理論力學 15 虛位移原理及其應用

15虛位移原理及應用質點系可分為自由質點系和非自由質點系。自由質點系：質點系的各質點不受任何限制，可以在空間自由運動，它們的運動軌跡決定于質點系的外力和內力。例如，各星體組成的太陽系。

非自由質點系：質點系的各質點受到一定限制，在空間不能自由運動，它們的位置或速度必須遵循一定的限制條件。例如，用剛桿連接的兩質點，它們之間的距離保持不變。

矢量靜力學（Vectorial

statics）：以靜力學公理為基礎，以矢量分析為特點，通過主動力與約束力的關系表達了剛體的平衡條件。剛體的平衡條件對于任意非自由質點系來說，只是必要的，并非充分的。分析靜力學（Analyticalstatics）：用數學分析的方法研究非自由質點系的平衡問題，平衡條件表現為主動力在的虛位移上所做虛功的關系。虛位移原理（Principleofvirtualdisplacement）：

給出任意非自由質點系平衡的必要與充分條件，是解決質點系平衡問題的普遍原理。本章重點虛位移、理想約束的概念，應用虛位移原理求解物體系的平衡問題。

本章難點廣義坐標、廣義力的概念，廣義坐標形式的虛位移原理。15.1約束及其分類

15.1.1約束與約束方程位形（Configuration）：質點系內各質點在空間的位置的集合。約束（Constraints）：在非自由質點系中，那些預先給定的限制質點系位形或速度的運動學條件。例如，限制剛體內任意兩點間的距離不變的條件，限制車輪在直線軌道上滾動而不滑動的條件約束方程（Contraintequations）：限制條件的數學方程式。例：

15.1.2約束分類

15.1.2.1定常約束和非定常約束定常約束或穩(wěn)定約束（Steadyconstraint）：約束方程中不顯含時間t，即約束不隨時間而變。以上各例都是定常約束。

非定常約束（Unsteadyconstraint）：約束方程中顯含t。約束方程中顯含時間t。懸掛點移動的單擺的約束是非定常約束。圖15-1中的單擺，懸掛點O若以勻速v沿x軸向右運動，約束方程成為

15.1.2.2雙面約束與單面約束雙面約束（Bilateralconstraint）：約束方程中用等號表示的約束。能限制兩個相反方向的運動。由不等式表示的約束。單面約束（Unbilateralconstraint）：圖15-1中的單擺，將擺桿以細繩代替，因繩子不能受壓，約束方程成為

15.1.2.3完整約束與非完整約束約束不僅對質點系的幾何位形起限制作用，而且還可能與時間、速度有關。約束方程的一般形式可表示為（15-1）約束方程中顯含坐標對時間的導數，稱運動約束。約束方程中不顯含坐標對時間的導數，稱幾何約束。運動約束能積分成有限形式的約束。完整約束（Holonomicconstraint）：例如約束方程可以積分為常數，故為完整約束。幾何約束也屬完整約束。幾何約束方程的一般形式為（15-2）幾何約束及可積分的運動約束統(tǒng)稱為完整約束。（15-3）含有坐標導數的方程不能積分成有限形式的約束非完整約束（Nonholonomicconstraint）：本章只討論雙面、定常的幾何約束。其約束方程的一般形式為15.2虛位移與自由度

15.2.1虛位移質點或質點系在給定位置（或瞬時），為約束所容許的任何無限小位移，稱為質點或質點系在該位置的虛位移（Virtualdisplacement）。d是變分（Variation）符號。dr表示函數r(t)的變分。變分運算與微分運算相類似。例如：x=2sinj

，

dx=2cosj

dj。虛線位移：，虛角位移：。，質點系的虛位移是一組虛位移，而且彼此并不獨立；不同位置，質點或質點系的虛位移并不相同，虛位移必須指明給定的位置（或瞬時）。虛位移必須為約束所容許，必須是無限小的。如圖15-4所示曲柄滑塊機構：虛位移是人為假設的，并非真實的位移。在系統(tǒng)的約束所容許的前提下，可以給定系統(tǒng)任意虛位移。同時虛位移又完全取決于約束的性質及其限制條件，不是虛無飄緲，也不可隨心所欲地假設。實位移取決于作用于系統(tǒng)上的主動力以及所經歷的時間，其位移可以是無限小的，也可以是有限值，其方向是惟一的。虛位移與主動力和時間無關，虛位移只能是無限小值，方向卻可以不止一個。在定常約束條件下，質點系在某位置所發(fā)生的微小實位移必是其虛位移中的一個（或一組）。由于約束的限制，質點系內各質點的虛位移并不獨立。質點系獨立的虛位移（坐標或坐標變分）數目，稱為質點系的自由度（Degreeoffreedom）。

