等差數(shù)列求和與性質(zhì)

2.3等差數(shù)列的

前n項(xiàng)和（一）復(fù)習(xí)引入1.等差數(shù)列定義：

即an－an－1

＝d(n≥2).2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

(1)

an＝a1＋(n－1)d(n≥1).(2)

an＝am＋(n－m)d.(3)

an＝pn＋q(p、q是常數(shù))復(fù)習(xí)引入3.幾種計(jì)算公差d的方法:復(fù)習(xí)引入4.等差中項(xiàng)成等差數(shù)列.

m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq.(m，n，p，q∈N)5.等差數(shù)列的性質(zhì)6．等差數(shù)列的性質(zhì)：對(duì)于等差數(shù)列，為遞增數(shù)列，為常數(shù)數(shù)列；為遞減數(shù)列，等差數(shù)列中無(wú)先增后減或先減后增數(shù)列,要么單調(diào)要么常數(shù)數(shù)列。7.等差數(shù)列中,間隔等距離取出的項(xiàng)組成的‘新數(shù)列仍為等差數(shù)列，即：組成公差為md的等差數(shù)列.8.判斷等差數(shù)列的方法:1）、(定義法)利用an-an-1是否是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)2）、(中項(xiàng)公式法)判斷an與an+1+an-1的關(guān)系3、(通項(xiàng)公式法)判斷an=pn+q(p、q為常數(shù))等差數(shù)列的求和公式高斯（Gauss,1777—1855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，被稱為歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，他與阿基米德、牛頓齊名，是數(shù)學(xué)史上一顆光芒四射的巨星，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.

有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：計(jì)算1＋

2＋

3＋…＋

99＋100高斯的算法計(jì)算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100

高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組：第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組；第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組；第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，……

每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.首尾配對(duì)相加法中間的一組數(shù)是什么呢？計(jì)算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100+101合作探究：若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，老師說(shuō)有n支。問(wèn)：這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：1＋

2＋

3＋…＋

(n-1)＋n若用首尾配對(duì)相加法，需要分類討論.三角形平行四邊形n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法

那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？前n項(xiàng)和分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.①②問(wèn)題分析已知等差數(shù)列｛an

｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？①②求和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：思考：（1）公式的文字語(yǔ)言；（2）公式的特點(diǎn)；不含d可知三求一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。

想一想

在等差數(shù)列{an}中，如果已知五個(gè)元素a1,an,n,d,Sn中的任意三個(gè),請(qǐng)問(wèn):能否求出其余兩個(gè)量?結(jié)論：知三求二公式應(yīng)用

根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn

：（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50練一練5002550例1、計(jì)算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-n例題講解n23230提示：n=76法二：

例2在等差數(shù)列{an}中，已知，求S7.例題講解例題講解

例3、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元。那么，從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？分析：①找關(guān)鍵句；②求什么，如何求；解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為：答變式練習(xí)

一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦嬉粚愉佂咂?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.課堂練習(xí)答案:27練習(xí)1、練習(xí)2、等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…的前______項(xiàng)的和為54？答案:n=9，或n=-3（舍去）仍是知三求一練習(xí)3已知一個(gè)共有n項(xiàng)的等差數(shù)列前4項(xiàng)之和為26,末四項(xiàng)之和為110,且所有項(xiàng)的和為187，求n.課堂練習(xí)知識(shí)打包存放備用an=a1+(n-1)d對(duì)于Sn、an、a1、n、d五個(gè)量，“知三求二”.方程(組)思想(待