《18.2 矩形的性質(zhì)、矩形的判定》課件（含習(xí)題）

18.2.1矩形第十八章平行四邊形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)證明矩形的性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單的運(yùn)用.

（重點(diǎn)）活動(dòng):觀察下面的圖形,它們都含有平行四邊形,請(qǐng)把它們?nèi)空页鰜?lái).問(wèn)題：上面的平行四邊形有什么共同的特征？導(dǎo)入新課圖片引入講授新課矩形的性質(zhì)一活動(dòng)：利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變化,請(qǐng)同學(xué)們注意觀察.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形思考：矩形與平行四邊形有什么關(guān)系呢？活動(dòng)探究：準(zhǔn)備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位,測(cè)量身邊的矩形（如書本,課桌,鉛筆盒等）的四條邊長(zhǎng)度、四個(gè)角度數(shù)和對(duì)角線的長(zhǎng)度及夾角度數(shù),并記錄測(cè)量結(jié)果.（2）根據(jù)測(cè)量的結(jié)果,猜想結(jié)論.當(dāng)矩形的大小不斷變化時(shí),

發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（3）通過(guò)測(cè)量、觀察和討論,你能得到矩形的特殊性質(zhì)嗎？ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測(cè)量（實(shí)物）（形象圖）

矩形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質(zhì),但平行四邊形不一定是矩形.歸納矩形集合平行四邊形集合填一填根據(jù)上面探究出來(lái)結(jié)論填在下面橫線上.角：

.對(duì)角線：

.ABCD四個(gè)角為90°相等O證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形.

∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的對(duì)角相等)

AB∥DC(矩形的對(duì)邊平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.

又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.證明性質(zhì):已知：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對(duì)角線AC與DB相較于點(diǎn)O.求證：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; （2）AC=DB.ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的對(duì)邊相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.1.矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角.2.矩形的對(duì)角線相等.性質(zhì)ABCDO做一做：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的矩形紙片,折一折,觀察并思考.

（1）矩形是不是中心對(duì)稱圖形?如果是,那么對(duì)稱中心是什么？（2）矩形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是,那么對(duì)稱軸有幾條?矩形的性質(zhì)（除中心對(duì)稱外）對(duì)稱性：

.對(duì)稱軸：

.軸對(duì)稱圖形2條例2如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),AE=AD,DF⊥AE

,垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=

DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.直角三角形斜邊上中線二A

B

C

D

O

活動(dòng)：如圖，一張矩形紙片，沿著對(duì)角線剪去一半，你能得到什么結(jié)論？BCOA

Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長(zhǎng)度與斜邊AC有什么關(guān)系？1212BO=BD=AC猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.試給出數(shù)學(xué)證明.OCBAD證明:延長(zhǎng)BO至D,

使OD=BO,

連結(jié)AD、DC.∵AO=OC,BO=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC=90°∴平行四邊形ABCD是矩形∴AC=BD已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO=

AC?∴BO=BD=AC1.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半性質(zhì)例1如圖,在矩形ABCD中,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=4

,求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=

BD(矩形的對(duì)角線相等).

OA=

OC=

AC,OB=OD=

BD, (矩形對(duì)角線相互平分) ∴OA=OD.ABCDO典例精析ABCDO∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,（矩形的四個(gè)角都是直角）∴BD

=2AB

=

2×4=8.提示：∠AOD=120°→

∠AOB=60°→OA=OB=AB

→

AC=2OA=2×4=8.你還有其他解法嗎？練一練：根據(jù)右圖填空已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,則AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105當(dāng)堂練習(xí)1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是

()

A.對(duì)角線相等B.對(duì)邊相等

C.對(duì)角相等D.對(duì)角線互相平分2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長(zhǎng)為

()

A.13B.6C.6.5D.不能確定

3.若矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角為40°,則兩條對(duì)角線相交的銳角是()

A.20°B.40°C.80°D.10°ACC4.如圖,四邊形ABCD是矩形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：BD=BE,（2）若∠DBC=30°,

BO=4,求四邊形ABED的面積.ABCDOE（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE,∴BD=BE.(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°,∴CD=BD=×8=4,∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在Rt△BCD中,BC=∴四邊形ABED的面積= (4+8)×

= .ABCDOE課堂小結(jié)矩形的性質(zhì)具有平行四邊行的一切性質(zhì)四個(gè)內(nèi)角都是直角，兩條對(duì)角線相等軸對(duì)稱圖形有兩條對(duì)稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半第十八章平行四邊形18.2.1矩形第2課時(shí)矩形的判定情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解并掌握矩形的判定定理．（重點(diǎn)）2．能應(yīng)用矩形的判定解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題.(難點(diǎn))導(dǎo)入新課問(wèn)題引入假如你是做窗框的師傅，你有什么方法檢驗(yàn)?zāi)阕龅倪@個(gè)窗框是矩形？（直角尺等）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.你還有其它的方法嗎？思考講授新課矩形的判定定理1一活動(dòng)1:利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示,拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)時(shí),注意觀察兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度.問(wèn)題1:我們會(huì)看到對(duì)角線會(huì)隨著∠α變化而變化,當(dāng)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等時(shí),平行四邊形有什么特征？α猜想：當(dāng)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等時(shí),平行四邊形是矩形.已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對(duì)角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=

DC,BC

=CB,AC

=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC

=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC

+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.定理

例1如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，典例精析∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.

例2已知：如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOABCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的對(duì)角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.若變?yōu)椋篍、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，你會(huì)嗎？矩形的判定定理2二活動(dòng)2:李芳同學(xué)通過(guò)畫“邊－直角、邊－直角、邊－直角、邊”這樣四步畫出一個(gè)四邊形.①②③④問(wèn)題2:李芳覺得按照以上步驟可以得到一個(gè)矩形.你認(rèn)為她的判斷正確嗎？如果正確,你能證明嗎？已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.定理例3已知：如圖，□

ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．證明：在□

ABCD中，AD∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的角平分線ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=900當(dāng)堂練習(xí)1.下列各句判定矩形的說(shuō)法是否正確？（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（6）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（7）對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（4）有三個(gè)角都相等的四邊形是矩形;××××√√√√（8）一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形；2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠

ACN、∠CAF的角平分線,則四邊形ABCD是（）

A.菱形B.平行四邊形C.矩形 D.不能確定DEFMNQPABCC3.如圖ABCD中,∠1=∠2中.此時(shí)四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？ABCDO12