2023年南京科技職業(yè)學(xué)院高職單招（數(shù)學(xué)）試題庫含答案解析

長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年南京科技職業(yè)學(xué)院高職單招（數(shù)學(xué)）試題庫含答案解析（圖片大小可自由調(diào)整）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請(qǐng)謹(jǐn)慎購買！第1卷一.綜合題(共50題)1.某化肥廠甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30min抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：

甲：86、72、92、78、77；

乙：82、91、78、95、88

（1）這種抽樣方法是哪一種？

（2）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；

（3）將兩組數(shù)據(jù)比較，說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．答案：（1）因?yàn)殚g隔時(shí)間相同，故是系統(tǒng)抽樣．（2）莖葉圖如下：．（3）因?yàn)?x甲=15（86+72+92+78+77）=81，.x乙=15（82+92+78+95+88）=87，所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4，s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2，而s甲2＞s乙2，所以乙車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．2.設(shè)△ABC是邊長為1的正三角形，則|CA+CB|=______．答案：∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴|CA|=1，|CB|=1，CA?CB=1×1×cosπ3=12∴|CA+CB|=CA2+2CA?CB+CB2=1+1+

2×12=3，故為：33.下列輸入語句正確的是（）

A．INPUT

x，y，z

B．INPUT“x=”；x，“y=”；y

C．INPUT

2，3，4

D．INPUT

x=2答案：A4.如圖，I表示南北方向的公路，A地在公路的正東2km處，B地在A地北偏東60°方向2km處，河流沿岸PQ（曲線）上任一點(diǎn)到公路l和到A地距離相等，現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建一座碼頭，向A，B兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，經(jīng)測(cè)算從M到A，B修建公路的費(fèi)用均為a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（單位萬元）（）

A.（2+）a

B．5a

C.2（+1）a

D．6a

答案：B5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值．答案：過C作CM⊥AB，連接PM，因?yàn)镻C⊥AB，所以AB⊥平面PCM，所以PM⊥AB，此時(shí)PM最短，∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB?cos60°=4．∴CM=AC?sin60°=4?32=23．∴PM=PC2+CM2=16+12=27．6.（每題６分共１２分）解不等式

（１）（２）答案：（1）（2）解析：本試題主要是考查了分式不等式和一元二次不等式的求解，以及含有根式的二次不等式的求解運(yùn)用。（1）移向，通分，合并，將分式化為整式，然后得到解集。（2）首先分析函數(shù)式有意義的x的取值，然后保證兩邊都有意義的時(shí)候，且都為正，兩邊平方求解得到。解：（2）當(dāng)8-x<0顯然成立。當(dāng)8-x》0時(shí)，則兩邊平方可得。所以7.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），且被平行直線l1：x-y+1=0與l2：x-y-1=0所截得的線段的中點(diǎn)M在直線x+y-3=0上．求直線l的方程．答案：∵點(diǎn)M在直線x+y-3=0上，∴設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（t，3-t），則點(diǎn)M到l1、l2的距離相等，即|2t-2|2=|2t-4|2，解得t=32∴M（32，32）又l過點(diǎn)A（2，4），即5x-y-6=0，故直線l的方程為5x-y-6=0．8.在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=2cosθ所表示圖形的面積為______．答案：將原極坐標(biāo)方程為p=2cosθ，化成：p2=2ρcosθ，其直角坐標(biāo)方程為：∴x2+y2=2x，是一個(gè)半徑為1的圓，其面積為π．故填：π．9.在△ABC中，已知A（2，3），B（8，-4），點(diǎn)G（2，-1）在中線AD上，且|AG|=2|GD|，則C的坐標(biāo)為______．答案：設(shè)C（x，y），則D（8+x2，-4+y2），再由AG=2GD，得（0，-4）=2（4+x2，-2+y2），∴4+x=0，-2+y=-4，即C（-4，-2）故為：（-4，-2）．10.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（不必證明）；（Ⅱ）證明：當(dāng)λ≠0時(shí)，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅲ）當(dāng)λ=1時(shí)，試比較an與n2+1的大小，證明你的結(jié)論．答案：（Ⅰ）∵a1=2，∴a2=λa1+λ2+2（2-λ）=λ2+4，同理可得，a3=2λ3+8，a4=3λ4+16，猜想an=（n-1）λn+2n．（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則a1，a2，a3也成等比數(shù)列，∴a22=a1?a3?（λ2+4）2=2（2λ3+8）?λ4-4λ3+8λ2=0，∵λ≠0，∴λ2-4λ+8=0，即（λ-2）2+4=0，但（λ-2）2+4＞0，矛盾，∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．（Ⅲ）∵λ=1，∴an=（n+1）+2n，∴an-（n2+1）=2n-（n2-n+2），∵當(dāng)n=1，2，3時(shí)，2n=n2-n+2，∴an=n2+1．當(dāng)n≥4時(shí)，猜想2n＞n2-n+2，證明如下：當(dāng)n=4時(shí)，顯然2k＞k2-4+2假設(shè)當(dāng)n=k≥4時(shí)，猜想成立，即2k＞k2-k+2，則當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+1=2?2k＞2（k2-k+2），∵2（k2-k+2）-[（k+1）20-（k+1）+2]=（k-1）（k-2）＞0∴2k+1＞2（k2-k+2）＞（k+1）2-（k+1）+2，∴當(dāng)n≥4時(shí)，猜想2n＞n2-n+2成立，∴當(dāng)n≥4時(shí)，an＞n2+1．11.已知兩條直線y=ax-2和y=（a+2）x+1互相垂直，則a等于（

）

A．2

B．1

C．0

D．-1答案：D12.已知a、b、c是實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1，求2a+b+2c的最大值．答案：因?yàn)橐阎猘、b、c是實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1根據(jù)柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（a2+b2+c2）（22+1+22）≥（2a+b+2c）2故（2a+b+2c）2≤9，即2a+b+2c≤3即2a+b+2c的最大值為3．13.如圖，⊙O過點(diǎn)B、C，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，，，

.則⊙O的半徑為（

）.

