2023年相似三角形知識點及典型例題

相似三角形知識點及典型例題知識點歸納：1、三角形相似的鑒定方法（1)定義法:相應(yīng)角相等,相應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。（2)平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（３)鑒定定理１：假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角相應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似。簡述為:兩角相應(yīng)相等，兩三角形相似。(4)鑒定定理２：假如一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊相應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊相應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似。(5)鑒定定理３：假如一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊相應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似。簡述為:三邊相應(yīng)成比例,兩三角形相似。(6）鑒定直角三角形相似的方法：①以上各種鑒定均合用。②假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊相應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。③直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原三角形相似。#HYPEＲLIＮＫ＂＂\t"_blaｎk"直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的HYＰEＲＬINＫ""\t"_blank＂比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖,Rt△ABC中，∠BＡC=９0°,AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下:（1）(AＤ)2=BＤ·DＣ，（2）（AB）2=BD·BC,（3）(ＡC）2=CD·BC。注:由上述射影定理還可以證明HYPERＬＩNK"＂\ｔ"＿blａnk"勾股定理。即（ＡB）2+(ＡC)2＝(BＣ)2。典型例題:例1如圖,已知等腰△ＡBC中，AＢ＝AC,AＤ⊥BＣ于D，CG‖AB，BＧ分別交ＡD,AC于E、F，求證：BE2＝EF·EG證明:如圖,連結(jié)EC，∵AB＝AＣ，AD⊥BC，∴∠ABＣ=∠AＣB，AD垂直平分BＣ∴BE＝EＣ,∠1=∠2,∴∠ＡＢC-∠1＝∠ＡCB-∠2，即∠3＝∠4,又CＧ∥AB,∴∠G=∠3,∴∠４=∠G又∵∠CEG=∠ＣEＦ,∴△CEF∽△GEC,∴＝∴ＥC2=EＧ·EF，故EB2=EF·ＥG【解題技巧點撥】本題必須綜合運用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來得到證明．而其中運用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝EＣ,把本來處在同一條直線上的三條線段BE,EＦ，EC轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。例２已知:如圖，AD是Rt△ABC斜BＣ上的高,E是AC的中點,ＥD與ＡB的延長線相交于F,求證：=證法一:如圖，在Rt△AＢC中,∵∠BAC=Rｔ∠,AＤ⊥BC，∴∠3＝∠C，又E是Rｔ△AＤC的斜邊AC上的中點,∴ED=AC=EC,∴∠2=∠C，又∠1=∠2,∴∠１＝∠３，∴∠ＤFB＝∠AFD，∴△DＦＢ∽△ＡFD，∴＝(1)又AD是Ｒt△ABC的斜邊BC上的高，∴Rｔ△ABD∽Rｔ△CAD,∴＝(2）由（1)(2)兩式得=,故=證法二：過點A作ＡＧ∥EF交CB延長線于點G,則＝(１）∵E是AC的中點,ＥD∥AＣ，∴D是GC的中點,又AＤ⊥GＣ，∴AＤ是線段ＧＣ的垂直平分線，∴AG＝AＣ(2）由（1)（2)兩式得：=,證畢。

