第一章事件與概率

概率論基礎(chǔ)謹(jǐn)以此獻(xiàn)給我所有可愛的，才華橫溢的學(xué)生！關(guān)彥輝G_yanhui@163.com

在第二次世界大戰(zhàn)中，美國(guó)曾經(jīng)宣布：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過10個(gè)師的兵力。這句話有一個(gè)非同尋常的來歷。

1943年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國(guó)限于實(shí)力，無力增派更多的護(hù)航艦。一時(shí)間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了一位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后認(rèn)為：艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，從數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律性。一定數(shù)量的船（為100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個(gè)編次）。編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令艦隊(duì)在指定海域集合，再集體通過危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口。結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)．1名數(shù)學(xué)家＝10個(gè)師回顧引入概率論的歷史概率（Probability），亦稱為賭博法，機(jī)遇論，猜測(cè)藝術(shù)等，它的思想可追溯自公元前220年以前的中國(guó)的一些文獻(xiàn).不過真正的歷史卻只有三百來年而已.如今，但凡要進(jìn)行信息處理，決策制定，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等等，只要涉及數(shù)據(jù)，必用概率統(tǒng)計(jì)的模型和方法.例如，在經(jīng)濟(jì)，管理，工程，技術(shù)，物理，化學(xué)，生物，環(huán)境，天文，地理，衛(wèi)生，教育，語言，國(guó)防等領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用.

這一天，法國(guó)一位貴族、職業(yè)賭徒梅累（DeMere）向法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡（Pascal）提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”問題．問題是這樣的，一次梅累和賭友擲硬幣，各押賭注32個(gè)金幣．雙方約定先勝三局者為勝,取得全部64個(gè)金幣.

賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，梅累已經(jīng)贏了兩局，賭友已經(jīng)贏了一局．這時(shí)候梅累接到通知，要他馬上陪同國(guó)王接見外賓，賭博只好中斷了．請(qǐng)問：兩個(gè)人應(yīng)該怎樣分這64個(gè)金幣才算合理呢?概率論的生日：1654年7月29日帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家?？墒?，梅累提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了．他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點(diǎn)眉目，于是寫信給他的好友費(fèi)馬，兩人討論結(jié)果，取得了一致的意見：梅累的分法是對(duì)的，他應(yīng)得64個(gè)金幣的四分之三，賭友應(yīng)得64金幣的四分之一。這時(shí)有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯在巴黎聽到這件新聞，也參加了他們的討論．結(jié)果他們這樣回答了梅累的問題；“先做一個(gè)樹結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)樹結(jié)構(gòu)圖A勝的概率是3／4時(shí)，就把賭錢的3／4分給A，把剩下的1／4分給B就可以了．”于是，概率的計(jì)算就這樣產(chǎn)生了．

在他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?首先都涉及了數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ).

討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論賭博中的計(jì)算》(1657年)，這就是概率論最早的一部著作．

概率論現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域里有著十分廣泛的應(yīng)用．古典概率時(shí)期工具：排列組合主要工作：PascalFermatHuygensBernoulliJamesDeMoivreAbrahamBernoulliDaniel等等.《論賭博中的計(jì)算》，1657，（DeRatiociniisinLudoAleae)《猜測(cè)的藝術(shù)》,1713,ArsConjectandi,詳盡論述排列組合理論，提出了概率論在民間，道德，經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用.《論賭博法》,1711,《機(jī)遇說》,1722，

Laplace以前關(guān)于概率論的最大貢獻(xiàn).《賭博法新論》,1730,

《關(guān)于猜測(cè)的新問題的分析研究》,1759，將概率論推廣于人壽保險(xiǎn)，健康統(tǒng)計(jì)上.分析概率時(shí)期工具：微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要工作：DeMoivreAbrahamLaplaceTheDoctrineofChances,1733,由二項(xiàng)式公式推出正態(tài)分布曲線《概率分析理論》,1812,ThéorieAnalytiquedesProbabilités

,標(biāo)志進(jìn)入分析概率時(shí)期的偉大著作.等等.Kolmogorov(1903–1987)《概率論的基本概念》,1933,給出了概率論的公理化定義，標(biāo)志概率論進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)范疇.一、隨機(jī)現(xiàn)象§1. 隨機(jī)現(xiàn)象與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性第一章 事件與概率概率論研究的對(duì)象是什么？現(xiàn)象確定現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象概率論研究什么問題？RPWT它的原意是指刮風(fēng)、 下雨、陰天、晴天 這些天氣狀況很難 預(yù)料，后來它被引 申為：世界上很多 事情具有偶然性， 人們不能事先判定這些事情是否會(huì)發(fā)生。

降水概率90%“天有不測(cè)風(fēng)云”人們果真對(duì)這類偶然事件完全無法把握、束手無策嗎？隨著對(duì)事件發(fā)生的可能性的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)許多偶然事件的發(fā)生也具有規(guī)律可循的。概率這個(gè)重要的數(shù)字概念，正是在研究這些規(guī)律中產(chǎn)生的。人們用它描敘事件發(fā)生的可能性的大小。例如，天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率為90%，就意味著明天有很大可能下雨（雪）。降水概率90%試分析:“從一堆牌中任意抽一張抽到紅牌”這一事件的發(fā)生情況?可能發(fā)生,也可能不發(fā)生必然發(fā)生必然不會(huì)發(fā)生

木柴燃燒,產(chǎn)生熱量明天，地球還會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)問題情境在00C下，這些雪融化實(shí)心鐵塊丟入水中,鐵塊浮起煮熟的鴨子，跑了水從高處流向低處太陽從西邊升起

在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是決定性現(xiàn)象.“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.決定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果.研究的數(shù)學(xué)工具：代數(shù)，微積分，微分方程等等.轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針指向黃色區(qū)域

在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.這兩人各買1張彩票，她們中獎(jiǎng)了實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2

“在相同條件下生產(chǎn)同一種零件，觀察它們的尺寸”.結(jié)果:“它們的尺寸總會(huì)有一點(diǎn)差異

”.實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品、次品實(shí)例5

“過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6

“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短.