A.6

B.13

C.

D.答案：C解析：分析：延長AO交BC于D，接OB，根據(jù)AB=AC，O是等腰Rt△ABC的內(nèi)心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．解答：解：延長AO交BC于D，連接OB，∵⊙O過B、C，∴O在BC的垂直平分線上，∵AB=AC，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB==故選C．14.平面向量的夾角為，則等于（

）

A.

B．3

C．7

D．79答案：A15.①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③相等向量一定共線；④共線向量一定相等；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量，其中正確的命題是______．答案：∵平行向量即為共線向量其定義是方向相同或相反；相等向量的定義是模相等、方向相同；①平行向量不一定相等；故錯(cuò)；②不相等的向量也可能不平行；故錯(cuò)；③相等向量一定共線；正確；④共線向量不一定相等；故錯(cuò)；⑤長度相等的向量方向相反時(shí)不是相等向量；故錯(cuò)；⑥平行于零向量的兩個(gè)向量是不一定是共線向量，故錯(cuò)．其中正確的命題是③．故為：③．16.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在橫軸上，長軸長為4，短軸長為2，則橢圓方程是（

）

A．

B．

C．

D．答案：B17.若向量a=（2，-3，3）是直線l的方向向量，向量b=（1，0，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α所成角的大小為______．答案：設(shè)直線l與平面α所成角為θ，則sinθ=|cos＜a，b＞|=|a?b||a|

|b|=222+(-3)2+(3)2×1=12，∵θ∈[0，π2]，∴θ=π6，即直線l與平面α所成角的大小為π6．故為π6．18.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)（大前提），而y=（）x是指數(shù)函數(shù)（小前提），所以y=（）x是增函數(shù)（結(jié)論）”，上面推理的錯(cuò)誤是（）

A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)

D．大前提和小前提錯(cuò)都導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)答案：A19.如圖所示，已知PA切圓O于A，割線PBC交圓O于B、C，PD⊥AB于D，PD與AO的延長線相交于點(diǎn)E，連接CE并延長交圓O于點(diǎn)F，連接AF．

（1）求證：B，C，E，D四點(diǎn)共圓；

（2）當(dāng)AB=12，tan∠EAF=23時(shí)，求圓O的半徑．答案：（1）由切割線定理PA2=PB?PC由已知易得Rt△PAD∽R(shí)t△PEA，∴PA2=PD?PE，∴PA2=PB?PC=PA2=PD?PE，又∠BPD為公共角，∴△PBD∽△PEC，∴∠BDP=∠C∴B，C，E，D四點(diǎn)共圓

（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，∴PE∥AF．∵AB=12，∴AG=6．∵PD⊥AB，∴PD∥OG．∴PE∥OG∥AF，∴∠AOG=∠EAF．在Rt△AOG中，tan∠AOG=tan∠EAF=23=6OG，∴OG=9∴R=AO=AG2+OG2=313∴圓O的半徑313．20.P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且滿足，若△ABC的面積為1，則△PAB的面積為（）

A．

B．

C．

D．答案：B21.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則P（X=4）=______．（用數(shù)字表示）答案：由題意P（X=4）=C47×C68C1015=7×6×53×2×1×8×72×115×14×13×12×115×4×3×2×1=140429故為：14042922.已知△A′B′C′是水平放置的邊長為a的正三角形△ABC的斜二測(cè)平面直觀圖，那么△A′B′C′的面積為______．答案：正三角形ABC的邊長為a，故面積為34a2，而原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系S直觀圖S原圖=24，故直觀圖△A′B′C′的面積為6a216故為：6a216．23.將參數(shù)方程x=2sinθy=1+2cos2θ（θ為參數(shù)，θ∈R）化為普通方程，所得方程是______．答案：由x=2sinθ

①y=1+2cos2θ

②，因?yàn)棣取蔙，所以-1≤sinθ≤1，則-2≤x≤2．由①兩邊平方得：x2=2sin2θ③由②得y-1=2cos2θ④③+④得：x2+y-1=2，即y=-x2+3（-2≤x≤2）．故為y=-x2+3（-2≤x≤2）．24.用反證法證明命題“如果a＞b，那么a3＞b3“時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）

A．a(chǎn)3＜b3

B．a(chǎn)3＜b3或a3=b3

C．a(chǎn)3＜b3且a3=b3

D．a(chǎn)3＞b3答案：B25.方程組的解集是（

）答案：{(5，-4)}26.已知點(diǎn)A（1，0，-3）和向量AB=(-1，-2，0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．答案：設(shè)B（x，y，z），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，AB=(x，y，z)

-

(1，0，-3)=(x-1，y，z+3)=（-1，-2，0）∴x=0，y=-2，z=-3．故為：（0，-2，-3）．27.一動(dòng)圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支D．拋物線答案：設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，而圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1；圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F（4，0），半徑為2．依題意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，則|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支．故選C．28.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，若AC′=xAB+2yBC-3zC′C，則x+y+z等于______．答案：根據(jù)向量的加法法則可得，AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1，2y=1，-3z=1∴x=1，y=12，z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故為：7629.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的k的值是（）A．4B．5C．6D．7答案：根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)

S

K循環(huán)前/0

0第一圈

是

1

1第二圈

是

3

2第三圈

是

11

3第四圈

是

20594第五圈

否∴最終輸出結(jié)果k=4故為A30.若直線y=x+b與圓x2+y2=2相切，則b的值為（

）

A．±4

B．±2

C．±

D．±2

答案：B31.若A（-1，0，1），B（1，4，7）在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為（）

