2023年開封大學(xué)高職單招（數(shù)學(xué)）試題庫含答案解析

長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年開封大學(xué)高職單招（數(shù)學(xué)）試題庫含答案解析（圖片大小可自由調(diào)整）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹(jǐn)慎購買！第1卷一.綜合題(共50題)1.正方體的全面積為18cm2，則它的體積是（）A．4cm3B．8cm3C．11272cm3D．33cm3答案：設(shè)正方體邊長是acm，根據(jù)題意得6a2=18，解得a=3，∴正方體的體積是33cm3．故選D．2.設(shè)A、B、C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)，a，b，c表示其對邊，求證：aA+bB+cCa+b+c≥π3．答案：證明：法一、不妨設(shè)A＞B＞C，則有a＞b＞c由排序原理：順序和≥亂序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）∴aA+bB+cCa+b+c≥π3．法二、不妨設(shè)A＞B＞C，則有a＞b＞c，由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3，即aA+bB+cC≥π3（a+b+c），∴aA+bB+cCa+b+c≥π3．3.已知函數(shù)f（x）滿足：x≥4，則f（x）=(12)x；當(dāng)x＜4時(shí)f（x）=f（x+1），則f（2+log23）═______．答案：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）=(12)log224=124故應(yīng)填1244.若一元二次方程x2+（a-1）x+1-a2=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）

A．（-1，1）

B．(-∞，)∪[1，+∞)

C．(-1，]

D．[，1)答案：C5.設(shè)橢圓（m＞0，n＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（

）

A.

B.

C.

D.答案：B6.用行列式討論關(guān)于x，y

的二元一次方程組mx+y=m+1x+my=2m解的情況并求解．答案：D=.m11m.=m2-1=(m+1)(m-1)，Dx=.m+112mm.=m2-m=m(m-1)，Dy=.mm+112m.=2m2-m-1=(2m+1)(m-1)，…（各（1分）共3分）（1）當(dāng)m≠-1，m≠1時(shí)，D≠0，方程組有唯一解，解為(4)x=mm+1(5)y=2m+1m+1(6)…（（2分），其中解1分）（2）當(dāng)m=-1時(shí)，D=0，Dx≠0，方程組無解；…（2分）（3）當(dāng)m=1時(shí)，D=Dx=Dy=0，方程組有無窮多組解，此時(shí)方程組化為x+y=2x+y=2，令x=t（t∈R），原方程組的解為x=ty=2-t（t∈R）．…（（2分），沒寫出解扣1分）7.設(shè)與都是直線Ax+By+C=0（AB≠0）的方向向量，則下列關(guān)于與的敘述正確的是（）

A．=

B．與同向

C．∥

D．與有相同的位置向量答案：C8.設(shè)a=(4，3)，a在b上的投影為522，b在x軸上的投影為2，且|b|≤14，則b為（）A．（2，14）B．(2，-27)C．(-2，27)D．（2，8）答案：∵b在x軸上的投影為2，∴設(shè)b=(2，y)∵a在b上的投影為522，∴8+3y4+y2=522∴7y2-96y-28=0，解可得y=-27或14，∵|b|≤14，即4+y2≤144，∴y=-27，b=（2，-27）故選B9.將兩粒均勻的骰子各拋擲一次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，計(jì)算：

（1）共有多少種不同的結(jié)果？并試著列舉出來．

（2）兩粒骰子點(diǎn)數(shù)之和等于3的倍數(shù)的概率；

（3）兩粒骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5的概率．答案：（1）每一粒均勻的骰子拋擲一次，都有6種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所有可能結(jié)果共有6×6=36種．

…（4分）（2）兩粒骰子點(diǎn)數(shù)之和等于3的倍數(shù)的有以下12種：（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（5，4），（4，5），（6，6），共有12個(gè)結(jié)果，因此，兩粒骰子點(diǎn)數(shù)之和等于3的倍數(shù)的概率是1236=13．

…（8分）（3）兩粒骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5的有以下7種：（2，2），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（1，4），（4，1），因此，兩粒骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5的概率為736．

…（12分）10.已知在△ABC和點(diǎn)M滿足

MA+MB+MC=0，若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC=mAM成立，則m=______．答案：由點(diǎn)M滿足MA+MB+MC=0，知點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則AM=23AD=23×

12×(AB+AC)=13(AB+AC)∴AB+AC=3AM∴m=3故為：311.給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為90°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則xy的范圍是______．答案：由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB，又|OC|=|OA|=|OB|=1，OA?OB=0，∴1=x2+y2≥2xy，得xy≤12，而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，得x，y∈[0，1]，于是，0≤xy≤12，故為[0，12]．12.設(shè)e1，e2為單位向量．且e1、e2的夾角為π3，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的射影為______．答案：∵e1、e2為單位向量，且e1和e2的夾角θ等于π3，∴e1?e2=1×1×cosπ3=12．∵a=e1+3e2，b=2e1，∴a?b=（e1+3e2）?（2e1）=2e12+6e1?e2=2+3=5．∴a在b上的射影為a?b|b|=52，故為52．13.已知z=1+i，則|z|=______．答案：由z=1+i，所以|z|=12+12=2．故為2．14.如圖，平行四邊形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面積等于1cm2，則△CDF的面積等于______cm2．答案：平行四邊形ABCD中，有△AEF～△CDF∴△AEF與△CDF的面積之比等于對應(yīng)邊長之比的平方，∵AE：EB=1：2，∴AE：CD=1：3∵△AEF的面積等于1cm2，∴∵△CDF的面積等于9cm2故為：915.在圖中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短？答案：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開輔平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)，實(shí)際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N．而兩點(diǎn)間以線段的長度最短．所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線．如圖所示．16.在數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）

