第1講 機(jī)械振動(dòng)

第七章機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波第1講機(jī)械振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1.五個(gè)概念物理量定義意義回復(fù)力F促使振動(dòng)物體返回①

平衡位置

的力。來源:振動(dòng)物體在②振動(dòng)方向

的合力位移x由③平衡位置

指向質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線段描述質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)中某時(shí)刻的位置相對(duì)于④平衡位置

的位移,矢量振幅A振動(dòng)物體離開平衡位置的⑤

最大距離

描述振動(dòng)的⑥

強(qiáng)弱

和能量,標(biāo)量知識(shí)梳理周期T振動(dòng)物體完成一次⑦

全振動(dòng)

所需時(shí)間描述振動(dòng)的⑨

快慢

,兩者關(guān)系:⑩

頻率f振動(dòng)物體在⑧單位時(shí)間

內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)

2.三個(gè)特征及表達(dá)式(1)受力特征:F回=

-kx

(2)運(yùn)動(dòng)特征:a=-

x。x、v、a均按

正弦或余弦

規(guī)律發(fā)生周期性變化(注意v、a的變化趨勢(shì)相反)。(3)能量特征:系統(tǒng)機(jī)械能守恒,振幅A不變。3.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式與圖像(1)表達(dá)式x=

Asin(ωt+φ0)

,其中ωt+φ0為相位。(2)圖像a.從平衡位置開始計(jì)時(shí),函數(shù)表達(dá)式為x=Asinωt,圖像如圖甲所示。b.從最大位移處開始計(jì)時(shí),函數(shù)表達(dá)式為x=Acosωt,圖像如圖乙所示。模型彈簧振子單擺示意圖

特點(diǎn)(1)忽略彈簧的

質(zhì)量

和摩擦力(2)彈簧對(duì)小球的彈力提

供

回復(fù)力

(1)忽略細(xì)線的質(zhì)量且細(xì)線不可伸縮

(2)小球的直徑和擺角要

足夠小

公式回復(fù)力

F=-kx

回復(fù)力

周期

4.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩種模型振動(dòng)類項(xiàng)目

自由振動(dòng)受迫振動(dòng)共振受力情況系統(tǒng)內(nèi)部的相互作

用力周期性驅(qū)動(dòng)力作用周期性驅(qū)動(dòng)力作用振動(dòng)周期或頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,即固有周期或固有頻率由驅(qū)動(dòng)力的周期或頻率決定,即T=T驅(qū)或f=f驅(qū)T驅(qū)=T固或f驅(qū)=f固振動(dòng)能量振動(dòng)物體的機(jī)械能

不變由產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力的物體提供振動(dòng)物體獲得的能量最大常見例子彈簧振子或單擺(θ<10°)機(jī)械工作時(shí)底座發(fā)生的振動(dòng)共振篩、轉(zhuǎn)速計(jì)等二、受迫振動(dòng)1.自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振2.共振曲線

由圖可知當(dāng)f驅(qū)=f0時(shí)振幅①最大

。1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置是指

(

)A.速度為零的位置B.回復(fù)力為零的位置C.加速度為零的位置D.位移最大的位置

答案

B簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體,平衡位置是回復(fù)力為零的位置,而合外力是否為零,不同的系統(tǒng)是不同的,因此加速度不一定為零,比如單擺在平衡位置時(shí)存在向心加速度。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過平衡位置時(shí)速度最大,位移為零。2.懸掛在豎直方向上的彈簧振子,周期為2s,從最低點(diǎn)的位置向上運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí),它的振動(dòng)圖像如圖所示,由圖可知

(

)A.t=1.25s時(shí)振子的加速度為正,速度為正B.t=1.7s時(shí)振子的加速度為負(fù),速度為負(fù)C.t=1.0s時(shí)振子的速度為零,加速度為負(fù)的最大值D.t=1.5s時(shí)振子的速度為零,加速度為負(fù)的最大值

答案

C彈簧振子振動(dòng)時(shí),加速度的方向總是指向平衡位置,且在最大位移處,加速度值最大,在平衡位置處加速度的值為0,由圖可知,A、B、D均錯(cuò)誤,只有C正確。3.(2013北京朝陽期末)彈簧振子在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),在振子向著平衡位置運(yùn)動(dòng)的過程中

(

)A.振子所受的回復(fù)力逐漸增大B.振子離開平衡位置的位移逐漸增大C.振子的速度逐漸增大D.振子的加速度逐漸增大

答案

C由F=-kx知,振子向著平衡位置運(yùn)動(dòng)過程中,位移x逐漸減小,則回復(fù)力減小,A、B、D錯(cuò)。由能量守恒得彈性勢(shì)能減小,則動(dòng)能增大,速度增大,C對(duì)。4.如圖甲所示,一彈簧振子在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),O為平衡位置,如圖乙是振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移-時(shí)間圖像,則關(guān)于振子的加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律,下列四個(gè)圖像(選項(xiàng))中正確的是

(

)

答案

C根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)知a=

,因x隨t按正弦函數(shù)變化,所以C選項(xiàng)正確。A.2π

B.2π

C.