15.2.2自由度

自由質點系自由度：一空間自由質點：（

x,y,z)3個自由度。一空間自由質點系：(xi,

yi,zi)(i=1,2……n)3n個自由度。一平面自由質點：（

x,y,z)2個自由度。一平面自由質點系：(xi,

yi,zi)(i=1,2……n)2n個自由度。定常幾何約束的質點系，n個質點，受到s個約束，(3n-s)個獨立坐標?？臻g：其自由度為

k=3n-s。平面：其自由度為

k=2n-s。

非自由質點系自由度：

例如，前述曲柄滑塊機構中，確定曲柄連桿機構位形，只須確定A、B兩點在平面內的位形，A、B兩點坐標

xA、yA、xB、yB

須滿足三個約束方程，因此系統(tǒng)有一個自由度。許多問題中，采用直角坐標確定系統(tǒng)的位形并不方便。取3n-s個獨立的參數便能完全確定系統(tǒng)的位形，這些參數可以是長度、角度、弧長等。能夠完全確定質點系位形的獨立參數，稱為系統(tǒng)的廣義坐標（Generalizedcoordinates）。對于定常的幾何約束系統(tǒng)，廣義坐標的數目就等于系統(tǒng)的自由度數。

15.2.3廣義坐標廣義坐標以表示。

任一瞬時系統(tǒng)中每一質點的矢徑和直角坐標都可以表示為廣義坐標的函數，即如圖15-5所示雙擺。質點系由兩個質點組成，受到兩個幾何約束，廣義坐標數（或自由度數）為2，可以選取角j1和j2作為廣義坐標，j1和j2相互獨立。

15.2.4虛位移分析

15.2.4.1幾何法應用幾何學或運動學的方法求各點虛位移間的關系。首先根據系統(tǒng)的約束條件，確定自由度，給定虛位移，畫出虛位移圖，然后應用運動學的方法求有關點虛位移間的關系。

質點的無限小位移與該點的速度成正比，即dr=v

dt。兩質點無限小位移大小之比等于兩點速度大小之比。兩質點虛位移大小之比等于對應點虛速度大小之比?？梢詰眠\動學中的速度分析方法（如瞬心法、速度投影法、速度合成定理等）去建立虛位移間的關系。

例如圖15-4（a）中，連桿AB作平面運動，其瞬心為P，A、B兩點虛位移大小之比為

15.2.4.2解析法通過變分運算建立虛位移間的關系。一般情況下，將質點系中各質點的矢徑或直角坐標先表示為廣義坐標的函數，再通過一階變分，可得稱為廣義虛位移（Generalizedvirtualdisplacement）15.3虛位移原理作用于質點上的力在其虛位移上所作的功。設作用于質點上的力F，質點的虛位移為dr，則力F在虛位移dr上的虛功為

15.3.1虛功（Virtualwork）虛功只有元功的形式，其計算同力在真實小位移上所做的元功。（15-10）

15.3.2理想約束若約束反力在質點系的任一組虛位移上所作虛功之和等于零，則稱此約束為理想約束（Idealconstraint）。（15-11）理想約束條件：具有雙面、定常、理想約束的靜止質點系，其繼續(xù)保持靜止的充分與必要條件是：所有主動力在質點系任何虛位移上的虛功之和等于零。

15.3.3虛位移原理（15-12）（15-13）虛功方程（Equationofvirtualwork），虛功方程又稱為靜力學普遍方程。虛位移原理是虛功原理之一。

必要性證明：系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，則系統(tǒng)內每個質點必須處于靜止。系統(tǒng)內任一質點的主動力Fi

和約束反力FNi

應滿足平衡條件給系統(tǒng)一組虛位移dri（i=1,2,…,n），每個質點上作用力虛功之和等于零。理想約束

故充分性證明：

反證法。設在條件下，系統(tǒng)不平衡，則有些質點（至少一個）必進入運動狀態(tài)。質點系原來處于靜止，一旦進入運動狀態(tài)，其動能必然增加，即在實位移dr中，。對于定常雙面約束，可取微小實位移作為虛位移，即理想約束矛盾15.4虛位移原理的應用求解的問題：（1）求平衡時主動力之間的關系；（2）確定系統(tǒng)的平衡位置；（3）求靜定結構的約束反力。一般步驟：（1）以整個系統(tǒng)為對象，分析主動力。（2）分析系統(tǒng)的自由度，給出虛位移，作虛位移圖，求虛位移間的關系。（3）列虛功方程求解。例15-1