A．n=1成立

B．n=2成立

C．n=3成立

D．n=4成立答案：C17.200輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速不低于60km/h的汽車數(shù)量為

______輛．答案：時(shí)速不低于60km/h的汽車的頻率為（0.028+0.01）×10=0.38∴時(shí)速不低于60km/h的汽車數(shù)量為200×0.38=76故為：7618.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=______噸．答案：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買400x次，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為400x?4+4x萬元，400x?4+4x≥2(400x×4)×4x=160，當(dāng)且僅當(dāng)1600x=4x即x=20噸時(shí)，等號成立即每次購買20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小．故為：20．19.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-2）按向量a=(-1，3)平移，得點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（5，-5）B．（3，1）C．（5，1）D．（3，-5）答案：設(shè)A′的坐標(biāo)為（x′，y′），則x′=4-1=3y′=-2+3=1，∴A′（3，1）．故選B．20.某企業(yè)甲、乙、丙三個(gè)生產(chǎn)車間的職工人數(shù)分別為120人，150人，180人，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中甲車間有4人，那么此樣本的容量n=______．答案：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于

4120=130，∴樣本容量n=（120+150+180）×130=15，故為：15．21.已知曲線x2a+y2b=1和直線ax+by+1=0（a，b為非零實(shí)數(shù)），在同一坐標(biāo)系中，它們的圖形可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：A選項(xiàng)中，直線的斜率大于0，故系數(shù)a，b的符號相反，此時(shí)曲線應(yīng)是雙曲線，故不對；B選項(xiàng)中直線的斜率小于0，故系數(shù)a，b的符號相同且都為負(fù)，此時(shí)曲線不存在，故不對；C選項(xiàng)中，直線斜率為正，故系數(shù)a，b的符號相反，且a正，b負(fù)，此時(shí)曲線應(yīng)是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，圖形符合結(jié)論，可選；D選項(xiàng)中不正確，由C選項(xiàng)的判斷可知D不正確．故選D22.己知集合A={sinα，cosα}，則α的取值范圍是______．答案：由元素的互異性可得sinα≠cosα，∴α≠kπ+π4，k∈z．故α的取值范圍是{α|α≠kπ+π4，k∈z}，故為{α|α≠kπ+π4，k∈z}．23.要從已編號（1～60）的60枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取6枚來進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導(dǎo)彈的編號可能是（）

A．5、10、15、20、25、30

B．3、13、23、33、43、53

C．1、2、3、4、5、6

D．2、4、8、16、32、48答案：B24.在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長方形，若中間一個(gè)長方形的面積等于其他十個(gè)小長方形面積的和的14，且樣本容量是160，則中間一組的頻數(shù)為（）A．32B．0.2C．40D．0.25答案：設(shè)間一個(gè)長方形的面積S則其他十個(gè)小長方形面積的和為4S，所以頻率分布直方圖的總面積為5S所以中間一組的頻率為S5S=0.2所以中間一組的頻數(shù)為160×0.2=32故選A25.已知|OA|=1，|OB|=3，OA?OB=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)OC=mOA+nOB（m、n∈R），則mn等于______．答案：∵|OA|=1，|OB|=3，OA?OB=0，OA⊥OBOC?OB=OC×3cos60°=32OC=3×12

|OC

|OC?OA=|OC|×1×cos30°=32|OC|=1×32|OC|∴OC在x軸方向上的分量為12|OC|OC在y軸方向上的分量為32|OC|∵OC=mOA+nOB=3ni+mj∴12|OC|=3n，32|OC|=m兩式相比可得：mn=3．故為：326.設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=______．答案：根據(jù)柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）當(dāng)且僅當(dāng)x1=y2=z3時(shí)，上式的等號成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，結(jié)合x+2y+3z=14，可得x+2y+3z恰好取到最大值14∴x1=y2=z3=1414，可得x=1414，y=147，z=31414因此，x+y+z=1414+147+31414=3147故為：314727.點(diǎn)A（-，1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（

）

A．(-，-1)

B．(，-1)

C．(-，1)

D．(，1)答案：D28.將一根長為3m的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1m的概率是（）A．14B．13C．12D．23答案：記“兩段的長都不小于1m”為事件A，則只能在中間1m的繩子上剪斷，剪得兩段的長都不小于1m，所以事件A發(fā)生的概率

P（A）=13．故選B29.若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，則事件A與事件B的關(guān)系是（）

A．互斥事件

B．對立事件

C．不是互斥事件

D．前者都不對答案：D30.“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：若a＞2且b＞2，則必有a+b＞4且ab＞4成立，故充分性易證若a+b＞4且ab＞4，如a=8，b=1，此時(shí)a+b＞4且ab＞4成立，但不能得出a＞2且b＞2，故必要性不成立由上證明知“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分不必要條件，故選A31.在殘差分析中，殘差圖的縱坐標(biāo)為______．答案：有殘差圖的定義知道，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計(jì)值，這樣做出的圖形稱為殘差圖．故為：殘差．32.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則P（X=4）=______．（用數(shù)字表示）答案：由題意P（X=4）=C47×C68C1015=7×6×53×2×1×8×72×115×14×13×12×115×4×3×2×1=140429故為：14042933.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分的莖葉圖，中間的數(shù)字表示得分的十位數(shù)，下列對乙運(yùn)動(dòng)員的判斷錯(cuò)誤的是（）A．乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是28B．乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)為31C．乙運(yùn)動(dòng)員的場均得分高于甲運(yùn)動(dòng)員D．乙運(yùn)動(dòng)員的最低得分為0分答案：根據(jù)題意，可得甲的得分?jǐn)?shù)據(jù)：8，14，16，13，23，26，28，30，30，39可得甲得分的平均數(shù)是22.7乙的得分?jǐn)?shù)據(jù)：12，15，25，24，21，31，36，31，37，44可得乙得分的平均數(shù)是27.6，31出現(xiàn)了兩次，可得乙得分的眾數(shù)是1將乙得分?jǐn)?shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于中間的兩個(gè)數(shù)是25和31，故中位數(shù)是12（25+31）=28由以上的數(shù)據(jù)，可得：乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是28，A項(xiàng)是正確的；乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)為31，B項(xiàng)是正確的；乙運(yùn)動(dòng)員的場均得分高于甲運(yùn)動(dòng)員，C各項(xiàng)是正確的．而D項(xiàng)因?yàn)橐疫\(yùn)動(dòng)員的得分沒有0分，故D項(xiàng)錯(cuò)誤故選：D34.在空間坐標(biāo)中，點(diǎn)B是A（1，2，3）在yOz坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OB|等于（）

