《等差數(shù)列》教案

等差數(shù)列（一學習目標：1．明確等差數(shù)列的定義，探索掌握等差數(shù)列的通項公式；．會解決知道

a,dn

中的三個，求另外一個的問題；．通過與一次函數(shù)的圖像類比，探索等差數(shù)列的通項公式的圖像特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。教學重點：教學難點：教學方法：內容分析：

等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的性質探究、交流、實驗、觀察、分析本節(jié)是等差數(shù)列這一部分，在講等差數(shù)列的概念時，突出了它與一次函數(shù)的聯(lián)系，這樣就便于利用所學過的一次函數(shù)的知識來認識等差數(shù)列的性質圖上看什么表示等差數(shù)列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項可以決定一個等差數(shù)(從幾何上看兩點可以決定一條直)教學過程：一復引：上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列表示數(shù)的幾方——列舉法公式法公法法前和公式……這些方法從不同的角度反映了數(shù)列的特點?，F(xiàn)在我們先看下面這些問題：．回憶數(shù)列的概念，數(shù)列有哪幾種表示方法？（）小明覺得自己英語成績很差，目前他的單詞量只有yes、no、you、、he5個，他決定從今天起每天背記10個詞，那么從今天開始他的單詞量逐日增加，依次為5，1525，，…問：多少天后他的單詞量達到？（2小芳覺得自己英語成績很棒，她目前的單詞量多達她算從今天起不再背單詞了結果不知不覺地每天忘掉5個單詞么從今天開始的單詞量逐日遞減依次為：3000，，，，…問：多少天后她那個單詞全部忘光？從上面兩例中，我們分別得到兩個數(shù)列：①，15，，35，…②3000，，，，…觀察以上兩個數(shù)列，看看它們有什么共同特征？3.

根據(jù)以上兩個數(shù)列，每人能舉出個與其特征相同的數(shù)列嗎？4.

什么是等差數(shù)列？這樣理解等差數(shù)列？其中的關鍵字詞是什么？5.

以上兩個數(shù)列存在通項公式嗎？如果存在，分別是什么？

6.

怎樣推導等差數(shù)列的通項公式？學生討論、分析以上幾個問題引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于_10_；對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-5

；·同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差每鄰兩項的差相等——應指明作差的順序后項減前們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等數(shù)二講新：1．差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的差（常用字母“d表示）注意：數(shù)列

⑴．

名稱：等差數(shù)列，首項(，公差(),

則該數(shù)列為常⑵．公差一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來;(3)．對于數(shù){

a

n

},若

a

n

－

與關的數(shù)或字母)n≥，∈N，此數(shù)列是等差數(shù)列，為差那么對于以上兩組等差數(shù)列，它們的首相分別是5和，公差別是10和-10。2．差數(shù)列通項公式：aand【a)d】n1n等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得若一差數(shù)列

，1差是，則據(jù)其定義可得：aa2a3

即：即：

aa2aaa2d321a即4……aa由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：n1∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a和公差d便可求得其通項1

a

n如數(shù)列①5，，2535…；

a5n

（n）

數(shù)列②，2995，2990，，…；

a3005nn

（n≥）數(shù)列③

2455

nn5

（n1由上述關系還可得：

adm即：

am1m則：

d1

=

amdn)dm即等差數(shù)列第二通項公式

n)

∴d=

amn如：

aada2ad45三例講例⑴等數(shù)列85，…第20項⑵-401是是等差數(shù)列，，…的項？如果是，是第幾項？解：⑴由

a21n=20，得

a

20

⑵由

a1得數(shù)列通項公式為：

ann由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，得401n=100，即401是個數(shù)列的第項