個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象：原則上不能在相同條件下重復(fù)出現(xiàn)（例6）.隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果.隨機(jī)現(xiàn)象的分類

大量性隨機(jī)現(xiàn)象：在相同條件下可以重復(fù)出現(xiàn)（例1-5）.某些物理學(xué)家，說不定認(rèn)為對(duì)投擲銅板，由給定投擲的速度、角度、地面的彈性、銅板的形狀及重量等條件，可算出銅板落地后，會(huì)那一面朝上，因此這不是隨機(jī)。至于六合彩的開獎(jiǎng)，只要起始條件都能測(cè)出，則會(huì)開出那一號(hào)球，也能算出，因此這也不是隨機(jī)。但你大約也知道所謂蝴蝶效應(yīng)(butterflyeffect)。測(cè)量極可能有誤差，而有時(shí)一些微小的改變，影響卻可能很大。因此我們寧可相信這些都是隨機(jī)現(xiàn)象。某些神學(xué)家，可能認(rèn)為一切其實(shí)都是按照神的旨意在進(jìn)行，只是我們不知而已。說不定真是如此。但若無從了解神的旨意，對(duì)于未來，也只好視為隨機(jī)。隨著科技進(jìn)步，人們逐漸弄明白很多現(xiàn)象的來龍去脈。例如，我們知道女性一旦懷孕，嬰兒性別便已確定。但對(duì)一大腹便便的婦女，好事者由于不知，仍可猜測(cè)其生男生女之機(jī)率。考試前夕，學(xué)生們雖認(rèn)真準(zhǔn)備，但還是絞盡腦汁猜題，各有其認(rèn)為考出機(jī)率很大的題目。老師獲知后，覺得好笑。實(shí)則試題早已印妥，而學(xué)生不知考題，且未體會(huì)老師的暗示及明示，所以仍可以大猜一通。另外，諸如門外有人敲門，你好奇是男是女？老師要你猜拿在背后的水果，是橘子或蘋果？同學(xué)蓋住落地的銅板，要你猜正面或反面朝上？這類明明已確定的事，本身其實(shí)并不隨機(jī)，只是對(duì)你而言，卻有如“子非魚”，當(dāng)然可猜魚快樂的機(jī)率。2°隨機(jī)現(xiàn)象從表面上看，似乎雜亂無章,沒有規(guī)律.但實(shí)踐證明,如果同類的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn),它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性.1°隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.

這種規(guī)律性隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯.這種由大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性拉普拉斯有一個(gè)信念：偶然現(xiàn)象有穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性一般人或許認(rèn)為:生男生女的可能性是相等的,因而推測(cè)出男嬰和女嬰的出生數(shù)的比應(yīng)當(dāng)是1:1,可事實(shí)并非如此.1814年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace1794——1827)在他的新作《概率的哲學(xué)探討》一書中,記載了一下有趣的統(tǒng)計(jì).他根據(jù)倫敦,彼得堡,柏林和全法國(guó)的統(tǒng)計(jì)資料,得出了幾乎完全一致的男嬰和女嬰出生數(shù)的比值是22:21,即在全體出生嬰兒中,男嬰占51.2%,女嬰占48.8%.可奇怪的是,當(dāng)他統(tǒng)計(jì)1745——1784整整四十年間巴黎男嬰出生率時(shí),卻得到了另一個(gè)比是25:24,男嬰占51.02%,與前者相差0.14%.

對(duì)于這千分之一點(diǎn)四的微小差異!拉普拉斯對(duì)此感到困惑不解,他深信自然規(guī)律,他覺得這千分之一點(diǎn)四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入進(jìn)行調(diào)查研究,終于發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)巴黎人“重男輕女”,有拋棄女嬰的陋俗,育嬰堂嬤嬤撿去后又上報(bào)一次，以至于歪曲了出生率的真相,經(jīng)過修正,巴黎的男女嬰的出生比率依然是22:21.必然性使人們?cè)敢馐孪群煤脺?zhǔn)備。隨機(jī)性使人們對(duì)未來，充滿著盼望與戒慎恐懼。光有必然性，亳無變異，對(duì)未來缺乏盼望，人們將少了努力的動(dòng)機(jī)。光有隨機(jī)性，只靠運(yùn)氣，將令人失去積極認(rèn)真的企圖心。機(jī)遇在愛情與工作上扮演著極其重要的角色。我們?cè)谌松衅鋵?shí)不是按明確路線前進(jìn)的汽車司機(jī)，而更像是彈珠游戲里到處碰運(yùn)氣的珠子。以開放的心態(tài)面對(duì)生活中的岔道口，能看到別人錯(cuò)過的機(jī)會(huì)。即使事與愿違，也能很快擺脫失望，走向下一個(gè)幸運(yùn)之地。如是更加快樂，更容易達(dá)成心愿。

“有時(shí)候，人生會(huì)拿磚塊砸你的頭，但不要因此喪失你的信心。我相信，唯一支撐我不斷走下去的是， 我熱愛我所做的事。”三分天注定，五分靠打拼，兩分靠運(yùn)氣。由于變異無可避免的存在，要了解變異，設(shè)法減少變異。雖世事多變，但萬物有常，存在隨機(jī)法則?？此茮]有規(guī)律，其實(shí)被大數(shù)法則規(guī)范。二、頻率的穩(wěn)定性頻率的定義描述一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻繁程度在相同的條件下進(jìn)行了

n次重復(fù)試驗(yàn)，記

nA

是

A發(fā)生的次數(shù)(又稱頻數(shù))；則定義隨機(jī)事件

A發(fā)生的頻率為實(shí)例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗(yàn)序號(hào)1234567231512422252125241827251249256247251262251.00.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。仿真產(chǎn)生數(shù)據(jù)。林覺民，在“與妻訣別書”中，寫不盡對(duì)愛妻的不舍。最后說“紙短情長(zhǎng)，所未盡者尚有幾萬千，汝可以模擬得之?！奔埳险劚囼?yàn)者拋擲次數(shù)n“正面向上”次數(shù)m“正面向上”頻率m/n棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005關(guān)老師100000隨著拋擲次數(shù)的增加,“正面向上”的頻率的變化趨勢(shì)有何規(guī)律?仔細(xì)看一看從上述數(shù)據(jù)可得拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動(dòng)幅(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的n,所得的f不一定相同;度較大,但隨n

的增大,頻率f

呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f

總是在0.5

附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.擲骰子實(shí)驗(yàn):把一個(gè)骰子拋擲多次，觀察其出現(xiàn)的結(jié)果，并記錄各結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)，然后計(jì)算各頻率.高爾頓板

Galton_Boxsimulator概率的頻率定義

自然地，可以采用一個(gè)隨機(jī)事件的頻率的穩(wěn)定值去描述它在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，即用頻率的極限來作為概率的定義.隨機(jī)事件

A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為事件

A發(fā)生的概率，記為

P(A).概率（Probability）的直觀定義概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).統(tǒng)計(jì)概率的特性優(yōu)點(diǎn)：易于理解，生活中比比皆是缺點(diǎn)：大量重復(fù)試驗(yàn)的局限性只能得到近似值頻率的性質(zhì)(1)(非負(fù)性)(2)(規(guī)范性)Fn(A)≥