A．

B．

C．2

D.答案：B35.已知函數(shù)f（x）=x+3x+1（x≠-1）．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an），數(shù)列{bn}滿足bn=|an-3|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn≤(3-1)n2n-1；

（Ⅱ）證明Sn＜233．答案：證明：（Ⅰ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1+2x+1≥1．因?yàn)閍1=1，所以an≥1（n∈N*）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn≤(3-1)n2n-1．（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=3-1，不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即bk≤(3-1)k2k-1．那么bk+1=|ak+1-3|=(3-1)|ak-3|1+ak3-12bk≤(3-1)k+12k．所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤(3-1)n2n-1．所以Sn=b1+b2+…+bn≤（3-1）+(3-1)22+…+(3-1)n2n-1=（3-1）?1-(3-12)n1-3-12＜（3-1）?11-3-12=233．故對任意n∈N*，Sn＜233．36.直角三角形兩直角邊邊長分別為3和4，將此三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．答案：根據(jù)題意，所求旋轉(zhuǎn)體由兩個(gè)同底的圓錐拼接而成它的底面半徑等于直角三角形斜邊上的高，高分別等于兩條直角邊在斜邊的射影長∵兩直角邊邊長分別為3和4，∴斜邊長為32+42=5，由面積公式可得斜邊上的高為h=3×45=125可得所求旋轉(zhuǎn)體的底面半徑r=125因此，兩個(gè)圓錐的側(cè)面積分別為S上側(cè)面=π×125×4=48π5；S下側(cè)面=π×125×3=36π5∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S=48π5+36π5=84π5由錐體的體積公式，可得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=13π×(125)2×5=48π537.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用速度恒定的傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間之前，質(zhì)檢員每隔3分鐘從傳送帶上是特定位置取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，這種抽樣方法是（）

A．簡單隨機(jī)抽樣

B．系統(tǒng)抽樣

C．分層抽樣

D．其它抽樣方法答案：B38.已知三個(gè)數(shù)a=60.7，b=0.76，c=log0.76，則a，b，c從小到大的順序?yàn)開_____．答案：因?yàn)閍=60.7＞60=1，b=0.76＜0.70=1，且b＞0，c=log0.76＜0，所以c＜b＜a．故為c＜b＜a．39.已知θ是三角形內(nèi)角且sinθ+cosθ=，則表示答案：C40.已知函數(shù)f

（x）=logx，則方程()|x|=|f(x)|的實(shí)根個(gè)數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．2006答案：B41.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，AB=DC，則下列向量相等的是（）

A．AD與CB

B．OA與OC

C．AC與DB

D．DO與OB

答案：D42.在四面體O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則OE可表示為（用a，b、c表示）．

（）A．12a+14b+14cB．12a+13b-12cC．13a+14b+14cD．13a-14b+14c答案：OE=OA+12AD=OA+12×12（AB+AC）=OA+14×（OB-OA+OC-OA）PD.CD+BC.AD+CA.BD=12OA+14OB+14OC=12a+14b+14c．故選A．43.以拋物線y2=2px（p＞0）的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸位置關(guān)系是______．答案：根據(jù)拋物線定義可知|PF|=p2，而圓的半徑為p2，圓心為（p2，0），|PF|正好等于所求圓的半徑，進(jìn)而可推斷圓與y軸位置關(guān)系是相切．44.下圖是由A、B、C、D中的哪個(gè)平面圖旋轉(zhuǎn)而得到的（

）答案：A45.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)P（4，3，7）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．答案：設(shè)所求對稱點(diǎn)為P'（x，y，z）∵關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱的兩個(gè)點(diǎn)，它們的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)相等，而橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴x=-4，y=3，z=7即P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P'（-4，3，7）故為：（-4，3，7）46.方程x2-y2=0表示的圖形是（）

A．兩條相交直線

B．兩條平行直線

C．兩條重合直線

D．一個(gè)點(diǎn)答案：A47.已知兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°，那么F2的大小為（）A．53NB．5NC．10ND．52N答案：由題意可知：對應(yīng)向量如圖由于α=60°，∴F2的大小為|F合|?sin60°=10×32=53．故選A．48.如圖，四面體ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記=（

）

A．

B．

C．

D．

答案：B49.（幾何證明選講選做題）已知PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，直線PO交⊙O于B、C兩點(diǎn)，AC=2，∠PAB=120°，則⊙O的面積為______．答案：∵PA是圓O的切線，∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中，AC=2∴BC=4，即圓O的直徑2R=4∴圓O的面積S=πR2=4π故為：4π．50.如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（α，β∈R），則α+β的最大值等于

（）

A．

B．

C．

D．1

答案：B第2卷一.綜合題(共50題)1.已知復(fù)數(shù)z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)z，有w=.z0?.z，|w|=2|z|．

