《等差數(shù)列》教案

等差數(shù)列（一學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．明確等差數(shù)列的定義，探索掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；．會(huì)解決知道

a,dn

中的三個(gè)，求另外一個(gè)的問題；．通過與一次函數(shù)的圖像類比，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖像特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)方法：內(nèi)容分析：

等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的性質(zhì)探究、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析本節(jié)是等差數(shù)列這一部分，在講等差數(shù)列的概念時(shí)，突出了它與一次函數(shù)的聯(lián)系，這樣就便于利用所學(xué)過的一次函數(shù)的知識(shí)來認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)圖上看什么表示等差數(shù)列的各點(diǎn)都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項(xiàng)可以決定一個(gè)等差數(shù)(從幾何上看兩點(diǎn)可以決定一條直)教學(xué)過程：一復(fù)引：上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列表示數(shù)的幾方——列舉法公式法公法法前和公式……這些方法從不同的角度反映了數(shù)列的特點(diǎn)?，F(xiàn)在我們先看下面這些問題：．回憶數(shù)列的概念，數(shù)列有哪幾種表示方法？（）小明覺得自己英語成績很差，目前他的單詞量只有yes、no、you、、he5個(gè)，他決定從今天起每天背記10個(gè)詞，那么從今天開始他的單詞量逐日增加，依次為5，1525，，…問：多少天后他的單詞量達(dá)到？（2小芳覺得自己英語成績很棒，她目前的單詞量多達(dá)她算從今天起不再背單詞了結(jié)果不知不覺地每天忘掉5個(gè)單詞么從今天開始的單詞量逐日遞減依次為：3000，，，，…問：多少天后她那個(gè)單詞全部忘光？從上面兩例中，我們分別得到兩個(gè)數(shù)列：①，15，，35，…②3000，，，，…觀察以上兩個(gè)數(shù)列，看看它們有什么共同特征？3.

根據(jù)以上兩個(gè)數(shù)列，每人能舉出個(gè)與其特征相同的數(shù)列嗎？4.

什么是等差數(shù)列？這樣理解等差數(shù)列？其中的關(guān)鍵字詞是什么？5.

以上兩個(gè)數(shù)列存在通項(xiàng)公式嗎？如果存在，分別是什么？

6.

怎樣推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？學(xué)生討論、分析以上幾個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于_10_；對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于-5

；·同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即等差每鄰兩項(xiàng)的差相等——應(yīng)指明作差的順序后項(xiàng)減前們給具有這種特征的數(shù)列一個(gè)名字——等數(shù)二講新：1．差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的差（常用字母“d表示）注意：數(shù)列

⑴．

名稱：等差數(shù)列，首項(xiàng)(，公差(),

則該數(shù)列為常⑵．公差一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來;(3)．對(duì)于數(shù){

a

n

},若

a

n

－

與關(guān)的數(shù)或字母)n≥，∈N，此數(shù)列是等差數(shù)列，為差那么對(duì)于以上兩組等差數(shù)列，它們的首相分別是5和，公差別是10和-10。2．差數(shù)列通項(xiàng)公式：aand【a)d】n1n等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一差數(shù)列

，1差是，則據(jù)其定義可得：aa2a3

即：即：

aa2aaa2d321a即4……aa由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：n1∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a和公差d便可求得其通項(xiàng)1

a

n如數(shù)列①5，，2535…；

a5n

（n）

數(shù)列②，2995，2990，，…；

a3005nn

（n≥）數(shù)列③

2455

nn5

（n1由上述關(guān)系還可得：

adm即：

am1m則：

d1

=

amdn)dm即等差數(shù)列第二通項(xiàng)公式

n)

∴d=

amn如：

aada2ad45三例講例⑴等數(shù)列85，…第20項(xiàng)⑵-401是是等差數(shù)列，，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：⑴由

a21n=20，得

a

20

⑵由

a1得數(shù)列通項(xiàng)公式為：

ann由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，得401n=100，即401是個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)

