齊達(dá)藝術(shù)生文化課之2009寧夏理數(shù)

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（寧夏卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第I卷一， 選擇題：（本大題共 12題，每小題 5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，中有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1） 已知集合 A 1,3,5,7,9,B 0,3,6,9,12,則AICNB(A)1,5,7(B)(C)1,3,9(D)解析：易有ACNB1,5,7，選A(2)復(fù)數(shù)32i32i

3,5,71,2,323i23i（A）0（B）2（C）-2i(D)2解析：32i32i32i23i32i23i26i2i,選D131323i23i13（3）對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)理力爭(zhēng)（x1，y1）（i=1,2,?，10），得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，有觀測(cè)數(shù)據(jù)（u1，v1）（i=1,2,?，10）,得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷。（A）變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) （B）變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)（C）變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) （D）變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷 ,變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān),選C（4）雙曲線 x2-y2=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 12（A）2 3 （B）2 （C） 3 （D）1精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解析：雙曲線x2-y2到漸近線y3x的距離為d340=1的焦點(diǎn)(4,0)223,選412A（5）有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：p1：xR,sin2x+cos2x=1p2:x、yR,sin(x-y)=sinx-siny222p3:x0,,1cos2xp4:sinx=cosyx+y=2=sinx2其中假命題的是（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p4解析：p1：xR,sin2x+cos2x=1是假命題；p2是真命題，如x=y=0時(shí)成立；p3是真222命題，x0,,sinx01cos2xsin2xsinxsinx=sinx；p4是假命題，，2如x= ,y=2 時(shí)，sinx=cosy,但x+y2 2

。選A.2xy4（6）設(shè)x,y滿足xy1,則zxyx2y2（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，無(wú)最大值（C）有最大值3，無(wú)最小值（D）既無(wú)最小值，也無(wú)最大值解析：畫(huà)出可行域可知，當(dāng)zxy過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，zmin2，但無(wú)最大值。選B.（7）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列。若a1=1，則s4=（A）7（B）8（3）15（4）16解析：4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，4a1a32240,q2，S415,選C.4a2,即4a1a1q4a1q,q4q（8）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF2，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的2是A）ACBEB）EF//平面ABCD精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案C）三棱錐ABEF的體積為定值D）異面直線AE,BF所成的角為定值解析：A正確，易證AC平面D1DBB1，從而ACBE;B顯然正確，EF//BD,EF//平面ABCD易證；C正確，可用等積法求得；D錯(cuò)誤。選D.（9）已知O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPCPCPA，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心內(nèi)心（C）外心重心垂心（D）外心重心內(nèi)心（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）解析：由OAOBOC知,O為ABC的外心；由NANBNC0知，O為ABC的重心;PAPBPBPC，PAPCPB0，CAPB0,CAPB,同理，APBC,P為ABC的垂心，選C.（10）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入x2,h0.5，那么輸出的各個(gè)數(shù)的合等于（A）3（B）3.5（C）4（D）4.5解析：選B.（11）一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：cm2）為（A）48+122（B）48+242（C）36+122（D）36+242解析：選A.12）用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)f（x）=min{2x,x+2,10-x}(x 0),則f（x）的最大值為（A）4 （B）5 （C）6 （D）7解析：選 C第II 卷二、填空題；本大題共 4小題，每小題 5分。（13）設(shè)已知拋物線 C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F(1，0)，直線l與拋物線 C相交于 A，B兩點(diǎn)。若 AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線 的方程為_(kāi)____________.解 析 ： 拋 物 線 的 方 程 為 y2 4x ，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案Ax1,y1,Bx2,y2,則有x1y124x1x2，4x2y22兩式相減得，y12y224x1x2，y1y241x1x2y1y2直線l的方程為y-2=x-2,即y=x答案：y=x（14）已知函數(shù)y=sin（x+）（>0,-<）的圖像如圖所示，則=________________T5,4,把解析：由圖可知，2581=sin,5答案：910（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數(shù)字作答）。解析：C73C43140，答案：14016）等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn。已知am1+am1-a2m=0，S2m1=38,則m=_______解析：由am1+am1-a2m=0得到2amam20,am0,2又S2m12m1a1am22m11am38m10。2答案10三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出說(shuō)明文字，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M，N間的距離的步驟。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角1,1；B點(diǎn)到M，N的俯角2,2；A，B的距離d（如圖）所示）.???.3分②第一步：計(jì)算 AM.由正弦定理第二步：計(jì)算 AN. 由正弦定理第三步：計(jì)算 MN.由余弦定理