0

;Fn()=1;(3)(可加性)如果

A，B

是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的隨機(jī)事件，以

A＋B表示

A或

B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件，則

Fn(A+B)=Fn(A)+Fn(B).三、頻率與概率1

概率的統(tǒng)計(jì)定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容。Remark2

與P(A)的區(qū)別而P(A)是一個(gè)確定的數(shù)!隨機(jī)試驗(yàn)有關(guān);是一個(gè)隨機(jī)數(shù),是變數(shù),它與3

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，有4

概率統(tǒng)計(jì)定義的缺陷(1)不便于理論研究.需要作大量的試驗(yàn),才能觀察出的穩(wěn)定值,即無法根據(jù)此定義計(jì)算某事件的概率.(2)在數(shù)學(xué)上不夠嚴(yán)謹(jǐn).毛澤東，《滿江紅·和郭沫若同志

》：一萬年太久，只爭(zhēng)朝夕。對(duì)于機(jī)率：不爭(zhēng)一時(shí)而爭(zhēng)千秋。觀測(cè)次數(shù)夠多后，機(jī)率的威力就顯現(xiàn)。機(jī)率是千秋的事馬克吐溫(1907)：Therearethreekindsoflies:lies,damnedlies,and

statistics.(有三種謊言:謊言,可惡的謊言,及統(tǒng)計(jì))統(tǒng)計(jì)為何被當(dāng)做謊言？關(guān)老師說：有數(shù)據(jù)說明，擲硬幣時(shí)正面向上的概率為80%。關(guān)老師這么老實(shí)，肯定沒有說謊。那么，誰說謊了哩？ExampleinPractice

（統(tǒng)計(jì)數(shù)字會(huì)撒謊，『美』達(dá)萊爾·哈夫）

使用多克斯牌牙膏將使蛀牙減少23%，結(jié)論出自一家信譽(yù)良好的“獨(dú)立”實(shí)驗(yàn)室，并且還經(jīng)過了注冊(cè)會(huì)計(jì)師的證實(shí)。然而，如果你不是特別容易輕信他人或者盲目樂觀，經(jīng)驗(yàn)將告訴你：一種牙膏難以比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎樣制造了上述結(jié)論？這里的主要把戲是不充分的樣本——統(tǒng)計(jì)角度的不充分，但對(duì)于多克斯公司來說已經(jīng)足夠了。只有當(dāng)你讀小字體的文字時(shí)才會(huì)發(fā)現(xiàn)：被測(cè)試的用戶僅由12人組成。單憑這點(diǎn)，你便不得不佩服多克斯公司，而且它留給你一個(gè)可能知道全部情況的機(jī)會(huì)。有的廣告商索性將類似的文字都略去，留給讀者——即便他是一個(gè)老練的統(tǒng)計(jì)專家——一個(gè)猜想：這里面到底玩了什么把戲？

讓規(guī)模不大的一組人連續(xù)記錄六個(gè)月的蛀牙數(shù)，接著使用多克斯牙膏。之后一定會(huì)發(fā)生以下的其中一種結(jié)果：蛀牙明顯增多，蛀牙明顯減少或者蛀牙數(shù)量無顯著變化。如果是第一或者第三種結(jié)果，多克斯公司編檔保存好這些數(shù)字，當(dāng)然最好是藏在別人找不到的地方，然后重新實(shí)驗(yàn)。由于機(jī)遇的作用，遲早有一組被測(cè)試者將證明有很好的效果，并且這個(gè)結(jié)果足以好到作為標(biāo)題甚至引發(fā)一場(chǎng)廣告戰(zhàn)。不過，不管實(shí)驗(yàn)者使用的是多克斯牙膏還是發(fā)酵粉，或者還是繼續(xù)使用原來的品牌，上述結(jié)果都會(huì)發(fā)生。任何由于機(jī)遇產(chǎn)生的差異，在大樣本的使用中都是微不足道的，不足以作為廣告標(biāo)題。

多克斯公司是怎樣輕易地獲得一個(gè)不存在漏洞并經(jīng)得起檢驗(yàn)的結(jié)論？Heraclitus：

"Ever-newerwatersflow onthosewhostepintothe samerivers."

赫拉克利特：

人不能兩次踏進(jìn)同一條河流有的事件無法重復(fù)試驗(yàn)，稱為一次性事件。如：關(guān)老師肯定沒有說謊，明天是否下雨，這個(gè)病人是否能治愈，新產(chǎn)品銷路如何，火星上是否有生命，核彈爆炸的威力，核能電廠的意外，彗星撞地球

…主觀概率主觀概率定義：合理的信念的測(cè)度，是認(rèn)識(shí)主體根據(jù)其所掌握的知識(shí)、信息和證據(jù)，而對(duì)某種情況出現(xiàn)可能性大小所做的數(shù)量判斷。如：降水率，治愈率，洲際導(dǎo)彈命中率，明年國(guó)民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率，…

某君看上一女孩，驚為天人，覺得這是他今生的新娘。評(píng)估后信心滿滿，自認(rèn)追上的機(jī)會(huì)有8成。旁人卻都不看好，問他8成這一數(shù)字，是如何冒出來的？該君舉證歷歷，一個(gè)又一個(gè)的跡象，顯示那女孩對(duì)他很有好感。這個(gè)0.8的概率，就是所謂主觀概率。大約少有女孩，會(huì)讓你做實(shí)驗(yàn)，反復(fù)地追，然后數(shù)一數(shù)其中成功幾次，來定下她會(huì)被你追上的機(jī)率。對(duì)這類無法重復(fù)觀測(cè)的現(xiàn)象，在談概率時(shí)，主觀概率就常派上用場(chǎng)。雖說“主觀”，但仍要合理。例如，考試有及格與不及格。若認(rèn)為會(huì)及格的機(jī)率為0.9，這沒問題，人總要有點(diǎn)自信，但若又同時(shí)擔(dān)心有0.8的機(jī)率會(huì)不及格，那就不行了。各種可能性發(fā)生機(jī)率相加要為1。即使是主觀，可以獨(dú)排眾議，仍須自圓其說。不能說，既然是主觀，便可以任意自定各事件之概率。因此不論是那一種對(duì)概率的解釋，都自然地，或必須要滿足一些共同的規(guī)則。有個(gè)與曾子同名的人殺人，好心者告訴曾母“曾參殺人”。曾母說“吾子不殺人”，繼續(xù)織布。過一會(huì)兒，又有人來說“曾參殺人”。曾母仍繼續(xù)織她的布，這么好的兒子怎可能殺人？但當(dāng)?shù)谌伺軄碚f“曾參殺人”，曾母就害怕了，丟掉織布器具翻墻而逃。所謂“其母懼，投杼踰墻而走”。主觀概率 對(duì)于不可重復(fù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，在符合概率的公理化定義的三個(gè)基本條件下所定義的概率。