（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式；

（Ⅱ）將（x、y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x'、y'）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=x+1上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的軌跡方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．答案：（Ⅰ）由題設(shè)，|w|=|.z0?.z|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，于是由1+m2=4，且m＞0，得m=3，…（3分）因此由x′+y′i=.(1-3i)?.(x+yi)=x+3y+(3x-y)i，得關(guān)系式x′=x+3yy′=3x-y…（5分）（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在直線y=x+1上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q（x'，y'）滿足x′=(1+3)x+3y′=(3x-1)x-1，…（7分）消去x，得y′=(2-3)x′-23+2，故點(diǎn)Q的軌跡方程為y=(2-3)x-23+2…（10分）（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，∴所求直線可設(shè)為y=kx+b（k≠0），…（12分）[解法一]∵該直線上的任一點(diǎn)P（x，y），其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)Q(x+3y，3x-y)仍在該直線上，∴3x-y=k(x+3y)+b，即-(3k+1)y=(k-3)x+b，當(dāng)b≠0時(shí)，方程組-(3k+1)=1k-3=k無解，故這樣的直線不存在．

…（16分）當(dāng)b=0時(shí)，由-(3k+1)1=k-3k，得3k2+2k-3=0，解得k=33或k=-3，故這樣的直線存在，其方程為y=33x或y=-3x，…（18分）[解法二]取直線上一點(diǎn)P(-bk，0)，其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q(-bk，-3bk)仍在該直線上，∴-3bk=k(-bk)+b，得b=0，…（14分）故所求直線為y=kx，取直線上一點(diǎn)P（0，k），其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)Q(1+3k，3-k)仍在該直線上．∴3-k=k(1+3k)，…（16分）即3k2+2k-3=0，得k=33或k=-3，故這樣的直線存在，其方程為y=33x或y=-3x，…（18分）2.(x3+1xx)10的展開式中的第四項(xiàng)是______．答案：由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可知(x3+1xx)10的展開式中的第四項(xiàng)是：C310(x3)7(1xx)3=120x16?x．故為：120x16?x．3.已知空間四邊形ABCD中，M、G分別為BC、CD的中點(diǎn)，則等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：A4.如果直線l1，l2的斜率分別為二次方程x2-4x+1=0的兩個(gè)根，那么l1與l2的夾角為（）

A．

B．

C．

D．答案：A5.“a、b、c等比”是“b2=ac”的（）A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案：由“a，G，b成等比”可得ba=cb，故有“b2=ac”成立，故充分性成立．但由“b2=ac”，不能推出“a、b、c成等比數(shù)列”，如a=b=0，c=1時(shí)，盡管有“b2=ac”，但0，0，1不能構(gòu)成等比數(shù)列，故必要性不成立．故“b2=ac成等比”是“b2=ac”的充分不必要條件，故選B．6.設(shè)函數(shù)g(x)=ex

x≤0lnx，x＞0，則g(g(12))=______．答案：g(g(12))

=g(ln12)

=eln12=12故為：12．7.已知O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，在以O(shè)，A，B，C，D這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，

（1）與BC相等的向量有

______；

（2）與OB長度相等的向量有

______；

（3）與DA共線的向量有

______．答案：如圖：（1）與BC相等的向量有AD．（2）與OB長度相等的向量有OA、OC、OD、AO、CO、DO．（3）與DA共線的向量有

CB、BC．8.某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本、用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1～200編號，并按編號順序平均分為40組（1～5號，6～10號，…，196～200號）．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是______．若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取______人．答案：∵將全體職工隨機(jī)按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，∵第5組抽出的號碼為22，∴第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為37．40歲以下的年齡段的職工數(shù)為200×0.5=100，則應(yīng)抽取的人數(shù)為40200×100=20（人）．故為：37；209.H：x-y+z=2為坐標(biāo)空間中一平面，L為平面H上的一直線．已知點(diǎn)P（2，1，1）為L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，則______為L的方向向量．答案：∵x-y+z=2為坐標(biāo)空間中一平面∴平面的一個(gè)法向量是n=(1，-1，1)設(shè)直線L的方向向量為d=(2，b，c)∵L在H上，∴d與平面H的法向量n=(1，-1，1)垂直故d?n=0?2-b+c=0∵P（2，1，1）為直線L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，∴.OP⊥L故OP?d=0?(2，1，1)?(2，b，c)=0?4+b+c=0解得b=-1，c=-3故為：（2，-1，-3）10.{，，}=是空間向量的一個(gè)基底，設(shè)=+，=+，=+，給出下列向量組：①{，，}，②{，}，③{，，}，④{，，}，其中可以作為空間向量基底的向量組有（）組．

A．1

B．2

C．3

D．4答案：C11.給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為90°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則xy的范圍是______．答案：由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB，又|OC|=|OA|=|OB|=1，OA?OB=0，∴1=x2+y2≥2xy，得xy≤12，而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，得x，y∈[0，1]，于是，0≤xy≤12，故為[0，12]．12.已知二項(xiàng)分布ξ～B(4，12)，則該分布列的方差Dξ值為______．答案：∵二項(xiàng)分布ξ～B(4，12)，∴該分布列的方差Dξ=npq=4×12×(1-12)=1故為：113.已知向量，滿足：||=3，||=5，且=λ，則實(shí)數(shù)λ=（）

A．

B．

C．±

D．±答案：C14.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是______．答案：由三視圖可知該幾何體為是一平放的直三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，棱柱的側(cè)棱為3，也為高．V=Sh=34×22

×3=33故為：33．15.已知單位向量a，b的夾角為，那么|a+2b|=（）

A．2

B．

C．2

D．4答案：B16.設(shè)是的相反向量，則下列說法一定錯(cuò)誤的是（）

A．∥

B．與的長度相等

C．是的相反向量

D．與一定不相等答案：D17.在同一坐標(biāo)系中，y=ax與y=a+x表示正確的是（）A．

B．

C．

D．

答案：由y=x+a得斜率為1排除C，由y=ax與y=x+a中a同號知若y=ax遞增，則y=x+a與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，由此排除B；若y=ax遞減，則y=x+a與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，由此排除D，知A是正確的；故選A．18.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，3）、B（-1，-1）、C（-3，5），求這個(gè)三角形外接圓的方程．答案：設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，則(1-a)2+(3-b)2=r2(-1-a)2+(-1-b)2=r2(-3-a)2+(5-b)2=r2，整理得a+2b-2=02a-b+6=0，解之得a=-2，b=2，可得r2=10，因此，這個(gè)三角形外接圓的方程為（x+2）2+（y-2）2=10．19.

