自動控制第五章

1例繪制開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的步驟⑴化G(s)為尾1標準型⑵順序列出轉(zhuǎn)折頻率⑶確定基準線0.2慣性環(huán)節(jié)0.5一階復合微分1振蕩環(huán)節(jié)基準點斜率慣性環(huán)節(jié)-20dB/dec復合微分+20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)-40dB/dec復合微分+40dB/dec⑷疊加作圖一階二階w=0.2

慣性環(huán)節(jié)-20w=0.5

一階復合微分+20w=1

振蕩環(huán)節(jié)-40最小轉(zhuǎn)折頻率之左的特性及其延長線例4

已知Bode圖，確定G(s)。解解法Ⅰ解法Ⅱ截止頻率：3最小相位（角）系統(tǒng)——

僅在左半s平面存在開環(huán)零、極點或帶純延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)非最小相角系統(tǒng)由L(w)不能唯一確定G(s)★最小相角系統(tǒng)由L(w)可以唯一確定G(s)最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析45第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié)奈氏穩(wěn)定判據(jù)第四節(jié)玻德穩(wěn)定判據(jù)6第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是設計控制系統(tǒng)的基本任務之一。系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

1)、勞斯判據(jù)——是一種代數(shù)判據(jù)2)、奈奎斯特判據(jù)——用開環(huán)奈氏曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是一種幾何判據(jù).3)、玻德判據(jù)——用開環(huán)玻德圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可判斷穩(wěn)定的程度7第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念一、穩(wěn)定的概念如果系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性。否則，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。8

系統(tǒng)穩(wěn)定性是表示系統(tǒng)在去掉外在作用后自己恢復到原平衡狀態(tài)的能力。因此，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有屬性。這種固有的穩(wěn)定性，只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外作用無關。9二、穩(wěn)定的數(shù)學條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點均具有負的實部，

或所有閉環(huán)極點均嚴格位于左半s平面。必要性：充分性：10根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判斷

要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道特征根實部的符號。解特征方程，求出全部根，可直接判斷。但對高階系統(tǒng)，求根很困難。因為系統(tǒng)特征方程的根與特征方程的系數(shù)有唯一對應的關系，可根據(jù)特征方程的的各項系數(shù)直接判斷其根的穩(wěn)定性。

——代數(shù)判斷，古爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，勞斯穩(wěn)定判據(jù)。11系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件特征方程的各項系數(shù)存在并同號一、勞斯判據(jù)的必要條件

特征方程12例不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能穩(wěn)定勞斯（Routh）判據(jù)勞斯表勞斯表第一列元素均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實部根的個數(shù)

二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列中第一列所有元素的符號一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定e13三、二階至四階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件二階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：各項系數(shù)大于零勞斯表14勞斯表三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：（1）各項系數(shù)大于零

（2）15勞斯表四階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:

(1)各項系數(shù)大于零(3)(2)16四、特殊情況

（1）勞斯陣列中，某一行的第一列為零可用一個很小的正數(shù)ε來代替零元素例：17第一列元素值符號有兩次變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定特征方程在[s]平面的右半平面內(nèi)有兩個根，判斷穩(wěn)定性，判斷右半平面根數(shù)。

(2)勞斯陣列中某一行的元素均為零表明存在著一些大小相等，徑向位置相反的根，即存在著一些大小相等、符號相反的實根和（或）共軛虛根。所以，系統(tǒng)要么不穩(wěn)定，要么臨界穩(wěn)定。a、取元素為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助多項式。b、輔助多項式對s求導，以其系數(shù)代替全為零值的一行。c、由輔助多項式求取各對稱根。18121620006168/3160在S右半平面上沒有特征根19令得兩對大小相等的，符號相反的根另外一對根顯然系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。6168/3160

為保證系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應，常希望系統(tǒng)特征根與S平面上虛軸之間有一定的距離a。設一個新變量，以代入原系統(tǒng)特征方程，得到一個的方程，應用勞斯判據(jù)。21例要求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于垂線s=-1左側(cè)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程以代入上式，整理得22勞斯判據(jù)的應用

例

某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖所示，判定系統(tǒng)能否穩(wěn)定，若能穩(wěn)定，試確定相應開環(huán)增益K的范圍。解依題意有系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定與開環(huán)穩(wěn)定之間沒有直接關系

23例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右，

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)(K,x)的范圍;(2)當x=2時，確定使全部極點均位于s=-1之左的K值范圍。解.(1)24(2)當x=2時，確定使全部極點均位于s=-1之左的K值范圍。當x=2時，進行平移變換：25系統(tǒng)穩(wěn)定性：(1)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類型、形式無關。(2)系統(tǒng)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點，與閉環(huán)零點無關。閉環(huán)零點影響系數(shù)Ci

