橢圓的簡單幾何性質(zhì)(3課時)教學用

橢圓的簡單幾何性質(zhì)1橢圓的定義圖形標準方程焦點坐標a,b,c的關系焦點位置的判斷F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)

橢圓分母看大小焦點隨著大的跑12yoFFMx1oFyx2FMcabM橢圓簡單的幾何性質(zhì)范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中（如圖）oyB2B1A1A2F1F2cab1.觀察：x,y的范圍？2.思考：如何用代數(shù)方法解釋x,y的范圍？

-a≤x≤a,-b≤y≤b

一.范圍二、橢圓的頂點令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點（），令y=0，得x=？,說明橢圓與x軸的交點（）。*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。焦點總在長軸上!三.橢圓的對稱性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）

把(X)換成(-X),方程不變,說明橢圓關于()軸對稱；把(Y)換成(-Y),方程不變,說明橢圓關于()軸對稱；把(X)換成(-X),(Y)換成(-Y),方程還是不變,說明橢圓關于(

)對稱；YX原點

所以，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x練習：根據(jù)前面所學有關知識畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

四、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：1）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁因為a>c>0，所以0<e<1[2]離心率對橢圓形狀的影響：2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓3）特例：e=0，則a=b，則c=0，兩個焦點重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）yOx標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關系-a≤x≤a,-b≤y≤b關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)知識歸納a2=b2+c2標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關系關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例題1:

求橢圓9x2+4y2=36的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標。橢圓的長軸長是:離心率:焦點坐標是:四個頂點坐標是:橢圓的短軸長是:2a=62b=4解題步驟：1、將橢圓方程轉化為標準方程求a、b：2、確定焦點的位置和長軸的位置.解：把已知方程化成標準方程四、例題講解：練習:求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標。解：把已知方程化成標準方程橢圓的長軸長是:離心率:焦點坐標是:四個頂點坐標是:橢圓的短軸長是:2a=102b=8例2:

求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經(jīng)過點Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解：⑴方法一：設橢圓方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點的坐標代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以橢圓的標準方程為方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在x軸上，且點P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標準方程為

（2）離心率為，經(jīng)過點（2,0）練習：橢圓的一個頂點為,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置橢圓的標準方程為：；橢圓的標準方程為：；解：（1）當為長軸端點時，，，（2）當為短軸端點時，,，綜上所述，橢圓的標準方程是或橢圓的簡單幾何性質(zhì)2標準方程范圍對稱性頂點坐標焦點坐標半軸長離心率a、b、c的關系關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱長半軸長為a,短半軸長為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例1例2[分析]

關鍵是找到a，c所滿足的方程，根據(jù)點M在橢圓上解決．1.橢圓以坐標軸為對稱軸，離心率，長軸長為6，則橢圓的方程為（）(A)(B)(C)(D)或或C2.若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率e=__________3.已知橢圓的焦距是長軸長與短軸長的等比中項，則其離心率e=__________已知橢圓的離心率，求的值由，得：解：當橢圓的焦點在軸上時，，，得．

當橢圓的焦點在軸上時，，，得．由，得，即．∴滿足條件的或．練習4：已知橢圓的離心率，求的值5、設橢圓的焦點分別F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于橢圓長軸的垂線交橢圓于P，

△F1

PF2是等腰三角形，則橢圓的離心率是________1.基本量:a、b、c、e、幾何意義：a-長半軸、b-短半軸、c-半焦距，e-離心率；

相互關系：橢圓中的基本元素2.基本點：頂點、焦點、中心3.基本線:對稱軸（共兩條線），準線焦點總在長軸上!課堂小結-—準線橢圓的簡單幾何性質(zhì)3直線與橢圓的位置關系種類:相離(沒有交點)相切(一個交點)相交(二個交點)點和橢圓的位置關系：類比點和圓的位置關系

直線與橢圓的位置關系的判定代數(shù)方法1.位置關系：相交、相切、相離2.判別方法(代數(shù)法)

聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二元一次方程組

(1)△>0直線與橢圓相交有兩個公共點；

(2)△=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點；

(3)△<0直線與橢圓相離無公共點．通法知識點1.直線與橢圓的位置關系例1：直線y=x+1與橢圓恒有公共點,求m的取值范圍。題型一：直線與橢圓的位置關系變式練習：y=kx+1與橢圓恰有公共點，則m的范圍（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）D、（1，+∞

）練習1.K為何值時,直線y=kx+2和曲線2x2+3y2=6有兩個公共點?有一個公共點?沒有公共點?練習2.無論k為何值,直線y=kx+2和曲線交點情況滿足()A.沒有公共點B.一個公共點C.兩個公共點D.有公共點Dlmmoxyoxy思考：最大的距離是多少？設直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點，直線P1P2的斜率為k．弦長公式：知識點2：弦長公式可推廣到任意二次曲線例3：已知斜率為1的直線L過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，求弦AB之長．例5：已知橢圓過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被

平分，求此弦所在直線的方程.解：韋達定理→斜率韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標公式來構造知識點3：中點弦問題例5已知橢圓過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率．點作差知識點3：中點弦問題點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率．直線和橢圓相交有關弦的中點問題，常用設而不求的思想方法．例5已知橢圓過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0從而A,B在直線x+2y-4=0上而過A,B兩點的直線有且只有一條解后反思：中點弦問題求解關鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，練習：P49：A8例6、如圖，已知橢圓與直線x+y-1=0交于A、B兩點，AB的中點M