A．（1，2，3）

B．（1，3，2）

C．（2，1，3）

D．（3，2，1）答案：A32.下面五個(gè)命題：（1）所有的單位向量相等；（2）長度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量；（3）由于零向量的方向不確定，故0與任何向量不平行；（4）對(duì)于任何向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正確命題的序號(hào)為：______．答案：（1）單位向量指模為1的向量，方向可為任意的，故錯(cuò)誤；（2）由共線向量的定義，方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量，故錯(cuò)誤；（3）規(guī)定：零向量與任何向量為平行向量，故錯(cuò)誤；（4）因?yàn)閨a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=（|a|+|b|）2，故正確故為：（4）33.對(duì)變量x、y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散點(diǎn)圖2．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（）

A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)

B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)

D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)答案：C34.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．（0，1）

B．（1，0）

C．（0，2）

D．（2，0）答案：B35.口袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3球，以ξ表示取出的球的最大號(hào)碼，則Eξ的值是（）A．4B．4.5C．4.75D．5答案：由題意，ξ的取值可以是3，4，5ξ=3時(shí)，概率是1C35=110ξ=4時(shí)，概率是C23C35=310（最大的是4其它兩個(gè)從1、2、3里面隨機(jī)?。│?5時(shí)，概率是C24C35=610（最大的是5，其它兩個(gè)從1、2、3、4里面隨機(jī)?。嗥谕鸈ξ=3×110+4×310+5×610=4.5故選B．36.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D，E，F(xiàn)，AB=AC，連接AD交⊙O于點(diǎn)H，直線HF交BC的延長線于點(diǎn)G．

（1）求證：圓心O在直線AD上．

（2）求證：點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn)．答案：證明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CD=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分線∴圓心O在直線AD上．（5分）（II）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，∴∠DHF=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O與AC相切于點(diǎn)F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn)．（10分）37.如圖，在正方體OABC-O1A1B1C1中，棱長為2，E是B1B的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

A．（2，2，1）

B．（2，2，）

C．（2，2，）

D．（2，2，）

答案：A38.為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計(jì)算K2≈0.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是（）

A．有99%的人認(rèn)為該欄目優(yōu)秀

B．有99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

C．有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

D．沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系答案：D39.下列說法正確的是（）

A．向量

與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上

B．向量與平行，則與的方向相同或相反

C．向量的長度與向量的長度相等

D．單位向量都相等答案：C40.從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，設(shè)抽得次品數(shù)為X，則E（5X+1）=______．答案：由題意，X的取值為0，1，2，則P（X=0）=1315×1214×1113=2235；P（X=1）=215×1314×1213+1315×214×1213+1315×1214×213=1235P（X=2）=1315×214×113+215×1314×113+215×114×1313=135所以期望E（X）=0×2235+1×1235+2×135=1435，所以E（5X+1）=1435×5+1=3故為3．41.將函數(shù)的圖象F按向量平移后所得到的圖象的解析式是，求向量．答案：向量解析：將函數(shù)的圖象F按向量平移后所得到的圖象的解析式是，求向量．42.拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離|MF|=4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=______．答案：∵拋物線y2=4x=2px，∴p=2，由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，∴|MF|=4=x+p2=4，∴x=3，故為：3．43.若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，則A∩B=（）

A．{2，1}

B．{（2，1）}

C．{1，2}

D．{（1，2）}答案：D44.下列物理量中，不能稱為向量的是（）A．質(zhì)量B．速度C．位移D．力答案：既有大小，又有方向的量叫做向量；質(zhì)量只有大小沒有方向，因此質(zhì)量不是向量．而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它們都是向量．故選A．45.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)與橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則拋物線方程是（）

A．x2=±8y

B．y2=±8x

C．x2=±4y

D．y2=±4x答案：A46.直線m的傾斜角為30°，則此直線的斜率等于（）A．12B．1C．33D．3答案：因?yàn)橹本€的斜率k和傾斜角θ的關(guān)系是：k=tanθ∴傾斜角為30°時(shí)，對(duì)應(yīng)的斜率k=tan30°=33故選：C．47.有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字．現(xiàn)將它連續(xù)拋擲3次，其底面落于桌面，記三次在正四面體底面的數(shù)字和為S，則“S恰好為4”的概率為______．答案：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是拋擲這顆正四面體骰子兩次，共有4×4×4=64種結(jié)果，滿足條件的事件是三次在正四面體底面的數(shù)字和為S，S恰好為4，可以列舉出這種事件，（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）共有3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=364，故為：364．48.如圖，D、E分別在AB、AC上，下列條件不能判定△ADE與△ABC相似的有（）

A．∠AED=∠B

B．

C．

D．DE∥BC

答案：C49.（選做題）已知矩陣.122x.的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．答案：矩陣M的特征多項(xiàng)式為.λ-1-2-2λ-x.=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）因?yàn)棣?=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）設(shè)λ2=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=xy，則-2x-2y=0-2x-2y=0得x=-y…（8分）令x=1則y=-1，所以矩陣M的另一個(gè)特征值為-1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=1-1…（10分）50.已知直線l的方程為x=2-4

ty=1+3

t，則直線l的斜率為______．答案：直線x=2-4

ty=1+3

t，所以直線的普通方程為：（y-1）=-34（x-2）；所以直線的斜率為：-34；故為：-34．第2卷一.綜合題(共50題)1.如圖所示，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn).求AB與平面BDF所成角的正弦值.答案：AB與平面BDF所成角的正弦值為.解析：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1）.∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=（2，a，b），∵n⊥，n⊥，∴即解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法向量n與的夾角為-，∴cos（-）===,即sin=,故AB與平面BDF所成角的正弦值為.2.已知⊙C1：x2+y2+2x+8y-8=0，⊙C2：x2+y2-4x-4y-2=0，則的位置關(guān)系為（）

