大學物理剛體(老師課件)

第5章剛體的轉(zhuǎn)動

剛體

rigidbody

：在外力（無論多大）作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。1、剛體運動時，各質(zhì)元之間的相對距離保持不變。2、剛體是一種理想模型。視作特殊質(zhì)點組。一、剛體的平動剛體運動時，體內(nèi)任意兩點連線的方向始終保持不變。剛體的基本運動形式平動

translation

轉(zhuǎn)動

rotation

平動的特點：1)剛體中各質(zhì)點的運動情況相同2)剛體的平動可歸結(jié)為質(zhì)點運動

剛體平動質(zhì)心運動實際:

對質(zhì)心有“質(zhì)心運動定理”5.1剛體運動的描述二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動

當剛體內(nèi)所有點都繞同一直線作圓周運動，這種運動稱為轉(zhuǎn)動。

若轉(zhuǎn)軸的位置和方向是固定不動的，此時剛體的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。特點：剛體內(nèi)所有點具有相同的角位移、角速度和角加速度。－－剛體上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律。

剛體的一般運動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述1.各點都在自己的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動描述的物理量剛體上某點的線量與角量的關(guān)系：對剛體不存在整體的線速度！

就是剛體轉(zhuǎn)動的角位置、…、角加速度2.各點轉(zhuǎn)動的半徑不同線速度不同ωrv例：已知：求：解：1、在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，角速度和角加速度均沿軸向。其指向可用正負表示。說明3、角加速度的方向與角速度增量的方向一致，當與同號時，加速轉(zhuǎn)動；與異號時，減速轉(zhuǎn)動。方向:右手螺旋方向2、4、剛體定軸勻變速轉(zhuǎn)動方程與同形一、轉(zhuǎn)動定律剛體內(nèi)任一質(zhì)元i，其轉(zhuǎn)動半徑為ri

,所受合外力為Fi，—剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律即：內(nèi)力為fi

剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律該轉(zhuǎn)動定律在剛體定軸轉(zhuǎn)動問題中的地位相當于牛頓第二定律在質(zhì)點運動中的地位應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律解題步驟與用牛頓第二定律時相同。剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積②剛體的重力矩等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時所產(chǎn)生的重力矩.重力矩大小：細桿質(zhì)量m,長L①Notes:

方向與角加速度方向一致為正，相反為負.例：幾個力同時作用在一個具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個力的矢量和為零，則此剛體(A)必然不會轉(zhuǎn)動．(B)轉(zhuǎn)速必然不變．(C)轉(zhuǎn)速必然改變．(D)轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變．答案：(D)若矢量和不為零，結(jié)果？[思考]二、轉(zhuǎn)動慣量（momentofinertia）——反映剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。

1.定義：例：如圖對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量面密度：質(zhì)量體密度md1）總質(zhì)量m越大，J越大;2）質(zhì)量分布離軸越遠，J越大；3）軸位置不同，J不同。2.決定剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素：Om,RRm,ROO3.平行軸定理（parallelaxistheorem）zLCMz'C點是剛體的質(zhì)心M,L例：有兩個半徑相同、質(zhì)量相等的細圓環(huán)A和B，A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，B環(huán)不均勻，它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為JA和JB，則(A)JA>JB(B)JA<JB(C)JA=JB(D)不能確定答案：(C)若是兩個圓盤呢？[思考]竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？思考【例】已知圓盤轉(zhuǎn)動慣量J，初角速度0阻力矩M=-k(k為正的常量)求:角速度從0變?yōu)?/2所需的時間解：轉(zhuǎn)動定律：【例】飛輪轉(zhuǎn)動慣量J，初角速度0，阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為正的常量)求：⑴當=0/3時，角加速度=？⑵從開始制動到=0/3時所轉(zhuǎn)過的角度．解：⑴按題意M=-k2⑵轉(zhuǎn)動定律：[思考]所經(jīng)過的時間?解：以m1

、m2和彈簧、地球為研究系統(tǒng)，施加壓力F時，彈簧被壓縮x0，由平衡條件得撤F后，m2離開地面的條件為:系統(tǒng)機械能守恒例習4.3用彈簧連接兩個木板m1、m2

，彈簧壓縮。求:給m1上加多大的壓力能使m2

離開桌面？

三.轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用解題要點3)滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度例5.1已知:定滑輪解:受力圖輕繩不伸長無相對滑動求：1）物體加速度a2）繩子的張力T>設(shè)得解。T1≠T2

