最小作用量原理

最小作用量原理物理學(xué)外文名principleofleastaction

類型 描述客觀事物規(guī)律的一種方法目錄1原理簡略費馬的表述莫佩爾蒂的表述歐拉表述表觀目的論2數(shù)學(xué)描述3近代發(fā)展4應(yīng)用最小作用量原理（principleofleastaction）：是物理學(xué)中描述客觀事物規(guī)律的一種方法。即從一個角度比較客體一切可能的運動（經(jīng)歷），認(rèn)為客體的實際運動（經(jīng)歷）可以由作用量求極值得出，即作用量最小的那個經(jīng)歷。公元40年，希臘工程師（Hero）提出了光的最短路程原理，是最小作用量原理的早期表述，到中世紀(jì)，最小作用量原理思想被更多的人所接受。原理簡略作為研究光線的反射和折射的結(jié)果，費爾馬曾得出這樣的結(jié)論：“自然界總是通過最短的途徑發(fā)生作用的?！贝撕?，莫培督在其1744年的一片著名論文中宣布了一個原理，他稱之為“最小作用量原理。”他用這樣幾句話說明了這個原理：“自然界總是通過最簡單的方法產(chǎn)生起作用的。如果一個物體必須沒有任何阻礙地從這一點到另一點——自然界就利用最短的途徑和最快的速度來引導(dǎo)它。”（原先也一直不能并存的自然界各種規(guī)律現(xiàn)在就一致起來了。《科學(xué)院的報告》，1744年4月15日，第421頁）簡單地說這意味著任何不受影響的動力學(xué)系統(tǒng)在發(fā)生變化時，其變化方式總是使有關(guān)的作用量為最小。在對物理實在（現(xiàn)象）的觀察中，科學(xué)家們相信，對于不同的觀察者物理實在可以不同，但其物理實在的結(jié)構(gòu)（規(guī)律）必定是相同的。物理學(xué)中描述物理實在結(jié)構(gòu)的方法之一就是作用量方法。這種方法從功能角度去考察和比較客體一切可能的運動經(jīng)歷），認(rèn)為客體的實際運動（經(jīng)歷）可以由作用量求極值得出，是其中作用量最小的那個。這個原理稱為最小作用量原理。

Asaresultoftheresearchoflightreflectionandrefraction,fermathadreachedtheconclusionthat\"naturehappenthroughtheshortestway.\"Sincethen,MoPeioverseersinhis1744announcedaprincipleinafamousessay,hecalledit\"theprincipleofminimumaction.\"Withafewotherwordsandcleartheprinciple:\"natureisgeneratedbythesimplestwaytowork.Ifanobjectmustbenoobstaclestofromthispointtoanotherpoint,naturewillusetheshortestwayandthefastestspeedtoguideit.\"(theoriginalhasbeennotvariouslawsofnatureandconsistentnow.Theacademy'sreport,April15,1744,p.421)simplysaysthatmeansanydynamicsystemisnotaffectedinchanges,thechangewayalwaysmaketherelevantactiontoaminimum.Intheobservationofthephysicalreality(phenomenon),scientistsbelieve,fordifferentphysicalrealityoftheobservercanbedifferent,butitsphysicalstructure(regular)mustbethesame.Inphysicsonewaytodescribethestructureofthephysicalrealityisaction.Thismethodfromafunctionalperspectivetoexamineandcomparetheobjectallpossiblemovement(experience),thattheobjectoftheactualmovement(experience)canbeobtainedfromactionforextremum,actionisthesmallestone.Thisprincipleiscalledtheleastactionprinciple.費馬的表述662年，皮埃爾·德·費馬提出費馬原理，又稱為“最短時間原理”：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。