如圖，平面內(nèi)向量，的夾角為90°，，的夾角為30°，且||=2，||=1，||=2，若=λ+2

，則λ等（）

A．

B．1

C．

D．2

答案：D20.如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P．若PB=1，PD=3，則BCAD的值為______．答案：因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因?yàn)椤螾為公共角，所以△PBC∽△PAD，所以BCAD=PBPD=13．故為：13．21.已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任一點(diǎn)，若OA+OB+OC=λOG，則實(shí)數(shù)λ=______．答案：由于G是三角形ABC的重心，則有GA+GB+GC=0，OA-OG+OB-OG+OC-OG=0故OA+OB+OC=3OG又由已知OA+OB+OC=λOG故可得λ=3故為：322.設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，|F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）A．橢圓B．直線C．圓D．線段答案：對于在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于6，而6正好等于兩定點(diǎn)F1、F2的距離，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段．故選D．23.設(shè)a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求證：

（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；

（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2…)．答案：證明：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1)，x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12

-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1)，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．結(jié)論成立．②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），則xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)＞xk+1，xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)＞2．∴2＜xk+2＜xk+1，綜上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．∴xn＞2且xn+1xn＜1．（2）由條件x1=a≤3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及xk＞2知xk+1≤1+12k?x2k≤2(xk-1)(2+12k)?x2k-2(2+12k)xk+2(2+12k)≤0?(xk-2)[xk-(2+12k-1)]≤0，再由xk＞2及歸納假設(shè)知，上面最后一個(gè)不等式一定成立，所以不等式xk+1≤2+12k也成立，從而不等式xn≤2+12n-1對所有的正整數(shù)n成立24.方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是（）

A．0＜a≤1

B．a(chǎn)＜1

C．a(chǎn)≤1

D．0＜a≤1或a＜0答案：C25.如圖，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，他們相交于AB的中點(diǎn)P，PD=2a3，∠OAP=30°，則CP=______．答案：因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，BP=AP=acos30°=32a．由相交弦定理知，BP?AP=CP?DP，即32a?32a=CP?23a，所以CP=98a．故填：98a．26.如圖，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，過

B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E點(diǎn)，若AE平分∠BAD，則∠BAD=（）

A．30°

B．45°

C．50°

D．60°

答案：D27.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(43，13)．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設(shè)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2，求點(diǎn)Q的軌跡方程．答案：（I）∵橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(43，13)．∴c=1，2a=PF1+PF2=(43+1)2+19+(43-1)2+19=22，即a=2∴橢圓的離心率e=ca=12=22…4分（II）由（I）知，橢圓C的方程為x22+y2=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，-1）兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2-355）（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)其方程為y=kx+2，因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），則|AM|2=(1+k2)x1

2，|AN|2=(1+k2)x2

2，又|AQ|2=（1+k2）x2，2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2∴2(1+k2)x2=1(1+k2)x1

2+1(1+k2)x2

2，即2x2=1x1

2+1x2

2=(x1+x2)2-2x1x2x1

2x2

2…①將y=kx+2代入x22+y2=1中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2-24（2k2+1）＞0，得k2＞32由②知x1+x2=-8k2k2+1，x1x2=62k2+1，代入①中化簡得x2=1810k2-3…③因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上，所以k=y-2x，代入③中并化簡得10（y-2）2-3x2=18由③及k2＞32可知0＜x2＜32，即x∈（-62，0）∪（0，62）由題意，Q（x，y）在橢圓C內(nèi)，所以-1≤y≤1，又由10（y-2）2-3x2=18得（y-2）2∈[95，94）且-1≤y≤1，則y∈（12，2-355）所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10（y-2）2-3x2=18，其中x∈（-62，62），y∈（12，2-355）…13分28.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011答案：A選項(xiàng)原信息為101，則h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以傳輸信息為11010，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)原信息為110，則h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以傳輸信息為01100，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)原信息為011，則h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以傳輸信息為10110，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)原信息為001，則h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以傳輸信息為00011，D選項(xiàng)正確；故選C．29.若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，滿足條件(c-a)?(2b)=-2，則x=______．答案：c-a=(0，0，1-x)，(c-a)?(2b)

=(2，4，2)?(0，0，1-x)=2(1-x)=-2，解得x=2，故為2．30.在極坐標(biāo)系中圓ρ=2cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2

B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1

D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1答案：B31.（不等式選講選做題）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，則3a+1+3b+1+3c+1的最大值為______．答案：根據(jù)柯西不等式，可得（3a+1+3b+1+3c+1）2=（1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1）2≤（12+12+12）[（3a+1）2+（3b+1）2+（3c+1）2]=3[3（a+b+c）+3]=18當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=3c+1），即a=b=c=13時(shí)，（3a+1+3b+1+3c+1）2的最大值為18因此3a+1+3b+1+3c+1的最大值為32．故為：3232.下列函數(shù)中，定義域?yàn)椋?，+∞）的是（）A．y=1xB．y=xC．y=1x2D．y=12x答案：由于函數(shù)y=1x的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)y=x的定義域?yàn)閇0，+∞），函數(shù)y=1x2的定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)y=12x的定義域?yàn)镽，故只有A中的函數(shù)滿足定義域?yàn)椋?，+∞），故選A．33.選做題：如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4，∠ACB=30°，則圓O的面積等于______．答案：連接OA，OB，∵∠ACB=30°，∴∠AoB=60°，∴△AOB是一個(gè)等邊三角形，∴OA=AB=4，∴⊙O的面積是16π故為16π34.函數(shù)y=5x，x∈N+的值域是（）A．RB．N+C．ND．{5，52，53，54，…}答案：解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=5x，x∈N+的定義域?yàn)檎麛?shù)集N+，所以當(dāng)自變量x取1，2，3，4，…時(shí)，其相應(yīng)的函數(shù)值y依次是5，52，53，54，…．因此，函數(shù)y=5x，x∈N+的值域是{5，52，53，54，…}．故選D．35.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離為（）

A．2

B.

