高中數(shù)學(xué)北師大版第三章不等式 全市獲獎(jiǎng)

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若a，b∈R且a＋b＝0，則2a＋2b的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵2a＞0,2b＞0，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2，當(dāng)2a＝2b，即a＝b＝0時(shí)取等號(hào)．答案：A2．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值為()\f(1,2) \f(2,5)\f(\r(2),2) D．1解析：令t＝eq\r(x)(t≥0)，則x＝t2，∴f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)＝eq\f(t,t2＋1).當(dāng)t＝0時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)t>0時(shí)，f(x)＝eq\f(1,\f(t2＋1,t))＝eq\f(1,t＋\f(1,t)).∵t＋eq\f(1,t)≥2，∴0<eq\f(1,t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2)，∴f(x)的最大值為eq\f(1,2).答案：A3．已知點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)、B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，那么2x＋4y的最小值為()A．3 B．4eq\r(2)\r(2) D．2解析：直線AB的方程為：x＋2y＝3.點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)適合上述方程，則2x＋4y≥2eq\r(2x·4y)＝2eq\r(2x＋2y)＝4eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝4y，即x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(3,4)時(shí)等號(hào)成立．答案：B4．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．4解析：∵a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)≥eq\f(2\r(xy)2,xy)＝4.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________噸．解析：每年購買次數(shù)為eq\f(400,x)次．∴總費(fèi)用＝eq\f(400,x)·4＋4x≥2eq\r(6400)＝160，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立．答案：206．若對(duì)任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________．解析：a≥eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，又x＋eq\f(1,x)≥2，∴eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,5).∴a≥eq\f(1,5).答案：a≥eq\f(1,5)三、解答題(每小題10分，共20分)7．(1)求函數(shù)y＝eq\f(1,x－3)＋x(x＜3)的最大值；(2)求函數(shù)y＝x(a－2x)(x>0，a為大于2x的常數(shù))的最大值．解析：(1)∵x>3，∴y＝eq\f(1,x－3)＋x＝eq\f(1,x－3)＋(x－3)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－x＋\f(1,3－x)))＋3≤－2＋3＝1當(dāng)且僅當(dāng)3－x＝eq\f(1,3－x)，即x＝2時(shí)取等號(hào)．∴ymax＝1.(2)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝eq\f(1,2)·2x·(a－2x)≤eq\f(1,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋a－2x,2)))2＝eq\f(a2,8)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(a,4)時(shí)，取等號(hào)，∴ymax＝eq\f(a2,8).8．已知a>0，b>0，ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的最小值；(2)a＋b的最小值．解析：(1)∵a>0，b>0，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3.∴(eq\r(ab))2－2eq\r(ab)－3≥0，∴eq\r(ab)≥3或eq\r(ab)≤－1(舍去)，∴ab≥9.等號(hào)成立的條件是a＝b且ab＝9，即a＝b＝3，故ab的最小值為9.(2)∵a>0，b>0，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴ab＝a＋b＋3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0.∴a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且a2－2a－3＝0，即a＝b＝3時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)a＝b＝3時(shí)，a＋b取得最小值6.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)北京市有關(guān)部門經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\f(920v,v2＋3v＋1600)(v>0)．(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到千輛/小時(shí))(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解析：(1)由題意y＝eq\f(920v,v2＋3v＋1600)＝eq\f(920,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v＋\f(1600,v)))＋3)≤eq\f(920,2\r(v·\f(1600,v))＋3)＝eq\f(920,83)，當(dāng)且僅當(dāng)v＝eq\f(1600,v)，即v＝40時(shí)取等號(hào)．∴ymax＝eq\f(920,83)≈(千輛/小時(shí))，∴當(dāng)車速v＝40千米/小時(shí)，車流量最大為