費馬原理更正確的版本應(yīng)是“平穩(wěn)時間原理”。對于某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對于平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對于半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對于半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對于由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。費馬原理引發(fā)了極大的爭議。假若介質(zhì)的密度越小，光線移動的速度越快，則費馬原理是正確的；但是，艾薩克·牛頓和勒內(nèi)·笛卡兒都認(rèn)為介質(zhì)的密度越大，光線移動的速度就越快。莫佩爾蒂的表述莫佩爾蒂發(fā)表的最小作用量原理闡明，對于所有的自然現(xiàn)象，作用量趨向于最小值。他定義一個運動中的物體的作用量為A,物體質(zhì)量m,移動速度v與移動距離s的乘積：A=mvs莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點來論述，最小作用量好像是一種經(jīng)濟(jì)原理。在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是，并沒有任何理由，能夠解釋，為什么作用量趨向最小值，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎樣解釋最大作用量呢?歐拉表述1744年，萊昂哈德·歐拉在論文《尋找具有極大值或極小值性質(zhì)的曲線，等周問題的最廣義解答》里，以非常清楚的字句，給出最小作用量原理的定義。

Lookingforcurve,withcharacteristicsofthemaximumorminimumisoperimetricproblemofthegeneralizedsolution表觀目的論微分運動方程數(shù)學(xué)等價于其對應(yīng)的積分運動方程，這具有很重要的哲學(xué)意義。微分方程描述局部于空間的一點或單獨時間的片刻。舉例而言，牛頓第二定律F=ma解釋為瞬時作用力F施加于質(zhì)量為m的粒子會造成瞬時加速度為a的運動。明顯對比地，作用量原理不會局部于一點，而牽涉到積分于一段時間間隔或一個空間的局域。更重要地，通常在經(jīng)典作用量原理的表述里，系統(tǒng)的初始狀態(tài)和終結(jié)狀態(tài)是固定不變的。Mathematicalisequivalenttothecorrespondingdifferentialequationofmotionofintegralequationofmotion,ithastheveryimportantphilosophicalsignificance.Differentialequationtodescribethelocalpointinspaceortimealoneforawhile.Forexample,Newton'ssecondlawF=mainterpretedasinstantaneousforceFonqualityformparticlescancauseinstantaneousaccelerationasasport.Contrast,notlocaltoalittleactionprinciple,andinvolvestheintegralinaperiodoftimeintervaloraspaceinthelocalarea.Moreimportantly,usuallyinthepresentationoftheclassicactionprinciple,theinitialstateandendstateofthesystemisfixed.數(shù)學(xué)描述機(jī)械能守恒系統(tǒng)在位形空間真實軌道上運動時所遵循的一個基本原理。二倍動能T對時間dt的積分稱為拉格朗日作用量2Tdt。在N維位形空間(q1，q2，…，qN)中，表示點沿著具有相同機(jī)械能的端點的真實路徑上的作用量和沿鄰近的可能路徑上的作用量比較，沿真實路徑的作用量取駐值(包括極值)?？紤]在N維q空間自始點A(q10，q20，…，qN0)出發(fā)的兩條運動的真實路徑，這兩條路徑是相鄰的，只是出發(fā)的方向略有不同。這兩條路徑除A外可能還有其他交點，若B是靠近A的第一個交點。當(dāng)兩條路徑的出發(fā)方向趨于一致時，B的極限點稱為動焦點。當(dāng)代表點的路徑長超過時，作用量積分既非極小也非極大。長度不超過始點和第一個動焦點之間的路徑長時，真實路徑的作用量是極小值。