+

D.π

答案

D

T=

+

=π

+π

,故選D。5.如圖所示,一單擺懸于O點(diǎn),擺長(zhǎng)為L(zhǎng),若在O點(diǎn)的豎直線上的O‘點(diǎn)釘一個(gè)釘子,使OO’=L/2,將單擺拉至A處釋放,小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動(dòng),若振動(dòng)中擺線與豎直方向夾角小于10°,則此擺的周期是

(

)重難一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的“五個(gè)”特征

1.受力特征:回復(fù)力滿足F=-kx,即回復(fù)力大小與位移的大小成正比,方向與位移的方向相反。2.運(yùn)動(dòng)特征:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng),位移x、速度v、加速度a都隨時(shí)間按正弦規(guī)律周期性變化。當(dāng)振子靠近平衡位置時(shí),a、F、x都減小,v增大;當(dāng)振子遠(yuǎn)離平衡位置時(shí),a、F、x都增大,v減小。3.能量特征:振幅越大,能量越大。在運(yùn)動(dòng)過程中,動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,機(jī)械能守恒。重難突破4.周期性特征相隔T或nT的兩個(gè)時(shí)刻振子處于同一位置且振動(dòng)狀態(tài)相同。5.對(duì)稱性特征(1)如圖所示,振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對(duì)稱(OP=OP‘)的兩點(diǎn)P、P’時(shí),速度的大小、動(dòng)能、勢(shì)能相等,相對(duì)于平衡位置的位移大小相等。(2)振子由P到O所用時(shí)間等于由O到P'所用時(shí)間,即tPO=tOP'。(3)振子往復(fù)運(yùn)動(dòng)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時(shí)間相等即tOP=tPO。

典例1一簡(jiǎn)諧振子沿x軸振動(dòng),平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)。t=0時(shí)刻振子的位移

x=-0.1m;t=

s時(shí)刻x=0.1m;t=4s時(shí)刻x=0.1m。該振子的振幅和周期可能為

(

)A.0.1m,

sB.0.1m,8sC.0.2m,

sD.0.2m,8s

解析若振幅A=0.1m,T=

s,則

s為半周期,從-0.1m處運(yùn)動(dòng)到0.1m,符合運(yùn)動(dòng)實(shí)際,4s-

s=

s為一個(gè)周期,正好返回0.1m處,所以A項(xiàng)正確。若A=0.1m,T=8s,

s只是T的

,不可能由負(fù)的最大位移處運(yùn)動(dòng)到正的最大位移處,所以B錯(cuò)。若A=0.2m,T=

s,

s=

,振子可以由-0.1m運(yùn)動(dòng)到對(duì)稱位置,4s-

s=

s=T,振子可以由0.1m返回0.1m,所以C對(duì)。若A=0.2m,T=8s,

s=2×

,而sin

=

,即

時(shí)間內(nèi),振子可以從平衡位置運(yùn)動(dòng)到0.1m處;再經(jīng)

s又恰好能由0.1m處運(yùn)動(dòng)到0.2m處后,再返回0.1m處,故D項(xiàng)正確。

答案

ACD1-1

(2013北京西城一模)一彈簧振子的位移y隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為y=0.1sin2.5πt,位移y的單位為m,時(shí)間t的單位為s。則

(

)A.彈簧振子的振幅為0.2mB.彈簧振子的周期為1.25sC.在t=0.2s時(shí),振子的運(yùn)動(dòng)速度為零D.在任意0.2s時(shí)間內(nèi),振子的位移均為0.1m

答案

C

解析由y=Asinωt和y=0.1sin2.5πt,可知A=0.1m,ω=2.5π;又有T=

,得T=0.8s,則A、B均錯(cuò)誤。當(dāng)t=0.2s時(shí),彈簧振子位于最大位移處,此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)速度為零,C正確。0.2s是四分之一周期,而四分之一周期內(nèi)振子的位移是不確定的,故D錯(cuò)誤。重難二簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像

1.圖像的物理意義圖像描述的是振動(dòng)物體對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間的變化情況,不是物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。2.從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像上獲得的信息(1)確定振動(dòng)物體在任一時(shí)刻的位移(2)確定振動(dòng)的振幅(3)確定振動(dòng)的周期和頻率(4)確定各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向(5)比較各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向典例2

(2012北京理綜,17,6分)一個(gè)彈簧振子沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),取平衡位置O為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)。從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí),經(jīng)過四分之一周期,振子具有沿x軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移x與時(shí)間t關(guān)系的圖像是(

)

解析如圖所示,O為平衡位置,由題意知t=

時(shí),振子具有正向最大加速度,故此時(shí)振子應(yīng)在A處,位移x為負(fù)的最大值。分析各圖像知,只有A項(xiàng)正確。

答案

A

答案

C解析由x-t圖像可知,t1時(shí)刻和t2時(shí)刻,彈簧振子具有相同的動(dòng)能,但動(dòng)量只有大小相等,方向則相反,A錯(cuò)誤;由題圖知t2到1.0s時(shí)間內(nèi)加速度變小,但速度增大,B錯(cuò)誤;由題圖知彈簧振子振動(dòng)周期T=2.0s,則ω=