主觀概率的確定或是依賴于經(jīng)驗(yàn)所形成的個(gè)人信念，或是依賴于對(duì)歷史信息的提煉，概括和應(yīng)用。主觀概率的確定雖然帶有很大的個(gè)人成分，但并不是完全的臆測(cè)，并且主觀概率在一定的條件下，還可使用貝葉斯公式加以修正。主觀概率至少是頻率方法及古典方法的一種補(bǔ)充．有了主觀概率，至少可以使人們?cè)陬l率觀點(diǎn)不適用時(shí)也能談?wù)摳怕?，且能使用概率統(tǒng)計(jì)方法解決相應(yīng)的實(shí)際問題。

主觀概率的應(yīng)用主要在于決策問題。在數(shù)據(jù)分析方面，貝葉斯概率起著重要的作用。它在20世紀(jì)得到發(fā)揚(yáng)光大，被稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的貝葉斯學(xué)派。與頻率學(xué)派（基于頻率的概率，不允許有主觀概率的作用）間曾發(fā)生令人矚目的爭(zhēng)論(部分是主觀概率合法性之爭(zhēng))。主觀概率適用于對(duì)只出現(xiàn)一次而不能重復(fù)的事件進(jìn)行概率描述，而頻率的解釋則適用于能大量重復(fù)的隨機(jī)事件。批評(píng)：如果概率是人的主觀信念的數(shù)量度量，那么概率論就很象心理學(xué)的一個(gè)分支，而對(duì)概率進(jìn)行純主觀的解釋最終將導(dǎo)致唯心論。辯解：客觀上有很多只出現(xiàn)一次而又需要作出決策的事件，決策人通過主觀概率把自己的以數(shù)據(jù)、分析和經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)的判斷表示為數(shù)量形式，就可以利用概率的整套數(shù)學(xué)理論和工具得到結(jié)論，這些結(jié)論對(duì)決策往住非常有用。ExampleinPractice1999年1月14日的《科學(xué)時(shí)報(bào)》對(duì)“神農(nóng)架是否存在野人”問題的討論做了報(bào)道。這當(dāng)然是一個(gè)一次性事件，因?yàn)槠仗煜虏o第二個(gè)神農(nóng)架。從報(bào)道上看，學(xué)者們的意見基本一致，即可能性很小。但仍有不同：有的學(xué)者認(rèn)為完全不可能，即把“神農(nóng)架存在野人”這個(gè)事件的概率判為0，另一位學(xué)者將其判為0.05，還有的學(xué)者只判斷“很小”但未給出數(shù)值。這就是各學(xué)者對(duì)這事件發(fā)生所判的主觀概率。

《俄狄浦斯王》中，王后伊俄卡斯忒安慰俄狄浦斯：“偶然控制著我們，未來的事又看不清楚，我們?yōu)槭裁磻峙履兀俊薄?. 樣本空間與事件一、樣本空間隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.Question

什么是隨機(jī)試驗(yàn)?隨機(jī)試驗(yàn)現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的世界，開始第一步的探索和研究.1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.每次測(cè)試的結(jié)果事前不可預(yù)言.定義：在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為

E.特點(diǎn)：可重復(fù)性，可觀察性，隨機(jī)性.實(shí)例“拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.分析:(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:字面、花面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)3.記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.

樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)是不確定的，但所有可能結(jié)果是明確的.隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為樣本空間：樣本點(diǎn)的全體，記為

如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中

樣本空間在如下意義上提供了一個(gè)理想試驗(yàn)的模型：

在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).例1 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.1)觀將一枚硬幣連拋N次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).2)拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.4)記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).5)

考察某地區(qū)12月份的平均氣溫.6)從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.

2°

同一試驗(yàn),若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?則對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.如：

對(duì)于同一試驗(yàn):“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H（Heads）、反面T(Tails)出現(xiàn)的情況,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為注

1°

試驗(yàn)不同,對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.3°建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此,一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問題.如：只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間,它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面

或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型,又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無人排隊(duì)的模型等.

所以在具體問題的研究中

,描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.二、事件（Event）事件：隨機(jī)試驗(yàn)中某些結(jié)果所構(gòu)成的集合，這些結(jié)果具有某一可觀察的特征.隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中，可能發(fā)生，亦可能不發(fā)生的事件.必然事件：必然發(fā)生的事件，記為不可能事件：一定不會(huì)發(fā)生的事件，記為基本事件：恰含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.Remark一般可將必然事件，不可能事件視為隨機(jī)事件的極端情形，并統(tǒng)一簡(jiǎn)稱為事件.2.事件A與B等價(jià)（相等）：記作A=B，表示A

ìB并且A

é

B.AB三、事件間的關(guān)系及運(yùn)算

1.事件A包含B（B包含于A）：表示事件B發(fā)生事件A必然發(fā)生，記作A

B

é（或B

Aì）。例如:A（擲出奇數(shù)點(diǎn)）B(

擲出一點(diǎn))

解：1)顯然，B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，所以BA;.

2)又因?yàn)锳發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，所以AB，由此得A=B.Example

口袋中有a個(gè)白球、b個(gè)黑球，從中一個(gè)一個(gè)不返回地取球。A=“取到最后一個(gè)是白球”，B=“取到最后是白球段”。問A

與B

的關(guān)系？BAPropertyA+BAB7.事件A與B的差事件：表示A發(fā)生而B不發(fā)生，記作A-B。A-BABBA8.有限個(gè)或可列個(gè)事件的并與交隨機(jī)事件的運(yùn)算律和的交換律：和的結(jié)合律：交的交換律：交的結(jié)合律：第一分配律：第二分配律：自反律：第一對(duì)偶律：第二對(duì)偶律：符號(hào) 測(cè)度論含義 概率論含義Ω

全集 樣本空間，必然事件空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點(diǎn){ω} 單點(diǎn)集 基本事件A

Ω

一個(gè)集合 一個(gè)事件AB

A的元素在B中 A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生A=B

集合A與B相等 事件A與B相等A∪B

A與B的所有元素 A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∩B

A與B的共同元素 A與B同時(shí)發(fā)生

A的補(bǔ)集 A的對(duì)立事件A

-

B

在A中而不在B中的元素 A發(fā)生而B不發(fā)生A∩B= A與B無公共元素 A與B互不相容Example試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個(gè)出現(xiàn)；④至少有一個(gè)出現(xiàn)；⑤至多有一個(gè)出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個(gè)出現(xiàn).四、有限樣本空間樣本空間

?只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)賦予一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)：

ωk

?pk

，這些

pk稱為樣本點(diǎn)ωk的概率，

只要全部這些

pk

的和為1.Definition1.2.1

對(duì)任何隨機(jī)事件，A發(fā)生的概率就是它包含的樣本點(diǎn)概率之和.關(guān)老師患了重感冒，奄奄一息地來到醫(yī)生面前。聽到醫(yī)生的話，你猜關(guān)老師有什么反應(yīng)?“你的病很重,在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.”當(dāng)關(guān)老師被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí),醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運(yùn)的。因?yàn)槟阏业搅宋?我已經(jīng)看過九個(gè)病人了,他們都死于此病.”