【解題技巧點撥】本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過中間比“”過渡,使問題得證，證法二中是運用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的鑒定,線段的垂直平分線的鑒定與性質(zhì)使問題得證．一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ＡＢＣＤ的邊DC的延長線上，AG交BC、BD于點E、F，則△AGＤ∽∽。例2、已知△AＢC中,AB=AC,∠Ａ=36°，BD是角平分線，求證：△ＡBC∽△BＣD例3：已知，如圖，D為△ABＣ內(nèi)一點連結(jié)ＥＤ、AD，以ＢC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABＤ，∠BＣE=∠BAD求證:△DＢＥ∽△ABＣ例４、矩形ABCD中，ＢC=3AB,E、F，是ＢC邊的三等分點,連結(jié)AE、AF、ＡC,問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABＣ中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取ＢE,使AＤ＝ＢE,求證：ＤFAＣ=BＣFE例6：已知:如圖，在△ＡBＣ中,∠ＢAC=９00，M是BC的中點，DM⊥BC于點E，交BA的延長線于點D。求證:（1）MA2=MDMＥ;(2)例7：如圖△ＡBC中，ＡD為中線，ＣF為任一直線,ＣF交AD于E,交AB于F，求證：AE：ＥD=2AＦ:FＢ。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8:已知:如圖Ｅ、Ｆ分別是正方形ＡBＣD的邊AＢ和AD上的點，且。求證:∠AEF＝∠FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、ＤP各為四角的平分線，求證:SQ∥AB，RP∥ＢＣ例１0、已知Ａ、C、E和B、F、D分別是∠Ｏ的兩邊上的點，且AＢ∥ED,ＢC∥FＥ，求證:AF∥CD例１1、直角三角形ABC中,∠ＡＣB=90°,BCDE是正方形，AＥ交BＣ于Ｆ，F(xiàn)G∥AＣ交AB于Ｇ，求證：ＦC＝ＦG例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E,交斜邊上的高ＡD于O,過Ｏ引BC的平行線交AB于F,求證：AE＝BＦ課后作業(yè)一、填空題1.已知:在△ＡBC中,Ｐ是AＢ上一點,連結(jié)ＣP，當(dāng)滿足條件∠ACP=____或∠AＰC=?＿_＿__或AC2=____＿_時,△ACP∽△AＢC.2.兩個相似三角形周長之比為4∶９,面積之和為2９1，則面積分別是_＿_＿_______＿。3.如圖，DEＦG是Rt△ABC的內(nèi)接正方形,若CF=8，ＤG=4,則BE＝＿__＿＿__＿＿＿。４.如圖,直角梯形AＢCD中，AD‖ＢＣ，AＤ⊥ＣＤ,AＣ⊥ＡＢ,已知AD=4,BC＝９，則AＣ＝___＿＿_______。５.△AＢC中，AB＝15，ＡC＝９,點Ｄ是AＣ上的點，且AＤ=3，E在ＡB上,△ADE與△ABC相似，則AＥ的長等于______＿_＿＿＿__。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD，則∠ＢDC的度數(shù)為＿____________＿。7.△ABC中，AB＝ＡＣ,∠Ａ=３6°,BC=1，ＢD平分∠ABC交于D，則ＢＤ=__＿＿___，AD=______，設(shè)AB=x,則關(guān)于x的方程是_＿__＿_＿__＿＿_＿_.８.如圖,已知Ｄ是等邊△ABC的BC邊上一點,把△ABC向下折疊，折痕為MN，使點A落在點Ｄ處,若BＤ∶DC=2∶３,則AM∶MN=＿__＿_＿＿_＿___＿＿_＿_。二、選擇題9.如圖，在正△ABC中，D、E分別在AC、AB上,且,AE=BE，則有（）Ａ．△ＡED∽△BED B.△ＡED∽△ＣBDC．△AED∽△AＢD ?D．△BＡD∽△BCD１0.如圖，在△ABC中,D為ＡC邊上一點,∠DBC=∠Ａ,BC=，ＡＣ＝3，則ＣＤ的長為(）A.1 ? ?B. ?? Ｃ.2? ? D.11．如圖,□ＡＢCＤ中,G是ＢC延長線上一點,AＧ與BD交于點E，與DC交于點F,則圖中相似三角形共有(）A.3對 Ｂ．4對? ??C．5對?? D.6對１2．P是Ｒt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點Ｐ作直線截△ABC，使截得的三角形與△AＢC相似,滿足這樣條件的直線共有()A．1條 ??B.２條 ?? C.3條?? Ｄ．4條13．如圖，在直角梯形ABＣD中，AＢ＝7,AＤ＝2,BC＝３，若在ＡB上取一點P，使以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、Ｃ為頂點的三角形相似,這樣的Ｐ點有(）A．１個??? B.2個 ?Ｃ.3個 Ｄ．4個

三、解答下列各題１4.如圖，長方形AＢCD中，AB＝5,ＢC=10，點P從Ａ點出發(fā)，沿AＢ作勻速運動，１分鐘可以到達B點,點Ｑ從B點出發(fā),沿ＢＣ作勻速直線運動，1分鐘可到C點,現(xiàn)在點P點Ｑ同時分別從A點、Ｂ點出發(fā)，通過多少時間,線段PＱ恰與線段BD垂直？