，會改變動態(tài)性能，但不影響穩(wěn)定性。(3)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其開環(huán)是否穩(wěn)定沒有直接關系。26第三節(jié)奈氏穩(wěn)定判據(jù)

用解出微分方程的根或者用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對復雜的系統(tǒng)都是不方便的。另外，他們雖能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，卻不能看出穩(wěn)定的程度如何，元件參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。

頻率判據(jù)是利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可求出穩(wěn)定裕度。

奈氏判據(jù)建立在幅角原理上，并引入輔助函數(shù)建立開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關系；根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)奈奎斯特圖形包圍（-1，0j），判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性2728一、幅角原理設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為ReImReIm29ReImReIm二、輔助函數(shù)30左圖所示，開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于D(s)的階次一般高于M(s)，所以F(s)的分子分母階次相等，n階。三、奈氏穩(wěn)定判據(jù)三種描述1、輔助函數(shù)方法F(s)的分子分母階次相等，即穩(wěn)定的充要條件：2、開環(huán)奈氏圖是否包含（-1，0w）穩(wěn)定不穩(wěn)定3、開環(huán)奈氏圖與單位圓交點根據(jù)輔助函數(shù)或者開環(huán)奈氏圖判斷閉環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定性以上準則基于開環(huán)穩(wěn)定作為先決條件，研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。對于開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)閉環(huán)也可能穩(wěn)定，需要借助開環(huán)奈氏圖包圍（-1，0j）點的圈數(shù)進行判斷。幅角原理驗證31例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為32不穩(wěn)定不穩(wěn)定§奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

Z=P-2N

P——開環(huán)右極點數(shù)

Z——閉環(huán)右極點數(shù)（Z=0穩(wěn)定）

N——開環(huán)奈氏曲線繞點轉(zhuǎn)過的圈數(shù)注：逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負33例

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)穩(wěn)定條件勞斯判據(jù)驗證：解：34例

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)35“交警站崗”例

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)36閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！注意問題2.N的最小單位為二分之一1.當[s]平面虛軸上有開環(huán)極點時，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無窮小的圓弧；[G]平面對應要補充大圓弧Z:在右半s平面中的閉環(huán)極點個數(shù)P:在右半s平面中的開環(huán)極點個數(shù)N:開環(huán)幅相曲線GH(jw)包圍[G]平面(-1,j0)點的圈數(shù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)37例

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：開環(huán)曲線不包圍（-1，0jw）第四節(jié)玻德穩(wěn)定判據(jù)A:B:Bode圖：A：零分貝線B：相頻-180度A:B:A:增益交界頻率相位交界頻率AB閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：

38穩(wěn)定裕度的定義：截止頻率相角裕度：距離的相位差的物理意義系統(tǒng)在方面的穩(wěn)定儲備量幅值相角一般要求相角交界頻率幅值裕度39解法I：由幅相曲線求(1)令試根得§穩(wěn)定裕度的計算例4，求相角裕度和幅值裕度相角裕度40令得幅值裕度41由L(w):得解法II：由Bode圖求42例，求解.作L(w)求43整理得求wg解出44(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)例

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)以上研究是在開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定情況下研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，若開環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定：4546已知開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：例

開環(huán)系統(tǒng)Bode圖如圖所示，求G(s)。解依題有求K:47⑴⑵⑶⑷48非最小相角系統(tǒng)——

在右半s平面存在開環(huán)零、極點或帶純延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)★非最小相角系統(tǒng)未必不穩(wěn)定非最小相角系統(tǒng)由L(w)不能唯一確定G(s)★最小相角系統(tǒng)由L(w)可以唯一確定G(s)★非最小相角系統(tǒng)相角變化的絕對值一般比最小相角系統(tǒng)的大§最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)課程小結(jié)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！注意問題2.N的最小單位為二分之一1.當[s]平面虛軸上有開環(huán)極點時，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無窮小的圓??；[G]平面對應要補充大圓弧Z:在右半s平面中的閉環(huán)極點個數(shù)P:在右半s平面中的開環(huán)極點個數(shù)N:開環(huán)幅相曲線GH(jw)包圍[G]平面(-1,j0)點的圈數(shù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)50對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)（bode）51開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：

開環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)：

謝謝！52第四章作業(yè)小結(jié)存在問題：1）直尺作圖；按照對數(shù)坐標指作圖2）半對數(shù)坐標錯誤4）4-1（2）nyquist圖是單調(diào)減函數(shù)3）