現(xiàn)代控制第四章

第4章

李雅普諾夫穩(wěn)定性哈爾濱工業(yè)大學(xué)HarbinInstituteofTechnologyStabilityTheoryofLyapunov任課教師：楊慶俊4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫第一法（間接法）4.3李雅普諾夫第二法（直接法）4.4線性系統(tǒng)的李雅譜諾夫分析本章目錄第一法的不足：4.2李雅普諾夫第一法平衡狀態(tài)處進(jìn)行線性化，具有近似性。不能給出穩(wěn)定性的范圍。一個(gè)振動(dòng)例子：4.3李雅普諾夫第二法如果存在能量衰減，最終會(huì)停在平衡位置，此時(shí)能量最小。彈性棒k小球m給我們的啟示：4.3李雅普諾夫第二法可否根據(jù)能量函數(shù)及其變化，來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？例如用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t)表示系統(tǒng)能量。表示系統(tǒng)能量的變化。能量大能否根據(jù)能量函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性，來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？4.3李雅普諾夫第二法利用系統(tǒng)能量函數(shù)，并通過(guò)及其導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。不過(guò)，并非所有的系統(tǒng)都能找到一個(gè)能量函數(shù)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、抽象數(shù)學(xué)系統(tǒng)等。構(gòu)造一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，用來(lái)代替能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)定義4.3.1正定函數(shù)：4.3李雅普諾夫第二法

V(x)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；

V(x)=0；當(dāng)時(shí)，。則稱是正定的（正半定）。如果則稱是負(fù)定的（負(fù)半定）。

是向量的標(biāo)量函數(shù)，如果滿足：例4.3.1判斷一下函數(shù)的正定性。4.3李雅普諾夫第二法

正定負(fù)半定負(fù)定李雅普諾夫函數(shù)：4.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫函數(shù)比能量函數(shù)更為一般，應(yīng)用也更廣泛，但該函數(shù)構(gòu)造并非易事。目前沒(méi)有一個(gè)通用的構(gòu)造方法，通?？蛇x二次型。正定對(duì)稱矩陣?yán)缯ê瘮?shù)與二次型4.3李雅普諾夫第二法若標(biāo)量函數(shù)正定稱P正定正定函數(shù)與二次型4.3李雅普諾夫第二法P正定的判定：1）順序主子式均大于0正定函數(shù)與二次型4.3李雅普諾夫第二法P正定的判定：2）全部特征值>0下面給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，每個(gè)定理前，首先給出基本思路。4.3李雅普諾夫第二法第二法穩(wěn)定性定理的基本思路：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.1a：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；是負(fù)定的。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：定理4.3.1a：4.3李雅普諾夫第二法

如果隨著，有，則為大范圍一致漸近穩(wěn)定。

在上述條件下，即V的等值面擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間條件下，能保證在全局范圍例4.3.2：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)計(jì)算平衡態(tài)2)選擇二次型函數(shù)4.3李雅普諾夫第二法3)計(jì)算導(dǎo)數(shù)負(fù)定正定4)結(jié)論系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定例4.3.3：4.3李雅普諾夫第二法已知?dú)鈴椈上到y(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)計(jì)算平衡態(tài)2)選擇二次型函數(shù)4.3李雅普諾夫第二法3)計(jì)算導(dǎo)數(shù)負(fù)定正定4)結(jié)論系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定另一種情況：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.1b：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；

是負(fù)半定的；對(duì)任意和任意的，在時(shí)不恒等于零。對(duì)于系統(tǒng)那么原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：例4.3.4：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。1)平衡點(diǎn)2)正定函數(shù)3)求導(dǎo)半負(fù)定圖解：4.3李雅普諾夫第二法一致漸近穩(wěn)定初值(0.1,1)李雅普諾夫意義下穩(wěn)定：4.3李雅普諾夫第二法

定理4.3.3：4.3李雅普諾夫第二法

是正定的；

是負(fù)半定的；

某點(diǎn)起恒為0。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：對(duì)于系統(tǒng)那么原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定！4.3李雅普諾夫第二法

平衡點(diǎn)附近等幅震蕩例4.3.5：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)平衡點(diǎn)2)V(x,t)4.3李雅普諾夫第二法3)求導(dǎo)4)判定大范圍一致穩(wěn)定不漸近！定理4.3.4：4.3李雅普諾夫第二法

在原點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是正定的；在同樣的鄰域中也是正定的。或者半正定，但不恒為0。如果存在一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)并且滿足條件：對(duì)于系統(tǒng)那么原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定：4.3李雅普諾夫第二法

例4.3.6：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。1)平衡點(diǎn)2)正定函數(shù)3)求導(dǎo)半正定4.3李雅普諾夫第二法初值(0.001，0)不穩(wěn)定！例4.3.7：4.3李雅普諾夫第二法已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程試判斷其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。1)計(jì)算平衡態(tài)2)選擇二次型函數(shù)4.3李雅普諾夫第二法3)計(jì)算導(dǎo)數(shù)正定正定4)結(jié)論系統(tǒng)不穩(wěn)定關(guān)于第二法幾點(diǎn)說(shuō)明：4.3李雅普諾夫第二法李雅普諾夫函數(shù)選取不唯一。充分性。不僅對(duì)線性系統(tǒng)，而且對(duì)非線性系統(tǒng)，也能提供大范圍穩(wěn)定性的信息。對(duì)于某特定系統(tǒng)，如果未找到一個(gè)合適的李氏函數(shù)證明系統(tǒng)穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定或不穩(wěn)定，就不能給出任何穩(wěn)定性信息。如果系統(tǒng)的原點(diǎn)是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)一定存在。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：對(duì)給定正定實(shí)對(duì)稱陣Q，存在正定實(shí)對(duì)稱陣P滿足：此時(shí)證：負(fù)定4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析李雅普諾夫方程Q可取為對(duì)角陣，甚至單位陣，以簡(jiǎn)化計(jì)算。P中含有個(gè)未知數(shù)列個(gè)方程4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析例4.4.1：解：4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析P正定系統(tǒng)穩(wěn)定4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析Matlab求解P=lyap(AT,Q)4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性非定常：4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性離散：正定，負(fù)定，則穩(wěn)定。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性時(shí)變離散：形式相同，但求解大為復(fù)雜。4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析線性系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化：不考慮終值，不考慮功耗，時(shí)間拉長(zhǎng)至無(wú)窮，則退化為：