OR洗具醫(yī)生在檢查完的時(shí)候搖搖頭：嚇出一身冷汗，感冒好了～～～治療10個(gè)病人，相當(dāng)于做10次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以第10次治療的結(jié)果也是隨機(jī)的，關(guān)老師掛掉的概率依然是90%.

恭喜關(guān)老師死里逃生！繼續(xù)上課！若隨機(jī)試驗(yàn)E具有下列兩個(gè)特征：1)有限性

樣本空間中，只有有限個(gè)樣本點(diǎn)：2)等可能性

則稱E所描述的概率模型為古典概型.古典概型隨機(jī)試驗(yàn)一、模型與計(jì)算公式§3. 古典概型古典概型中事件概率的計(jì)算公式A為E的任意一個(gè)事件,且包含m個(gè)樣本點(diǎn),則事件A出現(xiàn)的概率為:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成,

例1將骰子先后拋擲2次，計(jì)算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的數(shù)之和是5的概率是多少？二、基本的組合分析公式1.加法原理與乘法原理加法原理

假設(shè)做一件事情可采用

A或

B兩類不同方式，A方式有

n種不同的方法可以完成這件事，B方式有

m種不同的方法可以完成這件事.則完成這件事情一共有

n+m種不同的方法.

如果有若干類方式，就把 所有方式的各種方法全部相加城市甲：2城市乙

：4

：3

則從甲城市到乙城市一共有2+4+3=9條線路

乘法原理（Productrule）

做一件事必須經(jīng)過

A與

B兩個(gè)不同步驟，步驟

A包含了

n種不同的方法，步驟

B包含m種不同的方法.

則完成這件事情一共有

n×m種不同方法.

如果有若干個(gè)步驟，就把 所有步驟的各種方法全部相乘：2城市甲：4：3

城市乙32

從甲城市到丙鄉(xiāng)村的線路一共有9×(3+2)條。 鄉(xiāng)村丙2.排列（Permutation）(1)可以重復(fù)的排列從

n個(gè)不同元素中允許放回任意取

r個(gè)出來排成有順序的一列(即取出的這些元素可以相同).所有不同的排列方式一共有

n×n×…×n=nr

r

例如廣州的電話號(hào)碼是

8位數(shù)字，那么理論上廣州可以容納108

，即一億門電話.足球彩票有313

種可能等等.(2)不可重復(fù)的排列

從

n個(gè)不同的物體中無放回任意取出

r個(gè)(1≤r≤n)

排成有順序的一列，稱為

n取

r的不可重復(fù)排列(又稱為選排列).

不同的排列方法一共有：Example從

26個(gè)英文字母中任取

2個(gè)排列，所有不同方式的數(shù)目為（3）全排列n

個(gè)不同元素的全排列數(shù)為(1)二項(xiàng)式組合

從

n個(gè)不同元素中不允許放回任意取

r個(gè)(r

≤n)構(gòu)成一個(gè)集合，稱為n取

r的組合.構(gòu)成這個(gè)集合的不同的組合方法一共有幾個(gè)基本組合公式：

3.組合（Combination）稱為二項(xiàng)系數(shù)，是下列二項(xiàng)展開式的系數(shù)：n!52!(2)多項(xiàng)式組合

把

n個(gè)不同元素分成

k個(gè)部分，各個(gè)部分包含的元素個(gè)數(shù)分別是：r1，r2，…，rk

；則全部不同的分配方式一共有：

nr1

r2

…rk=

r1!×r2!×…×rk!Example 把52張撲克牌平均分給4個(gè)人，每人13張，則所有不同的分配方案有：()13!×13!×13!×13!稱為多項(xiàng)系數(shù)，是

(x1+x2+…+xk)n展開式中 的系數(shù).

nr1

r2

…rk()若

n個(gè)元素中有

n1個(gè)帶足標(biāo)“1”，n2個(gè)帶足標(biāo)“2”，……，nk個(gè)帶足標(biāo)“k”，且

n1+n2+…+nk=n，從這

n個(gè)元素中取出

r個(gè)，使得帶有足標(biāo)“i”的元素有

ri個(gè)（1≤i≤k），而

r1+r2+…+rk=r，這時(shí)不同取法的總數(shù)為(3)不重復(fù)組合(4)可重復(fù)組合

從

n個(gè)不同元素中允許放回任意取

r個(gè)構(gòu)成一個(gè)集合，稱為

n

取

r的可重復(fù)組合.不同的組合方法一共有：實(shí)際上等價(jià)于不定方程的非負(fù)解：

x1+x2+…+xn

=r每個(gè)

xi

表示第

i號(hào)元素出現(xiàn)的次數(shù).n=4,r=3,考慮4只有序的匣子共裝有3個(gè)不可分辨的球.一個(gè)可重復(fù)組合對(duì)應(yīng)于3個(gè)球在4個(gè)匣中的一種分配情況，例如：裝球模型Remark排列與組合的區(qū)別在于： 排列必須考慮順序，而組合不考慮順序.以上除可重復(fù)組合方式外都具有等可能性.如果取的人加以區(qū)別并考慮順序的話，可重復(fù)組合方式具等可能性.排列與組合都可以用來構(gòu)造樣本空間.古典概率的計(jì)算一般是先計(jì)算樣本空間里的樣本點(diǎn)總數(shù)，再?gòu)闹刑暨x出隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).將排列公式推廣，定義4.關(guān)于二項(xiàng)系數(shù)的一些公式若，則(2)由泰勒公式得：因此Property因?yàn)樘貏e地或(3)利用冪級(jí)數(shù)的乘法，計(jì)算的冪級(jí)數(shù)展開式中冪前面的系數(shù)知：Example 有一個(gè)黑壺，一個(gè)白壺.黑壺中有5個(gè)紅球，6個(gè)綠球；白壺中有3個(gè)紅球，4個(gè)綠球.你可以先選擇一個(gè)壺，然后從這個(gè)壺中隨機(jī)抽取一球.假如你抽到紅球的話，你將會(huì)獲得獎(jiǎng)勵(lì).你愿意選擇哪個(gè)壺進(jìn)行抽球哩？選擇黑壺的話，抽中紅球的概率是5/11=0.455；選擇白壺的話，抽中紅球的概率是3/7=0.429.應(yīng)選擇黑壺.古典概型的問題一般可轉(zhuǎn)化為摸球模型