成立解之得例在差列

a10，a5

，求,daan解法一：∵

a105

，

a

，則

aad

d

∴

andnn1ad5520解法二：∵

a12

d31dd5∴

a

20

adaan12n12

nn小結(jié)：第二通項(xiàng)公式

ann四課練：1.1）求等數(shù)列37，11……的與第.分析根所給數(shù)列的前求得首項(xiàng)和公差寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式從而求所求項(xiàng)解：根據(jù)題意可知：a=3,d－3=4.1∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

a

n

=3+（n－）×4,即

a

n

=4－（≥∈*∴

a

4

×4－

×10－評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公（）求等差數(shù)列，，，……第20項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：a=10,d=810=－2.1∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

a

n

（n－1（－）即

a

n

－2n+12,∴a=－220+12=28.評(píng)述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確.（）100是是等差數(shù)列，916……的項(xiàng)？果是，第幾項(xiàng)？如不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)值，使得

a

n

等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：a=2,d－2=7.1∴此數(shù)列通項(xiàng)公式為：

a

n

=2+（n1）×7=7－令－5=100,解=15,

∴100是個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng)（4）20是不等數(shù)，3說明理由.

12

，7……項(xiàng)如是是第項(xiàng)如不，解：由題意可知：a=3177令－n－解得n22

1∴此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=－+,2因?yàn)椋?/p>

77+=－沒有正整數(shù)解，所以－20不這個(gè)數(shù)列的222.等差數(shù)列{a}中）已知aa=19,求與;n471

n1n1n123nn（）已知=9,a=3,a.3912解）題得：

ad10ad

解之得：

ad

d（2解法一：由題意可得：a3

解得

ad∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

a

n

=11+（n）×（－1=12－n∴

=0解法二：由已知得：ad即：3=9+6∴=193又∵aad∴=3+3×（－）=0.12五課小通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先，要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：a

n

‐

≥，nN）其次，要會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

aan1

，并掌握其基本應(yīng)用最后，還要注意一重要關(guān)系式：

)d

和

a

n

、q是常數(shù)的解與應(yīng)用.六課作：一、選擇題：．等差數(shù)列{a},39,a27,則{}前9的和n7369n

等于（）A

B

C．144

D．

．若

2,lg(2x

成等差數(shù)列，則

的值等于（）A

B032

C．

D．

log．在等差數(shù)列

，則

a17

181920

的值為（）二、填空題．計(jì)算log

33___________.．已知數(shù)列{a}滿a=1=a+…+(n－1)(≥2)則n≥2時(shí)，___________

關(guān)于的程2

－3x＋a=0和x－x＋a)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求＋b的七設(shè)感本教案設(shè)計(jì)突出了重點(diǎn)概念的教學(xué)了差數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用數(shù)是特殊數(shù)列恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映和高度概括，準(zhǔn)確地把握定義是正確認(rèn)識(shí)等差數(shù)列決相關(guān)問題的前提條件項(xiàng)式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個(gè)數(shù)列的重要工具。本教案設(shè)計(jì)突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練。通過一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個(gè)角度觀察問題是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素質(zhì)有在學(xué)習(xí)過程中有意識(shí)地講知識(shí)遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗(yàn)多樣性，學(xué)懂學(xué)透，融會(huì)貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增。

《等數(shù)列和》案（高一年級(jí)一冊·第三第三節(jié)）一教分●教學(xué)容《等差數(shù)列前n和》人教版高中教材第三章第三節(jié)“等差數(shù)列n和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前項(xiàng)和的推導(dǎo)過程和簡單應(yīng)用●地位作用高中數(shù)列研究的主要對(duì)象是等差、等比兩個(gè)基本數(shù)列。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用。在推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的過程中，采用了：從特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不僅得出了等差數(shù)列前n和公式，而且對(duì)以后推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有一定的啟發(fā)，也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。二學(xué)分●知識(shí)礎(chǔ)：高一年級(jí)學(xué)生已掌握了函，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和?！裾J(rèn)知平與能力：高一學(xué)生已初步具有抽象邏輯思維能力能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問題。●任教級(jí)學(xué)生特點(diǎn)我所任教的班級(jí)是普通班級(jí)，學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不是很扎實(shí)，處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高三目分1教目依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)．●知識(shí)與技能目標(biāo)掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求和?！襁^程方法目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思?！袂楦袘B(tài)度與價(jià)值目標(biāo)獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。2教重、點(diǎn)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和本校學(xué)生特點(diǎn)，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：●重等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.●難點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中滲透倒序相加的思想方法。