=π,故振動(dòng)方程為x=Asinωt=0.10sinπt(m),即C正確;由三解函數(shù)知識(shí)可知,t2應(yīng)為t1的5倍,D錯(cuò)誤。2-1

(2013北京海淀零模)圖是一彈簧振子在水平面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的x-t圖像,則下列說法正確的是

(

)A.t1時(shí)刻和t2時(shí)刻具有相同的動(dòng)能和動(dòng)量B.t2到1.0s時(shí)間內(nèi)加速度變小,速度減小C.彈簧振子的振動(dòng)方程是x=0.10sinπt(m)D.t2等于3倍的t12-2彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),從某次經(jīng)過O點(diǎn)開始計(jì)時(shí),振子第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3s,又經(jīng)過0.2s第二次通過M點(diǎn)。則振子第三次通過M點(diǎn),還要經(jīng)過的時(shí)間可能是

(

)A.

s

B.

s

C.1.4s

D.1.6s

答案

AC解析

(1)取質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?且向著M點(diǎn)運(yùn)動(dòng),即M點(diǎn)位移為正,作出圖像如圖所示。第一次經(jīng)M點(diǎn)時(shí)為t1時(shí)刻,第二次經(jīng)M點(diǎn)時(shí)為t2時(shí)刻,第三次經(jīng)M點(diǎn)時(shí)為t3時(shí)刻。由題意知t1=0.3s,t2-t1=0.2s。根據(jù)t1、t2時(shí)刻關(guān)于最大位移的對(duì)稱性得:

=0.3s+

=0.4s,T=1.6s,同理得:t3-t2=(T+t1)-t2=1.4s,C正確。(2)仍取質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?而背離M運(yùn)動(dòng),即M點(diǎn)位移為負(fù),即圖

中的A、B、C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻分別為第一、二、三次經(jīng)過M點(diǎn)的時(shí)刻,因A到

B為0.2s,由對(duì)稱性知,

T=0.3s+

=0.4s,得T=

s,則B到C為T+tA-tB=

s,A正確。重難三單擺的周期公式的應(yīng)用

1.單擺的周期公式T=2π

,該公式提供了一種測(cè)定重力加速度g的方法。2.l為等效擺長(zhǎng),表示從懸點(diǎn)到擺球重心的距離。3.g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?.T=2π

只與l及g有關(guān),而與振子的質(zhì)量及振幅無關(guān)。

典例3如圖所示為同地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像,下列說法中正確的是

(

)A.甲、乙兩單擺的周期相等B.甲擺的振幅比乙擺大C.甲擺的機(jī)械能比乙擺大D.在t=0.5s時(shí)有正向最大加速度的是乙擺

解析由圖像可看出兩單擺的周期相等,都為2.0s,A正確;從題圖上可看出甲擺振幅大,B對(duì);因質(zhì)量關(guān)系不明確,無法比較機(jī)械能,C項(xiàng)錯(cuò)誤。t=0.5s時(shí),乙擺球在負(fù)的最大位移處,故有正向最大加速度,D正確。

答案

ABD3-1如圖所示,AC是一段半徑為2m的光滑圓弧軌道,圓弧與水平面相切于

A點(diǎn),BC=7cm。現(xiàn)將一個(gè)小球先后從曲面的頂端C和圓弧中點(diǎn)D由靜止開

始釋放,到達(dá)底端時(shí)的速度分別為v1和v2,所用的時(shí)間分別為t1和t2,則

(

)A.v1>v2,t1=t2

B.v1>v2,t1>t2C.v1<v2,t1=t2

D.v1=v2,t1=t2

答案

A

解析

小球兩次沿光滑圓弧軌道下滑,其重力的切向分力提供回復(fù)力,又因弧長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于半徑,即最大擺角小于10°,小球兩次運(yùn)動(dòng)均可視為單擺的

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),擺長(zhǎng)等于圓弧槽半徑,所以有T=2π

,則t1=t2=

。球運(yùn)動(dòng)中只有重力做功,機(jī)械能守恒,mgh=

mv2,v=

,因?yàn)閔1>h2,所以v1>v2,A項(xiàng)正確。應(yīng)用圖像分析機(jī)械振動(dòng)的方法簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像能夠反映簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,因此將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像跟具體

的運(yùn)動(dòng)過程聯(lián)系起來是討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一種好方法。思想方法典例一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),周期為T

(

)A.若t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移大小相等、方向相同,則Δt一定等于T的整數(shù)倍B.若t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)速度大小相等、方向相反,則Δt一定等于T的整數(shù)倍C.若Δt=T,則在t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相等D.若Δt=

,則在t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度一定相等

解析此題可應(yīng)用振動(dòng)圖像來分析解答。如圖甲所示,兩虛線與圖線的交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的時(shí)刻的位移都相等,設(shè)t1、t2的