A．相切

B．相離

C．相交

D．內(nèi)含答案：C3.已知復(fù)數(shù)z的模為1，且復(fù)數(shù)z的實(shí)部為13，則復(fù)數(shù)z的虛部為______．答案：設(shè)復(fù)數(shù)的虛部是b，∵復(fù)數(shù)z的模為1，且復(fù)數(shù)z的實(shí)部為13，∴(13)2+b2=1，∴b2=89，∴b=±223故為：±2234.若直線l經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A（-2，-2），則它的斜率為（）

A．-1

B．1

C．1或-1

D．0答案：B5.在下列4個(gè)命題中，是真命題的序號(hào)為（）

①3≥3；

②100或50是10的倍數(shù)；

③有兩個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形；

④等腰三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④答案：D6.已知直線l：x=2+ty=1-at（t為參數(shù)），與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點(diǎn)．

（1）若A，B的中點(diǎn)為P（2，1），求|AB|；

（2）若P（2，1）是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線l的直角坐標(biāo)方程．答案：（1）直線l：x=2+ty=1-at代入橢圓方程，整理得（4a2+1）t2-4（2a-1）t-8=0設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1+t2=4(2a-1)4a2+1，t1t2=-84a2+1，∵A，B的中點(diǎn)為P（2，1），∴t1+t2=0解之得a=12，∴t1t2=-4，∵|AP|=12+(-12)2|t1|=52|t1|，|BP|=52|t2|，∴|AB|=52（|t1|+|t1|）=52×(t1+t2)2-4t1t2=25，（2）P（2，1）是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴|AP|=12|PB|，∴1+a2|t1|=21+a2|t2|，?t1=-2t2，∴t1+t2=-t2=4(2a-1)4a2+1，t1t2=-2t

22=-84a2+1，∴t

22=44a2+1，∴16(2a-1)2(4a2+1)2=44a2+1，解得a=4±76，∴直線l的直角坐標(biāo)方程y-1=4±76（x-2）．7.若雙曲線的漸近線方程為y=±34x，則雙曲線的離心率為______．答案：由題意可得，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，ba=34，∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54．當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，ab=34，∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53，故為：53

或54．8.求兩條平行直線3x-4y-11=0與6x-8y+4=0的距離是（）

A．3

B．

C．

D．4答案：B9.甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場(chǎng)比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為.x甲，.x乙，則下列判斷正確的是（）A．.x甲＞.x乙；甲比乙成績穩(wěn)定B．.x甲＞.x乙；乙比甲成績穩(wěn)定C．.x甲＜.x乙；甲比乙成績穩(wěn)定D．.x甲＜.x乙；乙比甲成績穩(wěn)定答案：5場(chǎng)比賽甲的得分為16、17、28、30、34，5場(chǎng)比賽乙的得分為15、26、28、28、33∴.x甲=15（16+17+28+30+34）=25，.x乙=15（15+26+28+28+33）=26s甲2=15（81+64+9+25+81）=52，s乙2=15（121+4+4+49）=35.6∴.x甲＜.x乙，乙比甲成績穩(wěn)定故選D．10.一個(gè)口袋內(nèi)有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，任意取出一個(gè)，如果是黑球，則這個(gè)黑球不放回且另外放入一個(gè)白球，這樣繼續(xù)下去，直到取出的球是白球?yàn)橹梗笕〉桨浊蛩璧拇螖?shù)ξ的概率分布列及期望．答案：由題意知變量的可能取值是1，2，3，4P（ξ=1）=58，P（ξ=2）=932，P（ξ=3）=21256

P（ξ=1）=3256

∴ξ的分布列是ξ1234P58932212563256∴Eξ=1×58+2×923+3×21256+4×3256=37925611.（幾何證明選做題）若A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，∠ABC=110°，∠BCP=40°，則∠AOB的大小為______．答案：∵PC切⊙O于點(diǎn)C，OC為圓的半徑∴OC⊥PC，即∠PCO=90°∵∠BCP=40°∴∠BCO=50°由弦切角定理及圓周角定理可知，∠BOC=2∠PCB=80°∵△BOC中，∠OBC=50°，∠ABC=110°∴∠OBA=60°∵OB=OA∴∠AOB=60°故為：60°12.橢圓x216+y27=1上的點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離為53，則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離為（）A．8B．5C．274D．54答案：根據(jù)橢圓的第二定義可知M到左焦點(diǎn)F1的距離與其到左準(zhǔn)線的距離之比為離心率，依題意可知a=4，b=7∴c=3∴e=ca=34，∴根據(jù)橢圓的第二定義有：MF

1d=34∴M到左焦點(diǎn)的距離為MF1=53×34=54故選D．13.下面玩擲骰子放球游戲，若擲出1點(diǎn)或6點(diǎn)，甲盒放一球；若擲出2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)或5點(diǎn)，乙盒放一球，設(shè)擲n次后，甲、乙盒內(nèi)的球數(shù)分別為x、y．

（1）當(dāng)n=3時(shí)，設(shè)x=3，y=0的概率；

（2）當(dāng)n=4時(shí)，求|x-y|=2的概率．答案：由題意知，在甲盒中放一球概率為13，在乙盒放一球的概率為23（3分）（1）當(dāng)n=3時(shí)，x=3，y=0的概率為C03(13)3(23)0=127（6分）（2）|x-y|=2時(shí)，有x=3，y=1或x=1，y=3，它的概率為C14

(13)3(23)1+C34(13)1(23)3=4081（12分）．14.直線x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一點(diǎn)，則k的值是（）

A．

B．-

C．2

D．-2答案：B15.中，是邊上的中線（如圖）．

求證：．

答案：證明見解析解析：取線段所在的直線為軸，點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．可得，，，．，．．16.已知過點(diǎn)A（-2，m）和B（m，4）的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為（）

A．0

B．-8

C．2

D．10答案：B17.下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所需要的維修費(fèi)用y（萬元）的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

x23456y2.23.85.56.57.0（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程

y=

bx+

a；

（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？

（參考數(shù)值：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）．答案：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系描出點(diǎn)，得到散點(diǎn)圖，（2）∵5i=1xi2=4+9+16+25+36=90

