2023年立體幾何知識點總結(jié)解題方法總結(jié)

數(shù)學必修（二）知識梳理與解題方法分析第一章《空間幾何體》一、本章總知識結(jié)構(gòu)二、各節(jié)內(nèi)容分析1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)１.本節(jié)知識結(jié)構(gòu)１.2空間幾何體三視圖和直觀圖１、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)1.3空間幾何體的表面積與體積1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)。三、高考考點解析本部分內(nèi)容在高考中重要考察以下兩個方面的內(nèi)容：1.多面體的體積（表面積)問題；2．點到平面的距離（多面體的一個頂點到多面體一個面的距離）問題—“等體積代換法”。(一）多面體的體積(表面積)問題1．在四棱錐P-ＡBCD中，底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60,對角線AC與BD相交于點O,ＰＯ⊥平面ABCD，PB與平面AＢCD所成的角為60．（1）求四棱錐P-ＡＢＣD的體積；【解】（1）在四棱錐P-AＢＣＤ中,由PO⊥平面ABCＤ,得∠PBＯ是PB與平面ABCＤ所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BＯ=ABsiｎ30°=1,由ＰO⊥BO,于是,PO＝ＢOtaｎ60°＝，而底面菱形的面積為２.∴四棱錐P－ABCD的體積Ｖ＝×2×＝2.2．如圖,長方體ＡBCD-中，E、P分別是BC、的中點,Ｍ、N分別是AE、的中點,（Ⅲ)求三棱錐P－ＤEN的體積?！窘狻浚á?作,交于，由面得∴面∴在中，∴。(二)點到平面的距離問題—“等體積代換法”。1如圖，四周體AＢCD中，O、E分別是BＤ、BC的中點，（III)求點E到平面ＡCD的距離?！窘狻浚↖II)設(shè)點E到平面ACＤ的距離為，∴在中,而點Ｅ到平面ＡCＤ的距離為2．如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點,是側(cè)棱上的點，且。(Ⅱ)求點到平面的距離。【解】（Ⅱ）過在面內(nèi)作直線,為垂足。又平面，所以ＡM。于是H平面ＡMN，故即為到平面ＡMN的距離。在中,＝。故點到平面AMＮ的距離為1。3如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且OA＝1，OＢ=OC＝2，E是OC的中點。(1)求O點到面ABC的距離；【解】（1）取ＢC的中點D，連ＡＤ、OD。，則∴ＢC⊥面ＯAD。過O點作OＨ⊥AD于Ｈ，則OH⊥面AＢＣ,OH的長就是所規(guī)定的距離。，?！嗝鍻BC,則。,在直角三角形OAD中,有(另解:由知:）第二章《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》一、本章的知識結(jié)構(gòu)二、各節(jié)內(nèi)容分析２.１空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系１、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)２.內(nèi)容歸納總結(jié)（1）四個公理公理1:假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號語言:。公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。三個推論：①②③它給出了擬定一個平面的依據(jù)。公理3:假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線（兩個平面的交線）。符號語言:。公理4：(平行線的傳遞性)平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號語言：。(2)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念異面直線及夾角:把不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。已知兩條異面直線，通過空間任意一點O作直線,我們把與所成的角(或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知:夾角范圍）定理：空間中假如一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補。(注意:會畫兩個角互補的圖形)2．位置關(guān)系:（3）空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種:（４)空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種:2.２直線、平面平行的鑒定及其性質(zhì)１、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)2.內(nèi)容歸納總結(jié)（1）四個定理定理定理內(nèi)容符號表達分析解決問題的常用方法直線與平面平行的鑒定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。