15．已知:如圖,正方形ＤＥFG內(nèi)接于Ｒt△ABC，ＥF在斜邊BC上,EH⊥AB于H．求證:(1）△ＡDG≌△HEＤ;(2）EF2＝ＢE·ＦC

(答案）例１分析:關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，運用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角∠Ｇ外,由BC∥AD可得∠1＝∠２，所以△AGD∽△ＥGC。再∠1＝∠2(對頂角)，由ＡＢ∥ＤG可得∠４＝∠Ｇ，所以△EGＣ∽△EAB。例2分析:證明相似三角形應(yīng)先找相等的角,顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明:∵∠A=３６°，△ABC是等腰三角形,∴∠ABＣ=∠Ｃ=72°又BD平分∠ＡBＣ，則∠DBＣ=36°在△AＢC和△ＢCD中,∠C為公共角，∠Ａ=∠DBC=3６°∴△ＡＢC∽△BCD例3分析:由已知條件∠ABＤ＝∠CBE,∠DBC公用。所以∠DＢE=∠ABC，要證的△DBE和△ABＣ，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等,或者找夾這個角的兩邊相應(yīng)成比例。從已知條件中可看到△CBE∽△AＢD,這樣既有相等的角,又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在△CBE和△ＡＢD中，∠ＣBE＝∠ABＤ,∠ＢCE=∠BAＤ∴△CＢE∽△ABD∴＝即：=△DBＥ和△ABC中，∠CBE=∠ABＤ,∠DBC公用∴∠CBE+∠ＤＢＣ＝∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4分析:本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢?下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形:如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（2)如圖:其中∠１=∠2,則△ADＥ∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。（３)如圖：∠１=∠2,∠B=∠D,則△AＤE∽△AＢC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀測本題的圖形，假如存在相似三角形只也許是“相交線型”的相似三角形，及△EＡＦ與△ＥCA解:設(shè)AB＝a,則BE＝EＦ=FC＝3ａ，由勾股定理可求得AＥ=，在△EAF與△ECA中，∠AＥF為公共角，且所以△EAＦ∽△ECA例5分析:證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF:FＥ=ＢC:ＡC,再運用相似三角形或平行線性質(zhì)進行證明:證明:過Ｄ點作DＫ∥AB，交BC于K,∵ＤＫ∥AB，∴DF:ＦE=ＢK:BE又∵AD=BE,∴DＦ:FＥ＝BK：AD，而BK:AＤ=BC:AＣ即ＤF：FＥ＝ＢＣ：AC,∴DＦAC=BCFE例6證明：(1)∵∠ＢAC=９00,M是BＣ的中點，∴MA=MC，∠1=∠C，∵ＤM⊥ＢＣ,∴∠C＝∠D=900－∠B，∴∠1=∠D,∵∠２=∠2，∴△MＡE∽△MDＡ，∴，∴MＡ２＝ＭDME，（２)∵△MAE∽△MDA，∴,∴評注：命題1如圖，假如∠１=∠2,那么△ＡＢD∽△ＡCB,AＢ2=ＡDAC。命題2如圖，假如AB2=ADＡC,那么△ＡＢD∽△ACB，∠1=∠2。例7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。如何作?觀測要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE:ED”的特性,作ＤG∥ＢA交ＣF于G,得△AEF∽△DEG,。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過Ｄ點作DＧ∥AＢ交FC于Ｇ則△AEF∽△DEG。(平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似)（１）∵D為BC的中點,且DG∥BF∴G為FC的中點則DG為△CＢF的中位線,(2)將(2)代入(１)得：例8分析:要證角相等,一般來說可通過全等三角形、相似三角形,等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不也許相似(一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作ＦG⊥BD，垂足為G。設(shè)ＡB=AD＝3ｋ則ＢＥ=AF=ｋ,AE=DF＝2k，BＤ=∵∠ADB=45０,∠ＦＧD＝900∴∠DFG=450∴DG＝FＧ＝∴ＢG=∴又∠A=∠FGB＝900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBＤ例９分析：要證明兩線平行較多采用平行線的鑒定定理,但本例不具有這樣的條件,故可考慮用比例線段去證明。運用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點就是要明確目的，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明ＳQ∥AB,只需證明AR：ＡS=BR：DＳ。證明：在△ＡDS和△ＡRB中?！摺螪AR=∠RＡB＝∠DAB,∠DＣP=∠PＣB＝∠ABC∴△ＡDS∽△ABR但△ADＳ≌△CBQ，∴ＤS＝ＢQ，則,∴SQ∥ＡB，同理可證，RP∥BC例1０分析:要證明AＦ∥ＣＤ，已知條件中有平行的條件,因而有好多的比例線段可供運用,這就要進行對的的選擇。其實要證明AＦ∥CＤ,只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加解決即可成功。證明:∵ＡB∥ＥD,BＣ∥FE∴,∴兩式相乘可得:例1１分析:要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等,但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明ＦC＝FG，一方面要找出與FＣ、FG相關(guān)