且.x=4，.y=5，n=5，∴?b=112.3-5×4×590-5×16=12.310=1.23?a=5-1.23×4=0.08∴回歸直線為y=1.23x+0.08．（3）當(dāng)x=10時(shí)，y=1.23×10+0.08=12.38，所以估計(jì)當(dāng)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約為12.38萬元．18.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，下列所給四個(gè)坐標(biāo)中能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

A．

B．

C．

D．答案：D19.如圖，已知某探照燈反光鏡的縱切面是拋物線的一部分，光源安裝在焦點(diǎn)F上，且燈的深度EG等于燈口直徑AB，若燈的深度EG為64cm，則光源安裝的位置F到燈的頂端G的距離為______cm．答案：以反射鏡頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為y2=2px，依題意可點(diǎn)A（64，32）在拋物線上代入拋物線方程得322=128p解得p=8∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），而光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離正是拋物線的焦距，即4cm．故為：4．20.若A(0，2，198)，B(1，-1，58)，C(-2，1，58)是平面α內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面α的法向量a=(x，y，z)，則x：y：z=______．答案：AB=(1，-3，-74)，AC=(-2，-1，-74)，α?AB=0，α?AC=0，∴x=23yz=-43y，x：y：z=23y：y：(-43y)=2：3：(-4)．故為2：3：-4．21.（幾何證明選講選做題）

如圖，已知AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，則PC的長是______．答案：∵AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，PC⊥OP，PC交⊙O于C，∴AP×PB=PC2，∵AP=4，PB=2，∴PC2=8，解得PC=22．故為：22．22.三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若＜n1，n2＞=，則二面角A-BD-C的大小為（）

A．

B．

C．或

D．或答案：C23.某廠2011年的產(chǎn)值為a萬元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以7%的速度增加，則該廠到2022年的產(chǎn)值為______萬元．答案：2011年產(chǎn)值為a，增長率為7%，2012年產(chǎn)值為a+a×7%=a（1+7%），2013年產(chǎn)值為a（1+7%）+a（1+7%）×7%=a（1+7%）2，…，2022年的產(chǎn)值為a（1+7%）11．故為：a（1+7%）11．24.已知a=3i+2j-k，b=i-j+2k，則5a與3b的數(shù)量積等于______．答案：a=3i+2j-k=（3，2，-1），5a=（15，10，-5）b=i-j+2k=（1，-1，2），3b=（3，-3，6）5a?3b=15×3+10×（-3）+（-5）×6=-15故為：-1525.若圓O1方程為（x+1）2+（y+1）2=4，圓O2方程為（x-3）2+（y-2）2=1，則方程（x+1）2+（y+1）2-4=（x-3）2+（y-2）2-1表示的軌跡是（）

A．經(jīng)過兩點(diǎn)O1，O2的直線

B．線段O1O2的中垂線

C．兩圓公共弦所在的直線

D．一條直線且該直線上的點(diǎn)到兩圓的切線長相等答案：D26.為了參加奧運(yùn)會(huì)，對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度的數(shù)據(jù)如表所示：

甲273830373531乙332938342836請(qǐng)判斷：誰參加這項(xiàng)重大比賽更合適，并闡述理由．答案：.X甲=27+38+30+37+35+316=33S甲=946≈3.958，（

4分）.X乙=33+29+38+34+28+366=33S乙=383≈3.559（8分）.X甲=.X乙，S甲＞S乙

（10分）乙參加更合適

（12分）27.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=______噸．答案：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買400x次，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為400x?4+4x萬元，400x?4+4x≥2(400x×4)×4x=160，當(dāng)且僅當(dāng)1600x=4x即x=20噸時(shí)，等號(hào)成立即每次購買20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最?。蕿椋?0．28.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對(duì)應(yīng)密文5，7，18，16．當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，則解密得到的明文為（）A．4，6，1，7B．7，6，1，4C．6，4，1，7D．1，6，4，7答案：∵明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，∴當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，則a+2b=142b+c=92c+3d=234d=28，解得a=6b=4c=1d=7，解密得到的明文為6，4，1，7故選C．29.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線漸近線方程是y=±4x，則該雙曲線的離心率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A30.已知隨機(jī)變量X的分布列為：P（X=k）=，k=1，2，…，則P（2＜X≤4）等于（）

A.

B.

C.

D.答案：A31.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，試用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖．（尺寸不作嚴(yán)格要求，但是凡是未用鉛筆作圖不得分，隨手畫圖也不得分）答案：由題可知題目所述幾何體是正六棱臺(tái)，畫法如下：畫法：（1）、畫軸畫x軸、y軸、z軸，使∠x′O′y′=45°，∠x′O′z′=90°

（圖1）（2）、畫底面以O(shè)′為中心，在XOY坐標(biāo)系內(nèi)畫正六棱臺(tái)下底面正方形的直觀圖ABCDEF．在z′軸上取線段O′O1等于正六棱臺(tái)的高；過O1

畫O1M、O1N分別平行O’x′、O′y′，再以O(shè)1為中心，畫正六棱臺(tái)上底面正方形的直觀圖A′B′C′E′F′（3）、成圖連接AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，并且加以整理，就得到正六棱臺(tái)的直觀圖

（如圖2）．32.三行三列的方陣.a11a12

a13a21a22

a23a31a32

a33.中有9個(gè)數(shù)aji（i=1，2，3；j=1，2，3），從中任取三個(gè)數(shù)，則它們不同行且不同列的概率是（）A．37B．47C．114D．1314答案：從給出的9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，共有C39；從三行三列的方陣中任取三個(gè)數(shù)，使它們不同行且不同列：從第一行中任取一個(gè)數(shù)有C13種方法，則第二行只能從另外兩列中的兩個(gè)數(shù)任取一個(gè)有C12種方法，第三行只能從剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有C13×C12×C11=6．∴從三行三列的方陣中任取三個(gè)數(shù)，則它們不同行且同列的概率P=6C39=114．故選C．33.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)．若向量c滿足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，則c=______．答案：設(shè)c=（x，y），則c+a=（x+1，y+2），又（c+a）∥b，∴2（y+2）+3（x+1）=0．