C.

D.答案：D36.用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生（男生35人）中選20人作樣本，男生甲被抽到的可能性為（）A．15B．2035C．35100D．713答案：由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生選一個(gè)，共有100種結(jié)果，滿足條件的事件是抽取20個(gè)，∴根據(jù)等可能事件的概率公式得到P=20100=15，故選A．37.已知|a|=8，e是單位向量，當(dāng)它們之間的夾角為π3時(shí)，a在e方向上的投影為（）A．43B．4C．42D．8+23答案：由兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義可知：a在e方向上的投影即：a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故選B38.已知在△ABC和點(diǎn)M滿足

MA+MB+MC=0，若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC=mAM成立，則m=______．答案：由點(diǎn)M滿足MA+MB+MC=0，知點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則AM=23AD=23×

12×(AB+AC)=13(AB+AC)∴AB+AC=3AM∴m=3故為：339.正方形ABCD中，AB=1，分別以A、C為圓心作兩個(gè)半徑為R、r（R＞r）的圓，當(dāng)R、r滿足條件______時(shí)，⊙A與⊙C有2個(gè)交點(diǎn)（

）

A．R+r＞

B．R-r＜＜R+r

C．R-r＞

D．0＜R-r＜答案：B40.設(shè)直線的參數(shù)方程是x=2+12ty=3+32t，那么它的斜截式方程是______．答案：∵直線的參數(shù)方程為x=2+12ty=3+32t（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程可得y-3=3（x-2），那么它的斜截式方程是y=3x+3-23．故為：y=3x+3-23．41.兩條平行線l1：3x+4y-2=0，l2：9x+12y-10=0間的距離等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C42.設(shè)A（3，4），在x軸上有一點(diǎn)P（x，0），使得|PA|=5，則x等于（）

A．0

B．6

C．0或6

D．0或-6答案：C43.如圖，⊙O中弦AB，CD相交于點(diǎn)P，已知AP=3，BP=2，CP=1，則DP=（）

A．3

B．4

C．5

D．6答案：D44.賦值語句n=n+1的意思是（）

A．n等于n+1

B．n+1等于n

C．將n的值賦給n+1

D．將n的值增加1，再賦給n，即n的值增加1答案：D45.對于任意空間四邊形，試證明它的一組對邊中點(diǎn)的連線與另一組對邊可平行于同一平面．答案：證明：如圖所示，空間四邊形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，利用多邊形加法法則可得①又E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，故有②將②代入①后，兩式相加得即與共面，∴EF與AD、BC可平行于同一平面．46.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的長為23，則a=______．答案：由已知x2+y2+2ay-6=0的半徑為6+a2，由圖可知6+a2-(-a-1)2=(3)2，解之得a=1．故為：1．47.”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：C48.直線kx-y+1=3k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)

A．（0，0）

B．（0，1）

C．（3，1）

D．（2，1）答案：C49.已知圓的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-2ρsinθ+7=0，則圓心到直線距離為

______．答案：由ρ=2cosθ?ρ2=2ρcosθ?x2+y2-2x=0?（x-1）2+y2=1，ρcosθ-2ρsinθ+7=0?x-2y+7=0，∴圓心到直線距離為：d=1-2×0+712+22=855．故為：855．50.（幾何證明選講選做題）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．

（1）求證：FB=FC；

（2）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=33，求AD的長．答案：（1）證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC=∠FBC；

…2′∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC．…5（2）∵AB是圓的直徑，∴∠ACD=90°∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′在Rt△ACB中，∵BC=33，∠BAC=60°，∴AC=3又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6

…10′第3卷一.綜合題(共50題)1.已知二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的增廣矩陣是1-11113，則此方程組的解是______．答案：由題意，方程組

x-

y=1x+y=3解之得x=2y=1故為x=2y=12.將橢圓x2+6y2-2x-12y-13=0按向量a平移，使中心與原點(diǎn)重合，則a的坐標(biāo)是（）A．（-1，1）B．（1，-1）C．（-1，-1）D．（1，1）答案：橢圓方程x2+6y2-2x-12y-13=0變形為：（x-1）2+6（y-1）2=20，則橢圓中心（1，1），即需按a=（-1，-1）平移，中心與原點(diǎn)重合．故選C．3.用反證法證明命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是鈍角”時(shí)，則假設(shè)的內(nèi)容是（）

A．三角形中有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角

B．三角形中有三個(gè)內(nèi)角是鈍角

C．三角形中至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角

D．三角形中沒有一個(gè)內(nèi)角是鈍角答案：C4.有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是[