dsin2；AM2)sin(1dsin2；AN1)sin(2MNAM2AN22AMANcos(11).方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角1，1；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角2，2；A，B的距離d（如圖所示）.②第一步：計(jì)算BM.由正弦定理BMdsin1；2)sin(1dsin1；第二步：計(jì)算BN.由正弦定理BNsin(21)第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MNBM2BN22BMBNcos(22)（18）（本小題滿分12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案中共抽查 100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)） 。（I）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為 A類工人，乙為 B類工人；（II）從A類工人中的抽查結(jié)果和從 B類工人中的抽插結(jié)果分別如下表 1和表2.表1：生產(chǎn)能力分 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150組人數(shù) 4 8 x 5 3表2：生產(chǎn)能力分組 110,120 120,130 130,140 140,150人數(shù) 6 y 36 18（i）先確定 x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言， A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？（不用計(jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論）ii）分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(18)解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均為1，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”10相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為p1111010.100（Ⅱ）（i）由題意知A類工人中應(yīng)抽查25名，B類工人中應(yīng)抽查75名.故48x525，得x5，6y361875，得y15.頻率分布直方圖如下精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的關(guān)異程度更小.（ii）xA41058115512551353145123，2525252525xB6115153613518145133.8，75751257575x2512375133.8131.1100100類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的會(huì)計(jì)值分別為 123，133.8和131.1.（19）（本小題滿分 12分）如圖，四棱錐 S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的 2倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角 P-AC-D的大?。á螅┰冢á颍┑臈l件下，側(cè)棱 SC上是否存在一點(diǎn) E，使得BE∥平面PAC。若存在，求 SE：EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由。（19）解法一：（Ⅰ）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO AC。在正方形ABCD中，AC BD，所以AC 平面SBD,得AC SD.( Ⅱ)設(shè)正方形邊長(zhǎng) a，則SD 2a。又OD 2a，所以SOD600,2連OP，由（Ⅰ）知 AC 平面SBD,所以AC OP,且AC OD,所以 POD是二面角P AC D的平面角。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由SD平面PAC,知SDOP,所以POD300,即二面角PACD的大小為300。（Ⅲ）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE//平面PAC由（Ⅱ）可得PD2a，故可在SP上取一點(diǎn)N,使PNPD,過(guò)N作PC的平行線4與SC的交點(diǎn)即為E。連BN。在BDN中知BN//PO，又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC,由于,故.SN：NP21：SE：EC21：解法二：（Ⅰ）；連BD,設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OS分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系Oxyz如圖。設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO6a。2于是S(0,0,6a),D(2a,0,0)22C(0,2a,0)2OC(0,2a,0)2SD(2a,0,6a)22OCSD 0故OCSD從而ACSD(Ⅱ)由題設(shè)知，平面PAC的一個(gè)法向量DS(2a,0,6a)，平面DAC的一22個(gè)法向量OS)0,0,6a)，設(shè)所求二面角為，則cosOSDS3,所求二面角的大2OSDS2小為300精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（Ⅲ）在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE//平面PAC.由（Ⅱ）知DS是平面PAC的一個(gè)法向量，且DS（2a,0,6a),CS(0,2a,6a)2222設(shè)CEtCS,則BEBCCEBCtCS(2a,2a(1t),6at)222而B(niǎo)EDC01t3即當(dāng)SE:EC2:1時(shí)，BEDS而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi)，故BE//平面PAC20）（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（Ⅰ）求橢圓 C的方程；（Ⅱ）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，OP=λ，求點(diǎn)M的OM軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。20）解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為 a，c，由已知得ac14,c3，,解得aac7所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21167OP2（Ⅱ）設(shè)M(x,y)，其中x4,4。由已知22及點(diǎn)P在橢圓C上可得OM9x21122。16(x2y2)整理得(1629)x2162y2112，其中x4,4。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（i）3時(shí)。化簡(jiǎn)得9y21124所以點(diǎn)M的軌跡方程為y47(4x4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段。3（ii）3x2y21，其中x4,4時(shí)，方程變形為11211241629162當(dāng)03時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足4x4的4部分。當(dāng)分；

31時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在 x軸上的橢圓滿足 4 x 4的部4當(dāng) 1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在 x軸上的橢圓；（21）（本小題滿分 12分）已知函數(shù) f(x) (x3 3x2 ax b)ex（I） 如a b 3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（II） 若f(x)在( , ),(2, )單調(diào)增加，在 ( ,2),( , )單調(diào)減少，證明6.21）解：（Ⅰ）當(dāng)ab3時(shí)，f(x)(x33x23x3)ex，故f'(x)(x33x23x3)ex(3x26x3)exex(x39x)(3)(x3)xxxe當(dāng)x3或0x3時(shí)，f'(x)0;當(dāng)3x0或x3時(shí)，f'(x)0.從而f(x)在(,3),(0,3)單調(diào)增加，在（3，0），（3，）單調(diào)減少.(Ⅱ)f'(x)(x33x2axb)ex(3x26xa)exex[x3(a6)xba].精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由條件得：f'(2)0,即232(a6)ba0,故b4a,從而f'(x)ex[x3(a6)x42a].因?yàn)閒'()f'()0,所以x3(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)(x2()x).將右邊展開(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，2,a2.故()24124a.又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6.于是6.請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。（22）本小題滿分 10分）選修 4-1：幾何證明選講如圖，已知 ABC的兩條角平分線 AD和CE相交于H， B 600，F(xiàn)在AC上，且AEAF。I）證明：B,D,H,E四點(diǎn)共圓：II）證明：CE平分DEF。22）解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因?yàn)锳D，CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓.（Ⅱ）連結(jié) BH,則BH為∠ABC的平分線，得∠ HBD=30°由（Ⅰ）知 B,D,H,E四點(diǎn)共圓，所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60