在已知平面內(nèi)“找出”一條直線與已知直線平行就可以鑒定直線與平面平行。即將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”平面與平面平行的鑒定一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。鑒定的關(guān)鍵:在一個已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。平面與平面平行的性質(zhì)假如兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行。(２)定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化兩平面平行問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行,而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行,所以在解題時應(yīng)注意“轉(zhuǎn)化思想”的運用。這種轉(zhuǎn)化實質(zhì)上就是：將“高維問題”轉(zhuǎn)化為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”。2.３直線、平面平垂直的鑒定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)2.內(nèi)容歸納總結(jié)(一)基本概念1.直線與平面垂直:假如直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點叫做垂足。２.直線與平面所成的角：角的取值范圍：。3．二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的記法：二面角的取值范圍:兩個平面垂直：直二面角。（二）四個定理定理定理內(nèi)容符號表達分析解決問題的常用方法直線與平面垂直的鑒定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以鑒定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”平面與平面垂直的鑒定一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面垂直。（滿足條件與垂直的平面有無數(shù)個)鑒定的關(guān)鍵：在一個已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個平面的兩條直線平行。平面與平面垂直的性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個平面垂直。解決問題時,常添加的輔助線是在一個平面內(nèi)作兩平面交線的垂線（三）定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化:兩平面垂直問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直，所以在解題時應(yīng)注意從“高維”到“低維”的轉(zhuǎn)化,即“空間問題”到“平面問題”的轉(zhuǎn)化。三、高考考點解析第一部分、三類角(異面直線所成的夾角、直線與平面所成的角、二面角）的求解問題(一）異面直線所成的夾角與異面直線的公垂線1.異面直線所成的夾角是本部分的重點和難點更是高考的考點。異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關(guān)位置的一個量,掌握好概念是解題的關(guān)鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過“平移法”轉(zhuǎn)化為“平面角”,然后證明這個角就是所求的角,再運用三角形解出所求的角（簡言之：①“轉(zhuǎn)化角”、②“證明”、③“求角”）。以上三個環(huán)節(jié)“轉(zhuǎn)化角”是求解的關(guān)鍵,由于轉(zhuǎn)化的過程往往就是求解的過程——其目的就是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題（角問題）”。1．如圖所示，、分別是、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直,.是的直徑,,。(＝２\＊ROＭANIＩ）求直線與所成的角?！窘狻?＝２\*ROMAＮII)第一步:將“問題”轉(zhuǎn)化為求“平面角”問題根據(jù)定義和題設(shè)，我們只能從兩條異面直線的四個頂點出發(fā)作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點D作符合條件的直線。連結(jié)DO,則∠ODB即為所求的角。第二步:證明∠ODB就是所求的角在平面ＡDEF中，DＥ//AF,且DＥ＝AF,所以四邊形ODEＦ為平行四邊形所以ＤO//EF所以根據(jù)定義,∠ＯDＢ就是所求的角。第三步：求角由題設(shè)可知：底面AＢCD為正方形∵DA⊥平面ABＣD平面∴ＤＡ⊥ＢC又∵AF⊥BC∴BＣ⊥平面ADＯ∴DＯ⊥ＢC∴△DOB為直角三角形∴在Rｔ△ODB，∴(或用反三角函數(shù)表達為：)２．