]A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③答案：C5.已知函數(shù)f（x）滿足：x≥4，則f（x）=(12)x；當(dāng)x＜4時(shí)f（x）=f（x+1），則f（2+log23）═______．答案：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）=(12)log224=124故應(yīng)填1246.已知△ABC是邊長為4的正三角形，D、P是△ABC內(nèi)部兩點(diǎn)，且滿足AD=14(AB+AC)，AP=AD+18BC，則△APD的面積為______．答案：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)△ABC是邊長為4的正三角形∴AE⊥BC，AE=12(AB+AC)而AD=14(AB+AC)，則點(diǎn)D為AE的中點(diǎn)，AD=3取AF=18BC，以AD，AF為邊作平行四邊形，可知AP=AD+18BC=AD+AF而△APD為直角三角形，AF=12∴△APD的面積為12×12×3=34故為：347.在極坐標(biāo)系中圓ρ=2cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2

B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1

D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1答案：B8.2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》．其中規(guī)定：居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．

某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別PM2.5濃度

（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率

第一組（0，25]50.25第二組（25，50]100.5第三組（50，75]30.15第四組（75，100）20.1（Ⅰ）從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機(jī)抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由．答案：（Ⅰ）

設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的三天記為A1，A2，A3，PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的兩天記為B1，B2．所以5天任取2天的情況有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10種．

…（4分）其中符合條件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6種．

…（6分）所以所求的概率P=610=35．

…（8分）（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）因?yàn)?0＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．

…（12分）9.一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是______；它截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀是______．答案：根據(jù)球的幾何特征，一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是圓；當(dāng)平面與圓柱的底面平行時(shí)，截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀為圓；當(dāng)平面與圓柱的底面不平行時(shí)，截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀為橢圓；故為：圓，圓或橢圓10.某科目考試有30道題每小題有三個(gè)選項(xiàng)，每題2分，另有20道題，每題有四個(gè)選項(xiàng)每題3分，每題只有一個(gè)答案，某人隨機(jī)去選答案，則平均能得______分．答案：由題意，30道題每小題有三個(gè)選項(xiàng)，每題2分，每題只有一個(gè)，某人隨機(jī)去選，則可得2×30×13=20分；20道題，每題有四個(gè)選項(xiàng)每題3分，每題只有一個(gè)，某人隨機(jī)去選，則可得3×20×14=15分故平均能得35分故為：35分．11.已知a為常數(shù)，a＞0且a≠1，指數(shù)函數(shù)f（x）=ax和對數(shù)函數(shù)g（x）=logax的圖象分別為C1與C2，點(diǎn)M在曲線C1上，線段OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與曲線C1的另一個(gè)交點(diǎn)為N，若曲線C2上存在一點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．答案：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，am），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，an）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（am，m）∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2倍，∴m=2n而O、M、N三點(diǎn)共線則amm=ann=

am2m2解得：am=4即m=loga4∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，loga4）故為：（4，loga4）12.如圖，AC是⊙O的直徑，∠ACB=60°，連接AB，過A、B兩點(diǎn)分別作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)P．若已知⊙O的半徑為1，則△PAB的周長為______．答案：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∠BAC=30°，CB=1，AB=3，∵AP為切線，∴∠CAP=90°，∠PAB=60°，又∵AP=BP，∴△PAB為正三角形，∴周長=33．故填：33．13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，且AC、BD交于點(diǎn)E，則此圖形中一定相似的三角形有（）對．

A．0

B．3

C．2

D．1

答案：C14.若A=1324，B=-123-3，則3A-B=______．答案：∵A=1324，B=-123-3，則3A-B=31324--123-3=39612--123-3=47315．故為：47315．15.確定方程3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x的解集______．答案：由題意，x2-9≥0x2-16≥0x2-25≥0x＞0，∴x≥5∴x2-9≥4，x2-16≥3，x2-25≥0，∴3x2-9+4x2-16+5x2-25≥24∵3x2-9+4x2-16+5x2-25=120x∴120x≥24∵x≥5，∴120x≤24∴120x=24∴x=5故為：{5}16.3i(1+i)2的虛部等于______．答案：3i(1+i)2=2，所以其虛部等于0，故為017.表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的______．答案：根據(jù)概率的定義：表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率；一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性很大，那么P的值接近1又不等于1，故為：概率．18.已知f（x+1）=x2+2x+3，則f（2）的值為______．答案：由f（x+1）=x2+2x+3，得f（1+1）=12+2×1+3=6，故為：6．19.如圖：一個(gè)力F作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，F(xiàn)的大小為50牛，且與小車的位移方向的夾角為60°，則F在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為______，力F做的功為______牛米．答案：如圖，∵|F|=50，且F與小車的位移方向的夾角為60°，∴F在小車位移方向上的正射影的數(shù)量為：|F|cos60°=50×12=25（牛）．∵力F作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，∴力F做的功w=25×40=1000（牛米）．故為：25牛，1000．20.設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1×3×5×7×9×11×13的算法．圖中給出了程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數(shù)是（）

A．13

B．13.5

C．14

D．14.5答案：A21.三個(gè)數(shù)a=0.52，b=log20.5，c=20.5之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜bB．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜cD．b＜a＜c答案：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故選D．22.甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為.x甲，.x乙，則下列判斷正確的是（）A．.x甲＞.x乙；甲比乙成績穩(wěn)定B．.x甲＞.x乙；乙比甲成績穩(wěn)定C．.x甲＜.x乙；甲比乙成績穩(wěn)定D．.x甲＜.x乙；乙比甲成績穩(wěn)定答案：5場比賽甲的得分為16、17、28、30、34，5場比賽乙的得分為15、26、28、28、33∴.x甲=15（16+17+28+30+34）=25，.x乙=15（15+26+28+28+33）=26s甲2=15（81+64+9+25+81）=52，s乙2=15（121+4+4+49）=35.6∴.x甲＜.x乙，乙比甲成績穩(wěn)定故選D．23.兩條直線l1：x-3y+2=0與l2：x-y+2=0的夾角的大小是______．答案：由于兩條直線l1：x-3y+2=0與l2：x-y+2=0的斜率分別為33、1，設(shè)兩條直線的夾角為θ，則tanθ=|k2-k11+k2?k1|=|1-331+1×33|=3-33+3=2-3，∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=33，∴2θ=π6，θ=π12，故為π12．24.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)P（4，3，7）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．答案：設(shè)所求對稱點(diǎn)為P'（x，y，z）∵關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱的兩個(gè)點(diǎn)，它們的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)相等，而橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴x=-4，y=3，z=7即P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P'（-4，3，7）故為：（-4，3，7）25.在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2a