如圖15-7示機構中，曲柄OA上作用有力偶M，滑塊D上作用水平力F，機構處于平衡。設曲柄長OA=r，q角已知，不計摩擦，試求F與M間的關系。解：（1）取系統(tǒng)為研究對象，受F和力偶M作用。（2）系統(tǒng)具有一個自由度，即有一個獨立的虛位移。取桿OA虛轉角dj

為獨立虛位移。A、B、D點的虛位移如圖15-7所示。根據虛速度法，則有

（3）根據虛功方程得

例15-2

如圖15-8所示機構中，桿AB與BC的長度均為l，B點掛有重為G的重物，D、E兩點用彈簧連接，BD=BE=b。已知彈簧原長為l0，剛度系數為k，不計各桿自重，試求機構的平衡位置（以

q表示）。解：（1）以機構系統(tǒng)為研究對象。作功的力有重力G和彈簧的內力。在平衡位置時，彈簧的變形量E、D兩點的彈性力的大小為（2）機構有一個自由度，取q

角為廣義坐標。

（3）根據虛功方程得

以xED表示E、D兩點間的相對坐標，應用解析法求虛位移。對如圖15-8所示Axy坐標系變分例15-3多跨靜定如圖15-9（a）所示。求在荷載F1、F2作用下，支座D的約束反力。已知F1=10kN，F2=20kN，圖中的長度單位為m。解:如圖15-9（a）所示梁的自由度數等于零，不存在任何為約束所允許的位移。為了用虛位移原理求解支座D的約束反力，將支座D解除，代之以約束反力FND，得到具有一個自由度的系統(tǒng)。取B點的豎向位移作廣義坐標，給B點以虛位移drB[見圖15-9（b）]。

（3）根據虛功方程得

由幾何條件不難將各主動力作用點的虛位移表示為廣義坐標變分的函數[見圖15-9（b）

]：，。試求固定端的反力偶和支座C的反力。

例15-4在如圖15-10(a)所示的結構中，已知：，

（1）求固定端A的反力偶。將固定端A的轉動約束解除，而代之以反力偶，則桿可繞A轉動，但不能沿任何方向移動，因此應將固定端以固定鉸支座代替[見圖15-10（b）]。此時系統(tǒng)具有一個自由度，桿AB作定軸轉動，桿BC作平面運動。給桿AB以虛轉角dj

，則一般情況下，每次只解除與某個未知力相應的約束，使系統(tǒng)成為一個自由度，以便分析有關虛位移間的關系。解：本題結構為靜定結構，其自由度為零。欲求某處反力時，可解除該處約束，代以相應的未知力，并視其為主動力計算虛功，仍由虛位移原理求解。

（2）求反力FC。將可動鉸支座C去掉，代以約束反力FC。AB部分仍為靜定結構，桿BC只能繞B鉸作定軸轉動。給BC桿虛轉角dj，[見圖15-10（c）]

FC=14/4=3.5kN討論：若欲求固定端的水平及豎向反力，分別解除其水平及豎向約束，將固定端以定向支座代替（見圖15-11）。例15-5如圖15-12所示桁架中，AB=BC=AC=l，AD=DC=l/，節(jié)點D作用有鉛垂力F。試求桿BD的受力。

解：

本題求靜定桁架桿的內力，可將該桁架桿切斷，并代以內力FN、，并視其為主動力，則應用虛位移原理可以求解。

（1）研究整個桁架。切斷桿BD后，系統(tǒng)受力為F、FN和。（2）由于切斷桿BD后，系統(tǒng)有一個自由度。取角q為廣義坐標。

（3）根據虛功方程得

在靜平衡位置，如圖15-12（b）所示的幾何關系15.5廣義坐標形式的虛位移原理

15.5.1廣義坐標形式的虛位移原理代入虛功方程交換式中i，j的求和順序（15-14）令（15-15）式（15-15）稱為廣義坐標形式的虛位移原理。

其中，Qj

稱為對應廣義坐標qj

的廣義力（Generalizedforce）。

當dqj

是長度單位時，則Qj

為力的單位；當dqj

是角度單位時，則Qj

為力矩的單位。

對于完整系統(tǒng)，各個廣義坐標的變分獨立，故（15-16）