●重、點(diǎn)解決的方策略本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)．四過設(shè)結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下：創(chuàng)設(shè)情景提出問題歸納總（分鐘）五教過

探究等數(shù)列前n項(xiàng)公式（分鐘）公式應(yīng)與議練活（2）（分鐘）

公式應(yīng)與議練活（）（分鐘）公式的識(shí)與理解（4鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)

教師活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)

活說

動(dòng)明新課引入

創(chuàng)設(shè)情境首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點(diǎn)說中陵寢中有一個(gè)三角形的圖案嵌有大小相同的寶石共有層同時(shí)提出第一個(gè)問題能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計(jì)算…？

模型直觀用實(shí)際生活引現(xiàn)實(shí)模型：①圖片欣賞②生活實(shí)例

入課。

新

和再除以2即可學(xué)生將首末兩項(xiàng)配對(duì)第nn12ann(和再除以2即可學(xué)生將首末兩項(xiàng)配對(duì)第nn12ann()2分析高斯求法得出的式子，發(fā)現(xiàn)Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：

學(xué)生：，2+99=101，所以原式=501+101=5050學(xué)生:過等式變形，可把一組數(shù)求和看作先求得兩組完全相同的數(shù)組的

高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解探索公式

2）設(shè)等差數(shù)列{}n和為,則a二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)問題此類推，每一對(duì)的和都相老師利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？等，并且都等于。1老師：但是否剛好配對(duì)成功呢？學(xué)生不一定需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。但是對(duì)n論麻煩了否有更好的當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來給出實(shí)際對(duì)成功。問題木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，中間的一的木頭根數(shù)呢？項(xiàng)落單了。問題：何用倒置的思想求等差數(shù)列前項(xiàng)和呢？方法一

答。這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì)從高斯算法出發(fā)，對(duì)進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。S

學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。Sn兩式相加得：S()（由上一問題的解決生容易想到序相求和方法二法同樣利用倒序相加求和法材做了如學(xué)生：利用倒序相加求和下處理：法。S)and]n11

倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。)d]nnn兩式相加得：S(a)n公：(a)n

將中的每一項(xiàng)用等n差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫倒序相加求和時(shí)一組中的d被正負(fù)抵消了。

在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，

引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)生類比方法一與方法

通過問探索

掉整理得到公式2(n公式：na能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。

二的聯(lián)系與區(qū)別。題獲得知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)生將求和公式與梯形面經(jīng)歷積公式建立聯(lián)系?！鞍l(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決公式議

公1:n

n(a)12

問題”的過程利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)公學(xué)生自己閱讀教材，體式有直練活

會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用觀的認(rèn)求和公式。識(shí)，體觀察多媒體課件演示。會(huì)數(shù)學(xué)的圖形動(dòng)

例1：某長跑運(yùn)動(dòng)員７天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：750080008500900095001000010500

語言。通過對(duì)實(shí)際問這位長跑運(yùn)動(dòng)員７天共跑了多少米？本例提供了許多數(shù)據(jù)信息生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公1，也可以從首項(xiàng)公差項(xiàng)數(shù)出發(fā)使用公式求和。

題的解決讓學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)生討公式中一共含有到數(shù)學(xué)五個(gè)量據(jù)三個(gè)公式之間來源于剖析公：1nna)公式1n2n公式2n12

d

的聯(lián)系由方程的思想知三可求二。

生活，同時(shí)又服務(wù)于生活通項(xiàng)公式：andn教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。

學(xué)生討論分析題目所含的已知量取了公式2進(jìn)

例在解決了

運(yùn)算，利用了方程