n2+an(n∈N*)，

（1）計(jì)算a2，a3，a4

（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．答案：（1）：a2=2a

12+a1=23，a3=2a

22+a2=24，a4=2a

32+a3=25，（2）：猜想an=2n+1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，命題成立．②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即ak=2k+1當(dāng)n=k+1時(shí)ak+1=2a

k2+ak=2×2k+12+2k+1(把假設(shè)作為條件代入)=42(k+1)+2=2(k+1)+1由①②知命題對一切n∈N*均成立．26.若雙曲線與橢圓x216+y225=1有相同的焦點(diǎn)，與雙曲線x22-y2=1有相同漸近線，求雙曲線方程．答案：依題意可設(shè)所求的雙曲線的方程為y2-x22=λ(λ＞0)…（3分）即y2λ-x22λ=1…（5分）又∵雙曲線與橢圓x216+y225=1有相同的焦點(diǎn)∴λ+2λ=25-16=9…（9分）解得λ=3…（11分）∴雙曲線的方程為y23-x26=1…（13分）27.如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A1B1C1D1是正方體，其中AB=2，PA=6．

（1）求證：PA⊥B1D1；

（2）求平面PAD與平面BDD1B1所成銳二面角的余弦值．答案：以D1為原點(diǎn)，D1A1所在直線為x軸，D1C1所在直線為y軸，D1D所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），P（1，1，4）．（1）證明：∵AP=（-1，1，2），D1B1=（2，2，0），∴AP?D1B1=-2+2+0=0，∴PA⊥B1D1．（2）平面BDD1B1的法向量為AC=（-2，2，0）．DA=（2，0，0），OP=（1，1，2）．設(shè)平面PAD的法向量為n=（x，y，z），則n⊥DA，n⊥DP．∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z．取n=（0，-2，1），設(shè)所求銳二面角為θ，則cosθ=|n?AC||n|?|AC|=|0-4+0|22×5=105．28.已知f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，f（x+2）是偶函數(shù)，那么正確的是（）A．f(1)＜f(52)＜f(72)B．f(72)＜f(1)＜f(52)C．f(72)＜f(52)＜f(1)D．f(52)＜f(1)＜f(72)答案：根據(jù)函數(shù)的圖象的平移可得把f（x+2）向右平移2個(gè)單位可得f（x）的圖象f（x+2）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱可知f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱∴f(72)=f(12)，f(52)=f(32)∵f（x）在（0，2）單調(diào)遞增，且12＜1＜32∴f(12)＜f(1)＜f(32)即f(72)＜f(1)＜f(52)故選：B29.設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，δ2），且p（X≤c）=p（X＞c），則c的值（）

A．0

B．1

C．μ

D．μ答案：C30.過直線x+y-22=0上點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．答案：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：直線PA和PB為過點(diǎn)P的兩條切線，且∠APB=60°，設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），連接OP，OA，OB，∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圓x2+y2=1，即圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴a2+b2=2，即a2+b2=4①，又P在直線x+y-22=0上，∴a+b-22=0，即a+b=22②，聯(lián)立①②解得：a=b=2，則P的坐標(biāo)為（2，2）．故為：（2，2）31.給出的下列幾個(gè)命題：

①向量共面，則它們所在的直線共面；

②零向量的方向是任意的；

③若則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A．0

B．1

C．2

D．3答案：B32.某種肥皂原零售價(jià)每塊2元，凡購買2塊以上（包括2塊），商場推出兩種優(yōu)惠銷售辦法。第一種：一塊肥皂按原價(jià)，其余按原價(jià)的七折銷售；第二種：全部按原價(jià)的八折銷售。你在購買相同數(shù)量肥皂的情況下，要使第一種方法比第二種方法得到的優(yōu)惠多，最少需要買（

）塊肥皂。

A.5

B.2

C.3

D.4答案：D33.設(shè)a∈（0，1）∪（1，+∞），對任意的x∈(0，12]，總有4x≤logax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．答案：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），當(dāng)0＜x≤12時(shí)，函數(shù)y=4x的圖象如下圖所示：∵對任意的x∈(0，12]，總有4x≤logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方（如圖中虛線所示）∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于（12，2）點(diǎn)時(shí)，a=22，故虛線所示的y=logax的圖象對應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足22＜a＜1．故為：（22，1）．34.有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)．其中，第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A、3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一號盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二號盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三號盒子中任取一個(gè)球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功，那么試驗(yàn)成功的概率為（）

A．0.59

B．0.54

C．0.8

D．0.15答案：A35.下面為一個(gè)求20個(gè)數(shù)的平均數(shù)的程序，在橫線上應(yīng)填充的語句為（）

A．i＞20

B．i＜20

C．i＞=20

D．i＜=20

答案：A36.一圓形紙片的圓心為點(diǎn)O，點(diǎn)Q是圓內(nèi)異于O點(diǎn)的一定點(diǎn)，點(diǎn)A是圓周上一點(diǎn)．把紙片折疊使點(diǎn)A與Q重合，然后展平紙片，折痕與OA交于P點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線答案：如圖所示，由題意可知：折痕l為線段AQ的垂直平分線，∴|AP|=|PQ|，而|OP|+|PA|=|OA|=R，∴|PO|+|PQ|=R定值＞|OQ|．∴當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P