三、概率直接計(jì)算的例子

再考慮另外的一個(gè)黑壺和一個(gè)白壺.這個(gè)黑壺中有6個(gè)紅球，3個(gè)綠球；白壺中有9個(gè)紅球，5個(gè)綠球.現(xiàn)在打算選擇哪個(gè)壺來抽球哩？選擇黑壺的話，抽中紅球的概率是6/9=0.667；選擇白壺的話，抽中紅球的概率是9/14=0.643.還是應(yīng)該選擇黑壺.最后，我們把第二次試驗(yàn)中黑壺的球倒入第一次試驗(yàn)中的黑壺，把第二次試驗(yàn)中白壺的球倒入第一次試驗(yàn)中的白壺.同樣地你可以先選擇一個(gè)壺來抽取紅球，你愿意選擇哪個(gè)壺？直觀告訴我們，選擇黑壺.我們算一算驗(yàn)證.黑壺中有11個(gè)紅球，9個(gè)綠球，抽到紅球的概率是11/20=0.55.白壺中有12個(gè)紅球，9個(gè)綠球，抽到紅球的概率是12/21=0.571.應(yīng)當(dāng)選擇白壺，與我們的直覺完全相反.辛普森悖論（Simpson’sparadox）.量與質(zhì)是不等價(jià)的，無奈的是量比質(zhì)來得容易量測(cè)，所以人們總是習(xí)慣用量來評(píng)定好壞.念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下。如果我們?cè)谌松木駬裆线x擇了一條比較難走的路，就更有可能不被賞識(shí)。迎合普世價(jià)值，讓我們成為全才，同時(shí)也陷入“懷才不遇”困境。獨(dú)特的人生更精彩！陳子昂，《登幽州臺(tái)歌》：Remark

生日問題，分房問題可以歸結(jié)為這類問題。，于是有所含基本結(jié)果數(shù)（2），于是有（1）所含基本結(jié)果數(shù)，且各結(jié)果機(jī)會(huì)均等。顯然，所有可能基本結(jié)果數(shù)為小球各占一個(gè)紙盒”。表示“個(gè)盒內(nèi)各有一個(gè)小球”；解：設(shè)表示“指定的小球各占一個(gè)紙盒的概率。（2）（1）指定的個(gè)紙盒各有一個(gè)小球的概率；中，試求解下列問題：小球隨意放入紙盒盒子，個(gè)小球（），欲將這個(gè)可容納任意個(gè)小球的紙例4（投球入格）設(shè)現(xiàn)有例(生日問題)設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機(jī)選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？解(1)設(shè)A=“n個(gè)人的生日各不相同”(2)設(shè)B=“n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同”n20233040506480100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9990.9999997

世界杯正在舉行,5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場(chǎng)券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場(chǎng)券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”

到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！?/p>

四、抽簽與順序無關(guān)

例5

袋中有a只黑球和b只白球，k個(gè)人把球隨機(jī)的一只只『解法二』

把小球編號(hào)，將k個(gè)人取球構(gòu)造樣本空間『解法一』

把小球編號(hào)，將(a+b)個(gè)人取球構(gòu)造樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為(a+b)!；第k個(gè)人取到黑球，有a種，其余的順序可以任意排列，因此摸出來，求第k個(gè)人摸出的是黑球的概率.『解法三』

把

a只黑球看作是無區(qū)別的，把

b只白球也看作沒有區(qū)別的.第一、二種解法考慮到了順序，因此用排列來解決；第二種解法不注重順序而用組合.對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象可以用不同的樣本空間來描述，因此同一個(gè)概率也有不同的求法.例6如果某批產(chǎn)品中有a件次品b件合格品，我們采用放回和不放回取樣方式從中抽n件產(chǎn)品，問正好有k件是次品的概率各是多少？

五、二項(xiàng)分布與超幾何分布

把a(bǔ)+b件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回的抽n次，把可能的重復(fù)排列全體作為樣本空間，樣本點(diǎn)總數(shù)為（a＋b）n.（1）有放回抽樣場(chǎng)合n次取出的產(chǎn)品中

a件次品中

b件合格品究竟哪

k次是次品

取

k個(gè)次品取出

n-k件ak

bn-kCnk這即為二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量取值為k的概率.

17世紀(jì),法國(guó)的ChevaliesDeMere注意到在賭博中一對(duì)骰子拋25次,把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利.但他本人找不出原因.后來請(qǐng)當(dāng)時(shí)著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(Pascal)才解決了這一問題.

這問題是如何解決的呢?Question

從a+b件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn).這即為超幾何分布中隨機(jī)變量取值為k的概率.Remark

當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽樣數(shù)不大時(shí)，采用有放回抽樣與采用不放回抽樣，差別不大.（2）不放回抽樣場(chǎng)合池中有多少魚？統(tǒng)計(jì)里，常在做預(yù)測(cè)、做估計(jì)。做以偏概全的事。最大似然法依發(fā)生機(jī)率之最大者來決定估計(jì)值。日常生活常以此法來做決策：教室的玻璃窗破了，小明平常最喜歡亂丟東西，最可能是他。警方辦案，從有前科者開始調(diào)查。例7 從某魚塘捕得1200條魚，做了標(biāo)記之后放回魚塘經(jīng)過一段時(shí)間后，在從中捕得1000條魚，發(fā)現(xiàn)其中有標(biāo)記的魚100條，試以此數(shù)據(jù)估計(jì)魚塘中魚的數(shù)量.

第二次捕出的有記號(hào)的魚數(shù)為k的概率是：用最大似然法估計(jì)湖中的魚數(shù)為了估計(jì)湖中的魚數(shù)n，第一次捕上m條魚，做上記號(hào)后放回.隔一段時(shí)間后,再捕出r條魚,

結(jié)果發(fā)現(xiàn)這r條魚中有k條標(biāo)有記號(hào).根據(jù)這個(gè)信息,如何估計(jì)湖中的魚數(shù)呢?應(yīng)取使Pk(n)達(dá)到最大的n,作為n的最大似然估計(jì).這個(gè)比值大于或小于1，或而定

