2023年數(shù)學(xué)人教B版選修知識(shí)點(diǎn)總結(jié)含例題

第二章概率總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)連續(xù)性隨機(jī)變量數(shù)學(xué)盼望方差二項(xiàng)分布正態(tài)分布事件的獨(dú)立性條件概率離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特性隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量超幾何分布連續(xù)性隨機(jī)變量數(shù)學(xué)盼望方差二項(xiàng)分布正態(tài)分布事件的獨(dú)立性條件概率離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特性隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量超幾何分布知識(shí)點(diǎn)1.隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn):①實(shí)驗(yàn)可以在相同的情形下反復(fù)進(jìn)行;②實(shí)驗(yàn)的所有也許結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)③每次實(shí)驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次實(shí)驗(yàn)之前卻不能肯定這次實(shí)驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.2.分類隨機(jī)變量(假如隨機(jī)實(shí)驗(yàn)也許出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量Ｘ來(lái)表達(dá),并且X是隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y等或希臘字母ξ、η等表達(dá)。）離散型隨機(jī)變量在上面的射擊、產(chǎn)品檢查等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X也許取的值，我們可以按一定順序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量也許取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出.3．離散型隨機(jī)變量的分布列一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ也許取的值為x1,x2,,xｉ,，xnX取每一個(gè)值xｉ(i=1,2,）的概率P（ξ＝xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列性質(zhì):①ｐi≥0，i=１，2，…；②p１+p2＋…+pn=１．③一般地,離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。求離散型隨機(jī)變量分布列的解題環(huán)節(jié)例題:籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得１分，不中得０分，已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球一次的得分的分布列.解：用隨機(jī)變量X表達(dá)“每次罰球得的分值”設(shè)離散型隨機(jī)變量,依題可知，X也許的取值為:1，0設(shè)離散型隨機(jī)變量且P(X=1)=０．7，P（Ｘ=0)=0.３交代題中所隱含的信息交代題中所隱含的信息因此所求分布列為：答題即寫出分布列答題即寫出分布列引出二二點(diǎn)分布假如隨機(jī)變量X的分布列為：其中0<p<1，q=1-p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)p的二點(diǎn)分布二點(diǎn)分布的應(yīng)用：如抽取彩票是否中獎(jiǎng)問(wèn)題、新生嬰兒的性別問(wèn)題等.超幾何分布一般地，設(shè)總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有Ｍ件，從所有物品中任取ｎ(n≤N)件，這ｎ件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則它取值為k時(shí)的概率為,其中，且則稱隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,且稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)N、M、ｎ的超幾何分布注意:（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣;（2）超幾何分布中的參數(shù)是N、M、n,其意義分別是總體中的個(gè)體總數(shù)、Ｎ中一類的總數(shù)、樣本容量解題環(huán)節(jié)：例題、在某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲,在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和2０個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個(gè)球．至少摸到３個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率解:設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布,其中舍隨機(jī)變量且交代其服從NMn的超幾何分布舍隨機(jī)變量且交代其服從NMn的超幾何分布X也許的取值為０,1，2,3，4,5.寫出x也許的取值寫出x也許的取值由題目可知,至少摸到3個(gè)紅球的概率為≈0.191運(yùn)用公式解題運(yùn)用公式解題答:中獎(jiǎng)概率為0.１91.答題答題條件概率定義：對(duì)任意事件Ａ和事件Ｂ,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,叫做條件概率.記作P(B｜A),讀作A發(fā)生的條件下B的概率事件的交(積）:由事件Ａ和事件B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件Ｄ，稱為事件A與事件B的交（或積）.記作Ｄ=A∩B或D=AB條件概率計(jì)算公式:P(Ｂ｜A)相稱于把A看作新的基本領(lǐng)件空間,求Ａ∩Ｂ發(fā)生的概率:公式推導(dǎo)過(guò)程公式推導(dǎo)過(guò)程解題環(huán)節(jié)：例題、10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品、３個(gè)次品，從中不放回地抽取兩個(gè)，已知第一個(gè)取到次品,求第二個(gè)又取到次品的概率．解：設(shè)A=｛第一個(gè)取到次品},B={第二個(gè)取到次品｝,設(shè)事件設(shè)事件由題意計(jì)算出P(AB)由題意計(jì)算出P(AB)和P(A)或者P(B|A)和P(A)所以，Ｐ(Ｂ|A)＝P（AB)/P(A）=2/9根據(jù)條件概率共識(shí)計(jì)算根據(jù)條件概率共識(shí)計(jì)算答:第二個(gè)又取到次品的概率為２/9.答題答題互相獨(dú)立事件定義：事件Ａ（或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這樣的兩個(gè)事件叫做互相獨(dú)立事件說(shuō)明說(shuō)明（1）判斷兩事件A、B是否為互相獨(dú)立事件，關(guān)鍵是看A（或B）發(fā)生與否對(duì)B（或A）發(fā)生的概率是否影響，若兩種狀況下概率不變，則為互相獨(dú)立.（2）互斥事件是指不也許同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；互相獨(dú)立事件是指一事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)影響.（3）假如A、B是互相獨(dú)立事件，則A的補(bǔ)集與B的補(bǔ)集、A與B的補(bǔ)集、A的補(bǔ)集與B也都互相獨(dú)立.說(shuō)明（1）使用時(shí)，注意使用的前提條件；說(shuō)明（1）使用時(shí)，注意使用的前提條件；（2）此公式可作為判斷事件是否互相獨(dú)立的理論依據(jù)，即P(A·B)=P(A)·P(B)是A、B互相獨(dú)立的充要條件.2.互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式兩個(gè)互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。則有假如事件A1,A2,…An互相獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即：Ｐ(A1·A2·…·Ａn)＝P（Ａ1）·Ｐ(A２)·…·P(An)則稱A，B互相獨(dú)立3.兩事件是否互為獨(dú)立事件的判斷與證明則稱A，B互相獨(dú)立解題環(huán)節(jié)例題、一袋中有2個(gè)白球,2個(gè)黑球,做一次不放回抽樣實(shí)驗(yàn),從袋中連取2個(gè)球,觀測(cè)球的顏色情況,記“第一個(gè)取出的是白球”為事件A,“第二個(gè)取出的是白球”為事件B,試問(wèn)A與B是不是互相獨(dú)立事件?答:不是,由于件Ａ發(fā)生時(shí)(即第一個(gè)取到白球),事件B的概率P(B）=1/３,而當(dāng)事件A不發(fā)生時(shí)(即第一個(gè)取到的是黑球),事件B發(fā)生的概率P(Ｂ）=2/3,也就是說(shuō),事件A發(fā)生與否影響到事件B發(fā)生的概率,所以A與B不是互相獨(dú)立事件。證明:由題可知，P(B｜A)＝1/3,Ｐ(Ｂ|A的補(bǔ)集）=2/3由于Ｐ(B|A)≠P（Ｂ|Ａ的補(bǔ)集）所以A與B不是互相獨(dú)立事件獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)1．定義：在同等條件下進(jìn)行的，各次之間互相獨(dú)立的一種實(shí)驗(yàn)２．說(shuō)明:①這種實(shí)驗(yàn)中，每一次實(shí)驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即某事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生，并且任何一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率都是同樣的②每次實(shí)驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行;③每次實(shí)驗(yàn)間又是互相獨(dú)立的，互不影響.前提二項(xiàng)分布引入:一般地,假如在1次實(shí)驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是Ｐ,那么在n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生ｋ次的概率是P()Pn(k)是[（1-Ｐ）+Ｐ]n的通項(xiàng)公式，所以也把上式叫做二項(xiàng)分布公式.二項(xiàng)分布定義：設(shè)在ｎ次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中某個(gè)事件A發(fā)生的次數(shù),Ａ發(fā)生次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量.假如在一次實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,事件A不發(fā)生的概率為q=1－p,那么在n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中（其中k＝0,1,,ｎ，ｑ=1-p)于是可得隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：由于恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式中的第ｋ+1項(xiàng)，所以，稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布,記作ξ～Ｂ(n，p），其中ｎ,ｐ為參數(shù),并記：解題環(huán)節(jié)例題、某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5％.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出２件,寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布．解:依題意,隨機(jī)變量ξ～B(2，5%).∴Ｐ(ξ＝0）＝(95%)2=0．90２5，P（ξ=1)＝（5％)（９5%)=0.09５，P（ξ=2)=(５%)2＝0.０025.因此,次品數(shù)ξ的概率分布是