①又c⊥（a+b），∴（x，y）?（3，-1）=3x-y=0．

②解①②得x=-79，y=-73．故應(yīng)填：(-79，-73)．34.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A．4B．6C．8D．12答案：拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2，∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，∴到準(zhǔn)線的距離是4+2=6，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是6故選B35.（1）把參數(shù)方程（t為參數(shù)）x=secty=2tgt化為直角坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)0≤t＜π2及π≤t＜3π2時(shí)，各得到曲線的哪一部分？答案：（1）利用公式sec2t=1+tg2t，得x2=1+y24．∴曲線的直角坐標(biāo)普通方程為x2-y24=1．（2）當(dāng)0≤t≤π2時(shí)，x≥1，y≥0，得到的是曲線在第一象限的部分（包括（1，0）點(diǎn)）；當(dāng)0≤t≤3π2時(shí)，x≤-1，y≥0，得到的是曲線在第二象限的部分，（包括（-1，0）點(diǎn)）．36.設(shè)α，β是方程4x2-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m為何值時(shí)，α2+β2有最小值？并求出這個(gè)最小值．答案：若α，β是方程4x2-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個(gè)實(shí)根則△=16m2-16（m+2）≥0，即m≤-1，或m≥2則α+β=m，α×β=m+24，則α2+β2=（α+β）2-2αβ=m2-2×m+24=m2-12m-1=（m-14）2-1716∴當(dāng)m=-1時(shí)，α2+β2有最小值，最小值是12．37.雙曲線的中心是原點(diǎn)O，它的虛軸長為26，右焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），直線l：x=a2c與x軸交于點(diǎn)A，且|OF|=3|OA|．過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若AP?AQ=0，求直線PQ的方程．答案：解．（Ⅰ）由題意，設(shè)曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）由已知a2+6=c2c=3a2c解得a=3，c=3所以雙曲線的方程：x23-y26=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F(xiàn)（3，0），當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，PQ方程為x=3．此時(shí)，AP?AQ≠0，應(yīng)舍去．當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-3）．由方程組x23-y26=1y=k(x-3)得（k2-2）x2-6k2x+9k2+6=0由于過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，則k2-2≠0，即k≠±2，由于△=36k4-4（k2-2）（9k2+6）=48（k2+1）＞0得k∈R．∴k∈R且k≠±2（*）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=6k2k2-2(1)x1x2=9k2+6k2-2(2)由直線PQ的方程得y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）于是y1y2=k2（x1-3）（x2-3）=k2[x1x2-3（x1+x2）+9]（3）∵AP?AQ=0，∴（x1-1，y1）?（x2-1，y2）=0即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0（4）由（1）、（2）、（3）、（4）得9k2+6k2-2-6k2k2-2+1+k2(9k2+6k2-2-36k2k2-2+9)=0整理得k2=12，∴k=±22滿足（*）∴直線PQ的方程為x-2y-3=0或x+2y-3=038.已知，，那么P（B|A）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：B39.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)，任取2個(gè)球，那么下面互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）

A．恰有1個(gè)白球；恰有2個(gè)白球

B．至少有1個(gè)白球；都是白球

C．至少有1個(gè)白球；

至少有1個(gè)紅球

D．至少有1個(gè)白球；

都是紅球答案：A40.引入復(fù)數(shù)后，數(shù)系的結(jié)構(gòu)圖為（）

A．

B．

C．

D．

答案：A41.若圓錐的側(cè)面展開圖是弧長為2πcm，半徑為2cm的扇形，則該圓錐的體積為______cm3．答案：∵圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2πcm，半徑為2cm，故圓錐的底面周長為2πcm，母線長為2cm則圓錐的底面半徑為1，高為1則圓錐的體積V=13?π?12?1=π3．故為：π3．42.數(shù)集{1，x，2x}中的元素x應(yīng)滿足的條件是______．答案：根據(jù)集合中元素的互異性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故為：x≠1且x≠12且x≠0．43.已知f（x）=1-（x-a）（x-b），并且m，n是方程f（x）=0的兩根，則實(shí)數(shù)a，b，m，n的大小關(guān)系可能是（）

A．m＜a＜b＜n

B．a(chǎn)＜m＜n＜b

C．a(chǎn)＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b答案：A44.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中點(diǎn)，則∠AED的大小為（）

A．45°

B．30°

C．60°

D．90°答案：D45.向量b與a=（2，-1，2）共線，且a?b=-18，則b的坐標(biāo)為______．答案：因?yàn)橄蛄縝與a=（2，-1，2）共線，所以設(shè)b=ma，因?yàn)榍襛?b=-18，所以ma2=-18，因?yàn)閨a|=22+1+22=3，所以m=-2．所以b=ma=-2（2，-1，2）=（-4，2，-4）．故為：（-4，2，-4）．46.若過點(diǎn)A（4，0）的直線l與曲線（x-2）2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為______．答案：設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0∵直線l與曲線（x-2）2+y2=1有公共點(diǎn)，∴圓心到直線l的距離小于等于半徑即|2k-4k|k2+1≤1，解得-33≤

k≤33∴直線l的斜率的取值范圍為[-33，33]故為[-33，33]47.已知向量=（1，1，-2），=(2，1，)，若≥0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）

A．(0，)

B．(0，]

C．（-∞，0）∪[，+∞)