.由但用對(duì)n求導(dǎo)的方法相當(dāng)困難,我們考慮比值：這就是說，當(dāng)n增大時(shí)，序列Pk(n)先是上升而后下降;當(dāng)n為小于的最大整數(shù)時(shí),達(dá)到最大值.故n的最大似然估計(jì)為我們看人看事喜歡以偏概全，看到少數(shù)特點(diǎn)就開始想當(dāng)然，容易形成偏見，此所謂代表性偏差。例如，有人告訴你某人性格安靜、害羞、保守、謙遜，那么他的職業(yè)是什么——是推銷員，還是腦外科醫(yī)生？大多數(shù)人會(huì)選擇腦外科醫(yī)生，因?yàn)樵谒麄兊挠∠笾?，推銷員是外向、愛交際的。然而，社會(huì)上推銷員遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于腦外科醫(yī)生，一個(gè)人當(dāng)一名推銷員的可能性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于當(dāng)腦外科醫(yī)生的可能性，因此要猜的話，某人更有可能是推銷員。統(tǒng)計(jì)學(xué)一般常用在預(yù)測(cè)事情最可能之結(jié)果，例如選舉時(shí)的民意調(diào)查、收視率調(diào)查等。ExampleinPractice2011年4月25日，民進(jìn)黨以全民調(diào)方式進(jìn)行臺(tái)灣地區(qū)領(lǐng)導(dǎo)人黨內(nèi)初選，在15000選民中，蔡英文以1.35%的微弱優(yōu)勢(shì)擊敗蘇貞昌，獲黨內(nèi)提名角逐臺(tái)灣2012“大選”。若樣本實(shí)在太偏差，便是以管窺天，見不到全貌。關(guān)于美國(guó)選舉的兩個(gè)例子誰會(huì)在1936選舉中獲勝?AlfLondon（蘭登）還是

F.D.R.(羅斯福)?LiteraryDigest(文摘)送出一千萬份問卷(返回二百四十萬份)后,預(yù)測(cè)London將以57%對(duì)43%的比例獲勝，并大力進(jìn)行宣傳。結(jié)果，羅斯福以62%對(duì)38%的巨大優(yōu)勢(shì)獲勝，連任總統(tǒng)．《文學(xué)摘要》雜志社威信掃地，不久只得關(guān)門?？谡{(diào)查史上，樣本容量這么大是少見的，幾乎已經(jīng)沒有犯錯(cuò)的可能，何以結(jié)果卻偏差如此之大？誰會(huì)在1948選舉中獲勝?ThomasDewey（杜威）還是HarryTruman(杜魯門)?Crossley,Gallop(蓋洛普),Roper所有都預(yù)測(cè)Dewey會(huì)贏(每個(gè)機(jī)構(gòu)用了5000個(gè)問卷).最后一次蓋洛普民意測(cè)驗(yàn)顯示，杜魯門仍然落后杜威5個(gè)百分點(diǎn)。共和黨人彈冠相慶認(rèn)為大局已定，杜威已經(jīng)開始準(zhǔn)備總統(tǒng)就職演說。在大選日當(dāng)晚，《芝加哥論壇報(bào)》搶先印刷了印有“杜威擊敗杜魯門”大標(biāo)題的號(hào)外，向全國(guó)發(fā)行。

最后，他們都輸了,杜魯門以49.5%比45.1%勝出.杜魯門高興地對(duì)新聞界舉起報(bào)紙，哈哈大笑，并被拍攝成照片。這張照片至今懸掛在《芝加哥論壇報(bào)》的主編辦公室里，每一任《芝加哥論壇報(bào)》主編都要看著這張恥辱的記錄而工作。1936年，《文學(xué)摘要》雜志社以電話簿上的地址和俱樂部成員名單上的地址發(fā)出調(diào)查信，而當(dāng)時(shí)美國(guó)有私人電話和參加俱樂部的家庭，都是比較富裕的家庭。結(jié)果只能看出有錢人的投票傾向較支持共和黨候選人。1948年使用電話訪問來做民意調(diào)查，同樣是在富人中抽取的樣本，嚴(yán)重偏離了總體（全體美國(guó)公民），導(dǎo)致樣本不具有代表性．預(yù)測(cè)結(jié)果為何出錯(cuò)？調(diào)查若與人有關(guān)，不容易做：人會(huì)改變想法，不見得會(huì)與調(diào)查者合作，不同群體的人想法差異很大。六、古典概率的基本性質(zhì)(1)非負(fù)性:對(duì)任一事件A,有P(A)≥0；(2)規(guī)范性:對(duì)必然事件,有

P()=1；(3)有限可加性:若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則推論:對(duì)立事件的概率例8（德·梅爾問題）

一顆骰子投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子投24次至少得到一個(gè)雙六，這兩個(gè)事件中哪一件有更多的機(jī)會(huì)遇到？因而解：以A表示一顆骰子投4次至少得到一個(gè)六點(diǎn)這一事件，則表示投一顆骰子4次沒有出現(xiàn)六點(diǎn)，故

這個(gè)問題在概率論發(fā)展史上頗有名氣，因?yàn)樗堑旅窢栂虬退箍ㄌ岢龅膯栴}之一.正是這些問題導(dǎo)致了巴斯卡的研究和他與費(fèi)馬的著名通信.他們的研究標(biāo)志著概率論的誕生.

同理，若以B表示兩顆骰子投24次至少得到一個(gè)雙六，則

因而，這兩件事情中，前面一件事情更容易遇到.例9

盒子中有N-1

個(gè)黑球與1個(gè)白球，每次 隨機(jī)取出一個(gè)并換進(jìn)一個(gè)黑球，一直持續(xù)；

計(jì)算第k

次取球時(shí)取到黑球(Ak)的概率. 【解】

Ak的對(duì)立事件表示“第

k次取時(shí)取到的是白球”，它要發(fā)生只可能是前

k-1

次都取到黑球而最后一次是白球，因此§4. 幾何概型定義若試驗(yàn)E具有下列特征：1)無限性：E的樣本空間是某幾何空間中的2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的，則稱E所描述的概率模型為幾何概型，并稱E為幾何概型隨機(jī)試驗(yàn).一個(gè)區(qū)域，其包含無窮多個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)由區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的隨機(jī)位置所確定.即樣本點(diǎn)落在內(nèi)幾何度量相同的子區(qū)域是等可能的，例如，考慮平面區(qū)域其面積記為 在中等可能任意投點(diǎn).“等可能”的確切含義是：點(diǎn)落于中任意子區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比.即：若仍以表示“點(diǎn)落于中”，則存在常數(shù)使再利用有注1幾何空間一維二維三維…幾何度量長(zhǎng)度面積體積…

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，以m(A)表示事件A的幾何度量，為樣本空間.若0<m()<+,則對(duì)于任一事件A，其概率為2

那末

兩人會(huì)面的充要條件為連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.解甲、乙兩人相約在0到T

這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽例4（會(huì)面問題）故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有浦豐問題相交的概率.alMx解

設(shè)M表示針落下后，針的中心，x表示M與最近一平行線的距離，表示針與這平行線的夾角，則樣本空間：l/21777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離a(a>0)的一些平行線，向平面任意投一長(zhǎng)為l(l<a)的針，試求針與平行線針與一平行線相交設(shè)A=“針與一平行線相交”，則0xa/2A蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，當(dāng)投針試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，算出針與平行直線相交的次數(shù)m,則頻率值即可作為P(A)的近似值代入上式，那么上述方法被稱為MonteCarlo方法.由于現(xiàn)今可通過計(jì)算機(jī)模擬大量重復(fù)試驗(yàn)，此法如今應(yīng)用廣泛.歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長(zhǎng)時(shí)間試驗(yàn)者