成立解之得例在差列

a10，a5

，求,daan解法一：∵

a105

，

a

，則

aad

d

∴

andnn1ad5520解法二：∵

a12

d31dd5∴

a

20

adaan12n12

nn小結：第二通項公式

ann四課練：1.1）求等數(shù)列37，11……的與第.分析根所給數(shù)列的前求得首項和公差寫出該數(shù)列的通項公式從而求所求項解：根據(jù)題意可知：a=3,d－3=4.1∴該數(shù)列的通項公式為：

a

n

=3+（n－）×4,即

a

n

=4－（≥∈*∴

a

4

×4－

×10－評述：關鍵是求出通項公（）求等差數(shù)列，，，……第20項.解：根據(jù)題意可知：a=10,d=810=－2.1∴該數(shù)列的通項公式為：

a

n

（n－1（－）即

a

n

－2n+12,∴a=－220+12=28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確.（）100是是等差數(shù)列，916……的項？果是，第幾項？如不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù)值，使得

a

n

等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：a=2,d－2=7.1∴此數(shù)列通項公式為：

a

n

=2+（n1）×7=7－令－5=100,解=15,

∴100是個數(shù)列的第15項（4）20是不等數(shù)，3說明理由.

12

，7……項如是是第項如不，解：由題意可知：a=3177令－n－解得n22

1∴此數(shù)列的通項公式為：=－+,2因為－

77+=－沒有正整數(shù)解，所以－20不這個數(shù)列的222.等差數(shù)列{a}中）已知aa=19,求與;n471

n1n1n123nn（）已知=9,a=3,a.3912解）題得：

ad10ad

解之得：

ad

d（2解法一：由題意可得：a3

解得

ad∴該數(shù)列的通項公式為：

a

n

=11+（n）×（－1=12－n∴

=0解法二：由已知得：ad即：3=9+6∴=193又∵aad∴=3+3×（－）=0.12五課小通過本節(jié)學習，首先，要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：a

n

‐

≥，nN）其次，要會推導等差數(shù)列的通項公式：

aan1

，并掌握其基本應用最后，還要注意一重要關系式：

)d

和

a

n

、q是常數(shù)的解與應用.六課作：一、選擇題：．等差數(shù)列{a},39,a27,則{}前9的和n7369n

等于（）A

B

C．144

D．

．若

2,lg(2x

成等差數(shù)列，則

的值等于（）A

B032

C．

D．

log．在等差數(shù)列

，則

a17

181920

的值為（）二、填空題．計算log

33___________.．已知數(shù)列{a}滿a=1=a+…+(n－1)(≥2)則n≥2時，___________

關于的程2

－3x＋a=0和x－x＋a)的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求＋b的七設感本教案設計突出了重點概念的教學了差數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應用數(shù)是特殊數(shù)列恰是其特殊性也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確地把握定義是正確認識等差數(shù)列決相關問題的前提條件項式是項與項數(shù)的函數(shù)關系，是研究一個數(shù)列的重要工具。本教案設計突出了發(fā)散思維的訓練。通過一題多解，多題一解的訓練，比較優(yōu)劣，換個角度觀察問題是數(shù)學發(fā)散思維的基本素質有在學習過程中有意識地講知識遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗多樣性，學懂學透，融會貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增。

《等數(shù)列和》案（高一年級一冊·第三第三節(jié)）一教分●教學容《等差數(shù)列前n和》人教版高中教材第三章第三節(jié)“等差數(shù)列n和”的第一課時，主要內容是等差數(shù)列前項和的推導過程和簡單應用●地位作用高中數(shù)列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數(shù)列。本節(jié)課的教學內容是等差數(shù)列前n項和公式的推導及其簡單應用。在推導等差數(shù)列前項和公式的過程中，采用了：從特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不僅得出了等差數(shù)列前n和公式，而且對以后推導等比數(shù)列前項和公式有一定的啟發(fā)，也是一種常用的數(shù)學思想方法。等差數(shù)列前n項和是學習極限、微積分的基礎，與數(shù)學課程的其它內容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。二學分●知識礎：高一年級學生已掌握了函，數(shù)列等有關基礎知識，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和?！裾J知平與能力：高一學生已初步具有抽象邏輯思維能力能在教師的引導下獨立地解決問題?！袢谓碳墝W生特點我所任教的班級是普通班級，學生基礎知識不是很扎實，處理抽象問題的能力還有待進一步提高三目分1教目依據(jù)教學大綱的教學要求，滲透新課標理念，并結合以上學情分析，我制定了如下教學目標．●知識與技能目標掌握等差數(shù)列前n項和公式，能較熟練應用等差數(shù)列前項和公式求和?！襁^程方法目標經(jīng)歷公式的推導過程，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思?！袂楦袘B(tài)度與價值目標獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。2教重、點根據(jù)教學內容和本校學生特點，我確定本節(jié)課的教學重點為：●重等差數(shù)列前n項和公式的推導和應用.●難點等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。