近代發(fā)展莫佩爾蒂于1744年發(fā)表了最小作用量原理。這原理闡明，對于所有的自然現(xiàn)象，作用量趨向于最小值。他定義作用量為物體的質(zhì)量，移動距離，與移動速度的乘積。1741年，莫佩爾蒂在巴黎科學(xué)院發(fā)表了一篇論文，"Loidureposdescorps"，（靜止物體定律）。他表明，在一個系統(tǒng)里，所有呈靜止?fàn)顟B(tài)的物體，假若有任何變化，產(chǎn)生的運動，趨向于作用量的最小改變。在另一篇于1744年，在巴黎科學(xué)院發(fā)表的論文中，他提出了"Accorddeplusieursloisnaturellesquiavaientparujusqu'iciincompatibles"（幾種以前互不相容的自然定律的合一論)：光折射的路徑，從一種介質(zhì)到另一種介質(zhì)，是作用量的最小值。1746年，莫佩爾蒂更進(jìn)一步地在伯林科學(xué)院發(fā)表了論文，"Loixdumouvementetdurepos"（運動與靜止定律）。他表明，質(zhì)點的運動也趨向于最小作用量。為了便于分析，物體的全部質(zhì)量可以被視為集中于一點，稱這一點為質(zhì)點。在十八世紀(jì)前期，關(guān)于質(zhì)點經(jīng)碰撞后的可能發(fā)生狀況，有很大的爭論。笛卡兒派與牛頓派物理學(xué)家認(rèn)為，在碰撞下，幾個質(zhì)點的總動量與相對速度是恒定的。萊布尼茨派則認(rèn)為活力(visviva)也是恒定的。由于兩個原因，這論點是笛卡兒派與牛頓派無法接受的:1.活力恒定不能應(yīng)用于硬物體（不能壓縮的物體）。2.活力的數(shù)學(xué)定義是質(zhì)量與速度平方的乘積。為什么速度在活力這數(shù)量里出現(xiàn)兩次？萊布尼茨派辯明，理由很簡單，任何物質(zhì)對于運動都有一種自然的趨向。在靜止?fàn)顟B(tài)，物體里含有一個內(nèi)在的速度。當(dāng)物體開始移動時，對應(yīng)于實際的運動，又產(chǎn)生了第二個速度項目。笛卡兒派與牛頓派則認(rèn)為這辯理簡直是胡言。對于中古學(xué)者，運動的內(nèi)在趨向這句話，具有一種奧秘的性質(zhì)；這中古學(xué)者的偏愛，必須毫無反顧地抗拒。今天，硬物體的概念已被完全地否定了。至于質(zhì)量與速度平方的乘積，這數(shù)量則是動能的兩倍?，F(xiàn)代力學(xué)給予了活力一個很重要的角色。對于莫佩爾蒂而言，硬物體的概念是很重要的。他提出的最小作用量原理有一個很特別的優(yōu)點：這原理可以應(yīng)用于硬物體與彈性物體。又可以應(yīng)用于靜止?fàn)顟B(tài)的物體與光，似乎，這原理可以廣泛的應(yīng)用于宇宙的每一個角落。莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點來論述：最小作用量好像一個經(jīng)濟(jì)原理:精省資源。它是有瑕疵，但是沒有任何理由，能夠解釋，為什么它的作用量趨向最小值，而不是最大值。事實上，萊布尼茨證明過，在大自然現(xiàn)象中，這物理量有可能趨向最小值，也有同樣的可能趨向最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎么解釋最大作用量呢？在量子力學(xué)的發(fā)展中，作用量的不連續(xù)性不以其最初的假定方式保持下來。這種不連續(xù)性使解釋量子力學(xué)的數(shù)量關(guān)系成為可能，但卻沒有去找這種解釋。這樣，不連續(xù)性就以終極概念的身份出現(xiàn)了。作用量不連續(xù)在日后推廣為相對論的量子論中可以得到因果性的解釋?？磥磉@種推廣的嘗試對作用量概念本身帶來某些新的認(rèn)識，就像時空網(wǎng)格數(shù)的概念那樣，用普朗克常數(shù)去除作用量的表象沒有被排除，嬗變過程就在此網(wǎng)格中發(fā)生，在宏觀的近似中網(wǎng)格可以作為自身同一的基本粒子的世界線而加以研究。此時世界線的概率就同愛丁頓所說的那種數(shù)量關(guān)系的作用量聯(lián)系在一起，于是最小作用量原理就成為最大概率原理。應(yīng)用相對論運用時空事件的四維世界把最小作用量原理解釋為能夠從可能的世界線中挑選出實際的世界線的原理。在這種情況下相對論并沒有給最小作用原理添加進(jìn)新的物理內(nèi)容。這種物理內(nèi)容可以為量子物理所引入。只有作出某種把相對論和微觀世界聯(lián)系在一起的解釋的情況下，根據(jù)更為一般的設(shè)想，相對論或許有“推出”最小作用原理的可能。在建立廣義相對論時愛因斯坦用過最小作用原理。此時作用量的概念得到某些新的解釋。如所周知，在決定空間和時間的曲率時借助于四個恒等式，并且力求排除表征空間時間特性但不表征曲率的多余的參量