幾何概型在現(xiàn)代概率概念的發(fā)展中曾經(jīng)起過重大作用。19世紀(jì)時(shí)，不少人相信，只要找到適當(dāng)?shù)牡瓤赡苄悦枋?，就可以給概率問題以唯一的解答，然而有人卻構(gòu)造出這樣的例子，它包含著幾種似乎都同樣有理卻相互矛盾的答案。下面就是一個(gè)著名的例子。貝特朗（Bertrand）奇論

在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一弦，求其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率。?1【解法一】

任何弦交圓周兩點(diǎn)，不失一般性，先固定其中一點(diǎn)于圓周上，以此點(diǎn)為頂點(diǎn)作等邊三角形，顯然只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的弧長(zhǎng)為整個(gè)圓周的，故所求的概率為。?2【解法二】

弦長(zhǎng)只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因此可以假定它垂直于某一直徑，當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于時(shí)，其長(zhǎng)才大于，因此所求的概率為。?3【解法三】

弦被其中點(diǎn)唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)屬于半徑為的同心圓時(shí)，弦長(zhǎng)才大于

，此小圓面積為大圓面積的，故所求的概率為。

同一問題有三種不同的答案，細(xì)究其原因，發(fā)現(xiàn)是在取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定。在第一種解法中，假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，在第二種解法中，假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，而在第三種解法中，又假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。這三種答案針對(duì)三種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的。

因此在使用術(shù)語“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等時(shí)，應(yīng)明確指明其含義，這又因試驗(yàn)而異。幾何概率的性質(zhì)(1)非負(fù)性:對(duì)任一事件A,有P(A)≥0；(2)規(guī)范性:對(duì)必然事件,有

P()=1；(3)可列可加性:若事件A1,A2,…,兩兩互斥,則古典概型和幾何概型的局限性采用等可能性來定義概率有困難循環(huán)定義，自圓其說并沒有對(duì)事件的集合進(jìn)行限制。對(duì)于事件，一個(gè)很明顯的要求就是所有事件組成的集合對(duì)于并、交、余這三種運(yùn)算封閉。概率論缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)§5.概率空間一、走向概率論公理化結(jié)構(gòu)測(cè)度論的發(fā)展，概率抽象化為測(cè)度。19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)各分支的公理化潮流定義概率這一基本概念時(shí)只指明概率應(yīng)具有的基本性質(zhì)，而把具體概率的給定放在一邊，這樣做的好處是能針對(duì)不同的隨機(jī)試驗(yàn)給定適當(dāng)?shù)母怕省?/p>

即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.

柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡(jiǎn)單，

但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.二、事件域

隨機(jī)試驗(yàn)：一個(gè)試驗(yàn)（或觀察），若它的結(jié)果預(yù)先無法確定，則稱之為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)；

樣本空間：所有試驗(yàn)的可能結(jié)果組成的集合，稱為樣本空間，記作；

樣本點(diǎn)：中的元素稱為樣本點(diǎn)，用表示；

事件：事件A定義為的一個(gè)子集，它包含若干樣本點(diǎn)，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的樣本點(diǎn)中有一個(gè)發(fā)生。常用大寫字母A、B、C等表示；

集類：由中的若干子集構(gòu)成的集合稱為集類，用花寫字母?、F等表示；Question

針對(duì)哪些事件給出概率？記F為研究的所有事件的全體。F一般不包括所有的事件，即樣本空間的一切子集，因?yàn)檫@將對(duì)給定概率帶來困難。F必須把感興趣的事件包含進(jìn)來。因?yàn)槭录慕?、余、并等也?yīng)該為事件，也應(yīng)該有相應(yīng)的概率，需要把它們亦包括進(jìn)來。當(dāng)然，和必不可少。Definition（σ域）（包含全集）（對(duì)逆運(yùn)算封閉）（對(duì)可列并運(yùn)算封閉）我們把事件的全體記為

F，它是由Ω的某些子集構(gòu)成的集類，并且還應(yīng)滿足下面的條件：稱滿足上述條件的集類為σ域，也稱σ代數(shù)。Definition1.5.1

若F是由樣本空間

?的一些子集構(gòu)成的一個(gè)σ域,則稱它為事件域（eventfield），F(xiàn)

中的元素稱為事件，?

稱為必然事件，稱為不可能事件。

很顯然，根據(jù)定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并也都在事件域中。例1為一域。例2為一域。例3是由的一切子集構(gòu)成。這時(shí)，是一個(gè)有限的集合。共有元素2n

個(gè)。為一域。例4為一域?？梢则?yàn)證對(duì)于一般的，若由的一切子集構(gòu)成。

Remark

事件域可以選得很簡(jiǎn)單，也可以選得十分復(fù)雜，需要我們根據(jù)不同要求選擇適當(dāng)?shù)氖录?命題

給定的一個(gè)非空集類，必然存在唯一的一個(gè)中的域，滿足：（1）包含，（2）若有其它域包含，則必包含。稱為包含的最小域，或由產(chǎn)生的域。

包含的某些子集，從它的這些最基本子集出發(fā)反復(fù)進(jìn)行“最多可列次并、交、補(bǔ)運(yùn)算(Borel運(yùn)算)”，不斷添加子集從而得到所需要的σ

代數(shù)。或者把包含這些基本子集的全部

σ

代數(shù)做交運(yùn)算。

由一切形為[a,b)的有界左閉右開區(qū)間構(gòu)成的集類所產(chǎn)生的域稱為一維博雷爾域，記為，中的集合稱為一維博雷爾點(diǎn)集。一維博雷爾(Borel)點(diǎn)集

以后，用記數(shù)直線或?qū)崝?shù)全體，用

記

n維歐幾里得（Euclid）空間。博雷爾(Borel)集類若x,y表示任意實(shí)數(shù)，由于

因此，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，單個(gè)實(shí)數(shù)，可列個(gè)實(shí)數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并、交運(yùn)算而得出的集合。這是一個(gè)相當(dāng)大的集合，足夠把實(shí)際問題中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。

同樣，也是一個(gè)相當(dāng)大的集合，足夠把實(shí)際問題中感興趣的點(diǎn)集都包括在內(nèi)。

n維博雷爾點(diǎn)集由一切

n維矩形產(chǎn)生的

n維博雷爾σ域。三、概率（i）非負(fù)性：

概率P

為定義在事件域上的函數(shù)，即它是一個(gè)從

到的映射：，且它滿足（ii）規(guī)范性：（iii）可列可加性