與的大有什么關系？為什么？分析BD=CD因為所以這個是等腰要證明DBC的點，?只要連結AD證明AD是高是的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