D．（-∞，0]∪[，+∞)答案：C48.選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣M=0110，N=0-110．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線2x-y+1=0在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求曲線F的方程．答案：由題設(shè)得MN=01100-111=100-1．…（3分）設(shè)（x，y）是直線2x-y+1=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)（x，y）在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋▁′，y′），則有1001xy=x′y′，即x-y=x′y′，所以x=x′y=-y′…（7分）因?yàn)辄c(diǎn)（x，y）在直線2x-y+1=0上，從而2x′-（-y′）+1=0，即2x′+y′+1=0．所以曲線F的方程為2x+y+1=0．

…（10分）49.設(shè)求證：答案：證明見解析解析：證明：∵

∴∴，∴本題利用，對(duì)中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。50.直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______。答案：,或第3卷一.綜合題(共50題)1.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(-3，-1)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為______．答案：∵M(jìn)的直角坐標(biāo)為(-3，-1)，設(shè)M的極坐標(biāo)為（ρ，θ），則ρ=(-3)2+(-1)2=2，又tanθ=33，∴θ=7π6，∴M的極坐標(biāo)為（2，7π6）．2.點(diǎn)M（2，-3，1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是（）

A．（-2，3，-1）

B．（-2，-3，-1）

C．（2，-3，-1）

D．（-2，3，1）答案：A3.直線l1：x+3=0與直線l2：x+3y-1=0的夾角的大小為______．答案：由于直線l1：x+3=0的斜率不存在，故它的傾斜角為90°，直線l2：x+3y-1=0的斜率為-33，故它的傾斜角為150＞，故這兩條直線的夾角為60°，故為60°．4.函數(shù)數(shù)列{fn（x）}滿足：f1(x)=x1+x2(x＞0)，fn+1（x）=f1[fn（x）]

（1）求f2（x），f3（x）；

（2）猜想fn（x）的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．答案：（1）f2(x)=f1(f1(x))=f1(x)1+f21(x)=x1+2x2f3(x)=f1(f2(x))=f2(x)1+f22(x)=x1+3x2（2）猜想：fn(x)=x1+nx2(n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=x1+x22，已知，顯然成立②假設(shè)當(dāng)n=K（K∈N*）4時(shí)，猜想成立，即fk(x)=x1+kx2則當(dāng)n=K+1時(shí)，fk+1(x)=f1(fk(x))=fk(x)1+f2k(x)=x1+kx21+(x1+kx2)2=x1+(k+1)x2即對(duì)n=K+1時(shí)，猜想也成立．結(jié)合①②可知：猜想fn(x)=x1+nx2對(duì)一切n∈N*都成立．5.點(diǎn)P（1，3，5）關(guān)于平面xoz對(duì)稱的點(diǎn)是Q，則向量=（）

A．（2，0，10）

B．（0，-6，0）

C．（0，6，0）

D．（-2，0，-10）答案：B6.若直線l過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a=______．答案：拋物線方程整理得x2=1ay，焦點(diǎn)（0，14a）l被拋物線截得的線段長即為通徑長1a，故1a=4，a=14；故為14．7.函數(shù)y=a|x|（a＞1）的圖象是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B8.P為橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左，右焦點(diǎn)，則△PF1F2周長為______．答案：由題意知△PF1F2周長=2a+2c=10+6=16．9.（不等式選講選做題）

已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足a2+b2=1，x2+y2=3，則ax+by的最大值為______．答案：因?yàn)閍2+b2=1，x2+y2=3，由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，得3≥（ax+by）2，不且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào)，所以ax+by的最大值為3．故為：3．10.若點(diǎn)（a，9）在函數(shù)y=3x的圖象上，則tanaπ6=______．答案：將（a，9）代入到y(tǒng)=3x中，得3a=9，解得a=2．∴tanaπ6=tanπ3=3故為：311.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，抽取了總成績介于350分到650分之間的10000名學(xué)生成績，并根據(jù)這10000名學(xué)生的總成績畫了樣本的頻率分布直方圖．為了進(jìn)一步分析學(xué)生的總成績與各科成績等方面的關(guān)系，要從這10000名學(xué)生中，再用分層抽樣方法抽出200人作進(jìn)一步調(diào)查，則總成績?cè)赱400，500）內(nèi)共抽出（）

A．100人

B．90人

C．65人

D．50人

答案：B12.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD=2DB，CD=λCA+μCB，則λμ的值為______．答案：∵AD=2DB，∴CD=CA+23

AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13，μ=23∴λμ=12故為1213.已知直線l：kx-y+1+2k=0．

（1）證明l經(jīng)過定點(diǎn)；

（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程；

（3）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍．答案：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），所以，直線l經(jīng)過定點(diǎn)（-2，1）．（2）由題意得A（2k+1-k，0），B（0，2k+1），且2k+1-k＜01+2k＞0，故k＞0，△AOB的面積為S=12×2k+1k×（2k+1）=4k2+4k+12k=2k+2+12k≥4，當(dāng)且僅當(dāng)k=12時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積取最小值4，k=12，直線的方程是：x-2y+4=0．（3）由直線過定點(diǎn)（-2，1），可得當(dāng)斜率k＞0或k=0時(shí)，直線不經(jīng)過第四象限．故k的取值范圍為[0，+∞）．14.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸，拋物線上一點(diǎn)M（3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值及拋物線方程．答案：∵拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)M（3，m）∴設(shè)拋物線方程為y2=2px∵其上一點(diǎn)M（3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，∴3+p2=5，可得p=4∴拋物線方程為y2=8x．15.已知橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，A在橢圓上，B在F1A的延長線上，且|AB|=|AF2|，則B點(diǎn)的軌跡形狀為（）

A．橢圓

B．雙曲線

C．圓

D．兩條平行線答案：C16.以過橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與其右準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（）