若

M=0，則T1=T2討論：無相對滑動例5.2固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸OO轉(zhuǎn)動，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m，繞在兩柱體上的細繩分別與物體m1和物體m2相連，m1和m2分別掛在圓柱體的兩側(cè)。求：OOm2m1MmrR1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；2)兩側(cè)細繩的張力。rRO解：解得m1,m2的平動方程和柱體轉(zhuǎn)動方程為T2T1T2T1m2gm1ga2a1討論：(1)若只求柱體轉(zhuǎn)動的角加速度，可將柱體和m1,m2選作一個系統(tǒng)，系統(tǒng)受的合外力矩M=m1gRm2gr，則根據(jù)轉(zhuǎn)動定律可得角加速度為(2)若考慮繩與圓柱體的總摩擦力矩為Mμ,

則以式(5)取代式(3),再求解即可。一、角動量定理質(zhì)點的角動量定理（對軸）：剛體：因各質(zhì)元對軸的角動量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加，則其中角動量定理5.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理（質(zhì)點系）二、角動量守恒定律◆

M外和L

須是對慣性系中的同一點或同一軸。角動量守恒定律剛體對定軸的角動量或?qū)憺閷Ρ荣|(zhì)點對定點的動量微分形式積分形式mmω許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明花樣滑冰跳水茹可夫斯基凳圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機械能不守恒.角動量守恒；動量不守恒？；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；角動量守恒；機械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動量不守恒；角動量守恒；機械能守恒.關(guān)于系統(tǒng)守恒的討論子彈擊入沙袋細繩質(zhì)量不計非彈性碰撞例5.3一雜技演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來。設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為

，蹺板可繞中部支撐點C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為m。假定演員M落在蹺板上與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞。問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M落在A點的速度

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度

把M、N和蹺板作為一個系統(tǒng),解得演員N以u起跳,達到的高度ll/2CABMNhm'gmgNmg角動量守恒一、動能定理5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動中的能量關(guān)系力矩的功：用角量表示力作的功O.oF┴(垂直于轉(zhuǎn)軸的截面)2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理二、重力場中剛體的機械能系統(tǒng)--剛體+地球：剛體的質(zhì)心相對勢能零點的高度轉(zhuǎn)動定律：合外力矩的功剛體轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能定理：解：過程1：質(zhì)點與細棒相碰撞

碰撞過程中系統(tǒng)對O點的合力矩為零例5.4質(zhì)點與質(zhì)量均勻的細棒相撞(如圖)設(shè)是完全非彈性碰撞求：棒擺起的最大角度∴系統(tǒng)對O點的角動量守恒,得細棒勢能質(zhì)點勢能過程2：質(zhì)點、細棒上擺二者+地球的

系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力（重力）作功，所以機械能守恒。兩式聯(lián)立得解

以上擺前為勢能零點例5.5勻質(zhì)細棒長l，質(zhì)量m，可繞通過其端點O的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋放后，在豎直位置與放在地面上、質(zhì)量也為m的物體相撞（物體與地面的摩擦系數(shù)為）。撞后，物體沿地面滑行距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心離地面的最大高度h。CO解1.棒擺落過程棒+地球

外力軸處支承力不做功機械能守恒（1）

以豎直時質(zhì)心位置處為勢能零點3.撞后物體滑行過程勻減速直線運動（3）（4）（5）′為正值表示碰后棒向左擺；反之向右擺。2.碰撞過程棒+物體

軸處支承力、重力無力矩角動量守恒（2）棒質(zhì)心C上升機械能守恒解得：

例5.6如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為0.01kg·m2，半徑為7cm，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計，求：(1)當繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止而下落的最大距離；(2)物體速度達到最大值的位置及最大速率。解：(1)分析知，機械能守恒,

設(shè)物體下落最大距離為h，開始時物體所在位置為重力勢能零點，則：質(zhì)量角動量動量定理角動量定理動量守恒質(zhì)點運動與剛體定軸轉(zhuǎn)動對照表質(zhì)點運動剛體定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量力力矩第二定律轉(zhuǎn)動定律動量角動量守恒力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能動能定理轉(zhuǎn)動動能定理習5.1工程上常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA=10kgm2，B輪的轉(zhuǎn)動慣量為JB=20kgm2

。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？AACBACB式中為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度，于是解：以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機械能為以各量的數(shù)值代入得