ξ

0

ξ

0

1

2

P

0.9025

0.095

0.0025幾何分布定義:在獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中,某事件A第一次發(fā)生時(shí)所作的實(shí)驗(yàn)次數(shù)ξ也是一個(gè)取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量?！唉?k”表達(dá)在第k次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)事件A第一次發(fā)生。假如把第ｋ次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件Ａ發(fā)生記為Ak,p(Ak)=p,事件A不發(fā)生記為,P()=q(q＝1-p)，那么（k=0,1,2…,q=1-p.)于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下:ξ1ξ123…k…

Pppqpq2…pqk-1…稱ξ服從幾何分布，并記ｇ(k,p）=p·qk-1離散型隨機(jī)變量的盼望和方差一般地,若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為則稱Eξ=ｘ１ｐ1+x2p2+…＋ｘnｐｎ＋…為ξ的數(shù)學(xué)盼望或平均數(shù)、均值,數(shù)學(xué)盼望又簡(jiǎn)稱為盼望．是離散型隨機(jī)變量說(shuō)明：(1)數(shù)學(xué)盼望的一個(gè)特性數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(２）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令ｐ1=p2=…=pn,則有p1=ｐ2=…=pｎ=，Eξ=（x1＋x2+…+xn)，所以ξ的數(shù)學(xué)盼望又稱為平均數(shù)、均值=E(ξ-E=E(ξ-Eξ)2=Eξ2—（Eξ）2Dξ=（x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2+…+（xn-Eξ)２·Pn+…叫隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱方差。說(shuō)明:①、Dξ的算術(shù)平方根√Dξ——隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差,記作σξ；②、標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量的單位相同；③、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與分散的限度。集中分布的盼望與方差一覽盼望方差兩點(diǎn)分布Ｅξ＝pDξ=pq，q=１-ｐ超幾何分布D(X）=np（１-ｐ)＊(N-n)/（Ｎ－1）不規(guī)定二項(xiàng)分布ξ～B（ｎ,p)Ｅξ=npDξ=qEξ=npq,q=1－p幾何分布p(ξ=k)=g(ｋ，p)1/ｐ正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量若數(shù)據(jù)無(wú)限增多且組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線,我們稱此曲線為概率密度曲線．頻率

組距概率密度曲線頻率

組距概率密度曲線總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率產(chǎn)品尺寸（mm）概率密度曲線的形狀特性ab:中間高,兩頭低產(chǎn)品尺寸（mm）ab正態(tài)分布若概率密度曲線就是或近似地是函數(shù)的圖像,其中解析式中的實(shí)數(shù)、是參數(shù)，分別表達(dá)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.則其分布叫正態(tài)分布,記作f（x)的圖象稱為正態(tài)曲線基本性質(zhì)：①曲線在x軸的上方,與x軸不相交．②曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，且在x＝時(shí)位于最