在四棱錐P-ABＣＤ中,底面是邊長為２的菱形,∠ＤAB＝６0,對角線AC與BD相交于點O,PO⊥平面ABCＤ，PB與平面ABCＤ所成的角為６０.(2)若E是PB的中點,求異面直線ＤＥ與PA所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表達）．【解】(2）?。粒碌闹悬cＦ,連接EF、DF.由Ｅ是PB的中點,得EF∥PA,∴∠ＦＥD是異面直線DE與PA所成角(或它的補角）。在Ｒt△AOＢ中AO=AＢcｏs30°==ＯP,于是,在等腰Rt△PＯA中,PA=,則ＥＦ=.在正△AＢＤ和正△PBＤ中,ＤＥ=DF=.cｏs∠FED==∴異面直線ＤＥ與ＰA所成角的大小是arccｏs.3．如圖，四周體ABＣD中，O、E分別是BD、BC的中點,（II）求異面直線AB與CD所成角的大小;【解】本小題重要考察直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考察空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。方法一:（ＩI）取AＣ的中點M,連結(jié)OM、ME、ＯＥ，由E為BＣ的中點知直線ＯＥ與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角斜邊AC上的中線，異面直線AB與CD所成角的大小為4.如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且OA=1，OＢ＝ＯC=２,E是OC的中點。（2）求異面直線ＢＥ與AＣ所成的角；【解】(2）?。希恋闹悬cM，連EM、BM，則EＭ∥AC,∠ＢEM是異面直線BE與AＣ所成的角。求得:，,∴。2.異面直線的公垂線問題異面直線的公垂線問題也是高考的考點之一。與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.任何兩條擬定的異面直線都存在唯一的公垂線段．1.如圖，在直三棱柱中,、分別為、的中點。(I)證明:ED為異面直線與的公垂線；【解】(Ⅰ）設(shè)O為AC中點，連接EO,BＯ，則EＯEQ＼o（\s\up(∥）,\s\do3(=))EＱ＼f(１,2)C1C,又C1CEQ＼ｏ(\s＼up(∥)，\s＼do3（＝))B1B，所以EOEQ\o(＼s\uｐ(∥),＼s＼do３(=))DＢ,EOBＤ為平行四邊形，EＤ∥ＯB．ABCDEA1B1C1ABCDEA1B1C1OF又平面ABC⊥平面AＣC1A1,BO面AＢC,故BO⊥平面AＣC1Ａ1，∴EＤ⊥平面AＣＣ1A1,ED⊥ＡC1,ED⊥CC１，∴EＤ⊥BB１,ED為異面直線AC1與BＢ1的公垂線.ABCA1VB1C1ABCA1VB1C1(Ⅰ)求證直線是異面直線與的公垂線；【解】解法１：（Ⅰ）證明:∵平面∥平面,又∵平面⊥平面，平面∩平面,∴⊥平面，，又,.為與的公垂線.（二)直線與平面所成夾角1．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形,,,底面，且，分別為、的中點。(Ⅱ)求與平面所成的角。【解】(＝２＼＊ROMANII）取的中點，連結(jié)、，則，所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.由于平面，所以是與平面所成的角.在中，。故與平面所成的角是。圖1圖22．在正三角形ABＣ中，Ｅ、Ｆ、Ｐ分別是AB、AC、BＣ邊上的點，滿足ＡE:EＢ＝ＣF:FA=CＰ:PB=1：2（如圖１）。將△ＡEF沿EF折起到的位置，使二面角Ａ１-EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1Ｐ(如圖２)圖1圖2(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大?。弧窘狻坎环猎O(shè)正三角形的邊長為３,則（II)在圖２中，∵Ａ１E不垂直于A1Ｂ,∴Ａ1E是面A1BP的斜線，又A1Ｅ⊥面BEP,∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1Ｅ在面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理）設(shè)A１E在面Ａ1BP內(nèi)的射影為A１Q,且A1Q交ＢP于Q，則∠EA１Q就是Ａ1E與面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。在△EＢP中，∵BE=BP=２，∠EＢＰ=60o，∴△EBP為正三角形，∴BE＝EP。又A1E⊥面BEＰ,∴A1B=Ａ1P，∴Q為BP的中點,且EQ=,而A1Ｅ=1,∴在Rt△A1EＱ中,，即直線A１Ｅ與面A1BP所成角為６0o。（三)二面角與二面角的平面角問題1.如圖所示，、分別是、的直徑,與兩圓所在的平面均垂直，．是的直徑,，。(＝1\*ROMANI)求二面角的大小;【解】(=1\*ＲOＭANＩ）∵AD與兩圓所在的平面均垂直,∴AD⊥AB，ＡD⊥AF，故∠ＢAF是二面角B—ＡD—F的平面角,依題意可知，ABFC是正方形，所以∠BＡＦ＝450.即二面角Ｂ—ＡD—Ｆ的大小為4５0;2．如圖,Ｐ是邊長為1的正六邊形ABCDEＦ所在平面外一點,,Ｐ在平面ＡBC內(nèi)的射影為ＢF的中點O。（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小?！窘狻窟B結(jié)ＡD，則易知AD與ＢF的交點為Ｏ。