●重、點解決的方策略本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略．利用數(shù)形結合、類比歸納的思想，層層深入，通過學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過范例后的變式訓練和教師的點撥引導，師生互動、講練結合，從而突出重點、突破教學難點．四過設結合教材知識內容和教學目標，本課的教學環(huán)節(jié)及時間分配如下：創(chuàng)設情景提出問題歸納總（分鐘）五教過

探究等數(shù)列前n項公式（分鐘）公式應與議練活（2）（分鐘）

公式應與議練活（）（分鐘）公式的識與理解（4鐘）教學環(huán)節(jié)

教師活動

學生活動

活說

動明新課引入

創(chuàng)設情境首先讓學生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有大小相同的寶石共有層同時提出第一個問題能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算…？

模型直觀用實際生活引現(xiàn)實模型：①圖片欣賞②生活實例

入課。

新

和再除以2即可學生將首末兩項配對第nn12ann(和再除以2即可學生將首末兩項配對第nn12ann()2分析高斯求法得出的式子，發(fā)現(xiàn)Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：

學生：，2+99=101，所以原式=501+101=5050學生:過等式變形，可把一組數(shù)求和看作先求得兩組完全相同的數(shù)組的

高斯求和眾所周知，學生能快速解探索公式

2）設等差數(shù)列{}n和為,則a二項與倒數(shù)第二項配對問題此類推，每一對的和都相老師利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項和公式？等，并且都等于。1老師：但是否剛好配對成功呢？學生不一定需要對n取值的奇偶進行討論。但是對n論麻煩了否有更好的當n為偶數(shù)時剛好配方法求前n項和公式呢？接下來給出實際對成功。問題木工人是如何快速計算堆放在木場當n奇數(shù)時，中間的一的木頭根數(shù)呢？項落單了。問題：何用倒置的思想求等差數(shù)列前項和呢？方法一

答。這里用到了等差數(shù)列腳標和性質從高斯算法出發(fā)，對進行討論尋找求和公式思路自然，學生容易想到。S

學生觀察動畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。Sn兩式相加得：S()（由上一問題的解決生容易想到序相求和方法二法同樣利用倒序相加求和法材做了如學生：利用倒序相加求和下處理：法。S)and]n11

倒序相加求和法是重要的數(shù)學思想，為以后數(shù)列求和的學習做好了鋪墊。)d]nnn兩式相加得：S(a)n公：(a)n

將中的每一項用等n差數(shù)列的通項公式進行巧妙的改寫倒序相加求和時一組中的d被正負抵消了。

在等差數(shù)列前n項和公式的推導過程中，

引導學生帶入等差數(shù)列的通項公式學生類比方法一與方法

通過問探索

掉整理得到公式2(n公式：na能否給求和公式一個幾何解釋呢？教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。

二的聯(lián)系與區(qū)別。題獲得知識，讓學生學生將求和公式與梯形面經(jīng)歷積公式建立聯(lián)系。“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決公式議

公1:n

n(a)12

問題”的過程利用數(shù)形結合的思想，使學生對兩個公學生自己閱讀教材，體式有直練活

會教材的解法是如何運用觀的認求和公式。識，體觀察多媒體課件演示。會數(shù)學的圖形動

例1：某長跑運動員７天里每天的訓練量（單位：m）是：750080008500900095001000010500

語言。通過對實際問這位長跑運動員７天共跑了多少米？本例提供了許多數(shù)據(jù)信息生可以從首項、末項、項數(shù)出發(fā)，使用公1，也可以從首項公差項數(shù)出發(fā)使用公式求和。

題的解決讓學生認識學生討公式中一共含有到數(shù)學五個量據(jù)三個公式之間來源于剖析公：1nna)公式1n2n公式2n12

d

的聯(lián)系由方程的思想知三可求二。

生活，同時又服務于生活通項公式：andn教師提示，從方程中量的關系入手。

學生討論分析題目所含的已知量取了公式2進

例在解決了

運算，利用了方程