A．相交

B．相切

C．相離

D．不能確定答案：C17.當(dāng)x∈N+時(shí)，用“＞”“＜”或“=”填空：

(12)x______1，2x______1，(12)x______2x，(12)x______(13)x，2x______3x．答案：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)x∈N+時(shí)，(12)x＜1，2x＞1，則2x＞(12)x，且2x＜3x，則(12)x＞(13)x，故為：＜、＞、＜、＞、＜．18.若函數(shù)y=ax（a＞1）在[0，1]上的最大值與最小值之和為3，則a=______．答案：①當(dāng)0＜a＜1時(shí)函數(shù)y=ax在[0，1]上為單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值分別為1，a∵函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值和為3∴1+a=3∴a=2（舍）②當(dāng)a＞1時(shí)函數(shù)y=ax在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)∴函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值分別為a，1∵函數(shù)y=ax在[0，1]上的最大值與最小值和為3∴1+a=3∴a=2故為：2．19.若點(diǎn)（2，-2）在圓（x-a）2+（y-a）2=16的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．-2＜a＜2

B．0＜a＜2

C．a(chǎn)＜-2或a＞2

D．a(chǎn)=±2答案：A20.在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的圖象如圖，則a、b、c、d、1之間從小到大的順序是______．答案：作直線x=1與各圖象相交，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為底數(shù)，故從下到上依次增大．所以b＜a＜1＜d＜c故為：b，a，1，d，c21.雙曲線（n＞1）的兩焦點(diǎn)為F1、、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|=2，則△P

F1F2的面積為（）

A.

B．1

C．2

D．4答案：B22.一個(gè)口袋內(nèi)有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，任意取出一個(gè)，如果是黑球，則這個(gè)黑球不放回且另外放入一個(gè)白球，這樣繼續(xù)下去，直到取出的球是白球?yàn)橹梗笕〉桨浊蛩璧拇螖?shù)ξ的概率分布列及期望．答案：由題意知變量的可能取值是1，2，3，4P（ξ=1）=58，P（ξ=2）=932，P（ξ=3）=21256

P（ξ=1）=3256

∴ξ的分布列是ξ1234P58932212563256∴Eξ=1×58+2×923+3×21256+4×3256=37925623.已知點(diǎn)A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點(diǎn)Q．

（1）證明點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線，并求出軌跡方程．

（2）若(BQ+BA)?QA=0，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．答案：（1）∵點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上，∴|QP|=|QA|，∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．∴點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線．（4′）其軌跡方程是x29-y216=1．（7′）（2）以A、B、Q為三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形ABQC，則BQ+BA=BC∵(BQ+BA)?QA=0，∴BC?QC=0，∴平行四邊形ABQC是菱形，∴|BA|=|BQ|．（8′）∴點(diǎn)Q在圓（x+5）2+y2=100上．解方程組(x+5)2+y2=100x29-y216=1．（10′）得Q(-395，±485)或Q(215，±865)．（12′）24.過點(diǎn)P（4，-1）且與直線3x-4y+6=0垂直的直線方程是（

）

A．4x+3y-13=0

B．4x-3y-19=0

C．3x-4y-16=0

D．3x+4y-8=0答案：A25.某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．

（Ⅰ）建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程；

（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m3，塔壁厚度不計(jì)，π取3.14）．答案：（I）如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸．設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，則a=12AA′=7．又設(shè)B（11，y1），C（9，y2），因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有11272-y21b2=1，①9272-y22b2=1，②由題意知y2-y1=20．③由①、②、③得y1=-12，y2=8，b=72．故雙曲線方程為x249-y298=1；（II）由雙曲線方程得x2=12y2+49．設(shè)冷卻塔的容積為V（m3），則V=π∫y2y1x2dy=π∫8-12(12y2+49)dy=π(16y3+49y)|8-12，∴V≈4.25×103（m3）．答：冷卻塔的容積為4.25×103（m3）．26.已知變量a，b已被賦值，要交換a、b的值，應(yīng)采用的算法是（）

A．a(chǎn)=b，b=a

B．a(chǎn)=c，b=a，c=b

C．a(chǎn)=c，b=a，c=a

D．c=a，a=b，b=c答案：D27.兩圓相交于點(diǎn)A（1，3）、B（m，-1），兩圓的圓心均在直線x-y+c=0上，則m+c的值為（

）

A．3

B．2

C．-1

D．0答案：A28.設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①a+b；②a-b；③a+c；④b+c；⑤a+b+c中選出使其與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為______．答案：構(gòu)成基底只要三向量不共面即可，這里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以選擇的．故為：③④⑤（不唯一，也可以有其它的選擇）29.拋物線x2+y=0的焦點(diǎn)位于（）

A．y軸的負(fù)半軸上

B．y軸的正半軸上

C．x軸的負(fù)半軸上

D．x軸的正半軸上答案：A30.已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為

______．答案：如圖，過雙曲線的頂點(diǎn)A、焦點(diǎn)F分別向其漸近線作垂線，垂足分別為B、C，則：|OF||OA|=|FC||AB|?ca=62=3.故為331.求證：若圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則從對(duì)角線交點(diǎn)到一邊中點(diǎn)的線段長等于圓心到該邊對(duì)邊的距離．答案：以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，（如圖所示）

設(shè)A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），則CD的中點(diǎn)E（c2，d2），AB的中點(diǎn)H（-a2，-b2）．又圓心G到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故圓心G的橫坐標(biāo)等于AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，等于c-a2，圓心G的縱坐標(biāo)等于BD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，等于d-b2．即圓心G（c-a2，d-b2），∴|OE|2=c2+d24，|GH|2=(c-a2+a2)2+(d-b2+b2)2=c2+d24，∴|OE|=|GH|，故要證的結(jié)論成立．32.把矩陣變?yōu)楹?，與對(duì)應(yīng)的值是（）

A．

B．

C．

D．答案：C33.函數(shù)y=x2x4+9（x≠0）的最大值為______，此時(shí)x的值為______．答案：y=x2x4+9=1x2+9x2≤129=16，當(dāng)且僅當(dāng)x2=9x2，即x=±3時(shí)取等號(hào)．故為：16