（=2\*ROMAＮII)設(shè)M為PB的中點，連結(jié)ＡM，ＭD。斜線ＰＢ在平面ＡBC內(nèi)的射影為OB，。又因此，為所求二面角的平面角。在正六邊形ABCDEF中,在Rt在Rt,則在中,由余弦定理得因此，所求二面角的大小為3.如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面，且,點是的中點.(Ⅲ)求二面角的大小.【解】(Ⅲ）如圖,取AＤ的中點Ｆ,連ＥF,FO,則ＥF是△PAD的中位線，EFPＡ又平面,EF平面同理FO是△AＤC的中位線，ＦOABＦOAC由三垂線定理可知EOＦ是二面角Ｅ-AC－D的平面角.又FO=AB=PA＝EF。EOF＝４5而二面角與二面角E-AC-D互補，故所求二面角的大小為135．４．如圖,已知四棱錐P-ＡBＣD的底面ＡBCD為等腰梯形,與相交于點，且頂點在底面上的射影恰為點,又.(Ⅱ)求二面角的大??；【解】平面,又，由平面幾何知識得：(Ⅱ)連結(jié),由（Ⅰ)及三垂線定理知，為二面角的平面角,二面角的大小為5.如圖,α⊥β,α∩β＝ｌ,A∈α,B∈β,點Ａ在直線l上的射影為Ａ1,點Ｂ在l的射影為B１,已知ＡB=2,ＡA1=1,BB1=eq\r(2),求:（=2＼＊ROＭANII)二面角A1-AB-B1的大小。ＳHAPE\*MERGＥFORMAT【解】（Ⅱ）∵BＢ1⊥α，∴平面ABB1⊥α。在平面α內(nèi)過Ａ1作Ａ１E⊥AＢ1交AB1于E,則A1E⊥平面AB1Ｂ。過E作EF⊥AＢ交AB于F,連接A1F，則由三垂線定理得A1Ｆ∴∠A1ＦE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABＢ1中,∠ＢAB1＝45°,∴ＡB1=B1B=ｅq＼r(2).∴Rt△AA１Ｂ中,Ａ１Ｂ＝eｑ\ｒ（ＡB2-AA12)＝eｑ＼r(４-1）=eq\ｒ(3)。由ＡＡ１·A1B＝A1Ｆ·A１F=eq\f(AＡ1·A1B,AB)=ｅq\f(１×\r（3)，2）＝eｑ\f（\r(3),2),∴在Ｒt△A1EF中,siｎ∠A1FE=eｑ\f（Ａ１E，A1F)=eq\f(\r(６）,3),∴二面角A１－AB－B1的大小為ａrcｓｉnｅq\f(\r（6）,３).第二部分《空間直線、平面的平行問題》將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”的“轉(zhuǎn)化思想”(一)“線線平行”與“線面平行”的轉(zhuǎn)化問題1如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,，平面,且，點是的中點.(Ⅱ）求證：平面;【解】證明本題的關(guān)鍵:在平面EＡＣ中“找”一條與PB平行的直線,由于點E在平面PBD中，所以可以在平面PBＤ中過點E“找”(顯然,要“找”的直線就是平面PＢＤ與平面ＥAC的交線）。最終將“線面平行”問題轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題。（Ⅱ）連接BＤ，與AC相交與O，連接ＥO,ＡBＣD是平行四邊形Ｏ是BD的中點又E是ＰD的中點，EＯ//PB．又PB平面AEC，EO平面AＥＣ,PB平面AEＣ。2．如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點,面是等邊三角形,棱.(1)證明／/平面；(2)設(shè)，證明平面．【解】分析通上題。（Ⅰ)證明：?。肈中點Ｍ,連結(jié)OM．在矩形ABCD中。，又，則，連結(jié)EM,于是四邊形EFOM為平行四邊形．又平面CDE，且EM平面CＤE,∵FO∥平面CDE(二)“線面平行”與“面面平行”的轉(zhuǎn)化問題2.如圖,長方體ABCD-中,E、P分別是ＢＣ、的中點,M、N分別是AＥ、的中點，(Ⅰ)求證：;【證明】本題假如運用“線線平行”找“線”比較復(fù)雜（不是不可以),所以我們可以考慮運用“面面平行”來將問題轉(zhuǎn)化。關(guān)鍵是：考慮到點M、N都是中點,于是我們就輕松的可以找到另一個比較特殊的中點K(OＣ的中點),將“線面平行”問題轉(zhuǎn)化為“面面平行”問題。(Ⅰ）取的中點,連結(jié)∵分別為的中點∵∴面,面∴面面∴面第三部分《空間直線、平面的垂直問題》將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”轉(zhuǎn)化思想。(一)“線線垂直”到“線面垂直”1．如圖，是正四棱柱。（＝1\*ＲOMANI）求證：ＢD⊥平面；【解】根據(jù)直線與平面平行的鑒定定理很容易找到兩條相交的直線AC、A１A與BD垂直。(Ⅰ）∵是正四棱柱,∴ＣC1⊥平面ABCＤ,∴BD⊥CC１,∵ＡBCD是正方形,∴BＤ⊥AC又∵AC，CC1平面,且AC∩ＣC1=C，∴BＤ⊥平面。2.如圖，四周體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點,（I）求證:平面BＣＤ；【解】(I)證明:連結(jié)OC在中，由已知可得而即平面3．如圖4,已知兩個正四棱錐的高分別為1和2，。（=１\*ＲOMANI）證明：；【解】(Ⅰ)取AD的中點M，連接PＭ、QM。由于Ｐ-AＢＣD與Ｑ－ABＣD都是正四棱錐，所以ＡＤPＭ，ADQＭ。從而AD平面ＰＱＭ。又ＰQ平面ＰＱM，所以ＰQ⊥ＡD。同理ＰQ⊥ＡB，所以ＰQ⊥平面ＡBCD。?9．圖1圖2在正三角形AＢC中，E、Ｆ、P分別是AＢ、AC、BＣ邊上的點，滿足AE:EＢ＝CF:FA＝ＣP:PB=１:２(