定值問題 趙鵬翔

√√×∠?°∽⊥⊙1234≠≤≥①②③④⑤∴∵⊕≌xyO□abcy=ax2+bx+c÷S△AOD：S△COB=1：9?∽→↑←??↖↗↘↙定值問題什么是定值問題？

在幾何問題中，當一些幾何元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內變化時,與它相關另一些幾何元素的某些量或其數量關系保持不變，這種幾何問題稱之為幾何定值問題.

定值問題大致分為倆類：一類是定量問題（如定長度、定角、定比······）;一類是定形問題（如定點、定線、定方向······）解決這類問題要通過題目中的元素動靜結合，特殊與一般結合，數形結合去分析，把定值找出來，在進行論證。

1、定量問題：關鍵在于探求定值，一旦定值被找出，轉化為熟悉的幾何證明題。

2、定形問題：定形問題指點、直線、定方向等問題。在直角坐標系平面上，定點有對應的坐標。定值問題點為定點線段長度或積為定值角度為定值面積為定值

例1已知（m+1）x-（m-1）y-2m=0為直線L的方程，求證：不論m取任何實數，直線L必過定點，求這個定點的坐標。

證明：由直線的方程得mx-my-2m+x+y=0，即m（x-y-2）+x+y=0，當x-y-2=0且x+y=0時，不論m取任何實數方程恒成立，故直線L必過定點。解方程組x-y-2=0x+y=0得x=1y=-1

即定點坐標為（1，-1）例2，AB為定直線上兩定點，動點C在AB的一側，連AC、BC并以這兩條線段為邊作正方形，DG和EF垂直AB的延長線，試證無論C如何變化兩個正方形中，與C點相對的點的連線到定直線的距離和為定值，且其中點也為定點。MNH例2，AB為定直線上兩定點，動點C在AB的一側，連AC、BC并以這兩條線段為邊作正方形，DG和EF垂直AB的延長線，試證無論C如何變化兩個正方形中，與C點相對的點的連線到定直線的距離和為定值，且其中點也為定點。證:過C點向AB作垂線,垂足為m△CMA≌△DGA△CMB≌△BEFDG+EF=AB找AB的中點N，作直線NH垂直于AB，HN=（DG+EF）例5

如圖8,已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），⊙O的圓心O在AB上,并分別與AC、BC相切于點P、Q、M

.(1)求∠POQ的大小(用α表示);(2)設D是CA延長線上的一個動點,DE與圓O相切于點M,點E在CB的延長線上,求證:∠DOE的度數為定值.

分析：要求證∠DOE的度數為定值，只須證明∠ODE與∠OED和為定值,而OD、OE分別為∠CDE與∠CED的平分線,故只須證∠CDE與∠CED和為定值,由三角形的內角和定理易證.解:(1)易得∠POQ=2α.(2)連結OM.由切線長定理,EM=EQ.又∵OM=OQ,OE=OE,∴△OEM≌△OEQ,∴∠MOE=∠QOE.同理,∠MOD=∠POD.∴∠DOE=(∠POM+∠QOM)=(360°

-∠POQ)=180°

-α.∵α為定值,∴∠DOE的大小為定值.定值為180°

-α.例6如圖，已知∠POQ=90°，點A、B分別在射線OP,OQ上移動，∠OAB的角平分線與OBA的外角平分線相交于點C,求證：∠ACB的大小是定值。證明：由于∠ACB是ABC的一個內角，所以可利用三角形的內角和定理以及內外角平分線的定義直接計算∠ACB的大小∵∠ACB=180°－(∠BAC＋∠ABC)＝180°－(∠OAB+∠ABO+∠CBO)＝180°－[(∠OAB+∠ABO+(180°－∠OBA)]=180°－[∠OAB+∠ABO+90°－∠OBA]=180°－(45°+90°)=45°例3如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的AB上,有一個動點P,PH⊥OA,垂足為H,△OPH的重心為G.

（1）求證:線段GH長度為定值

分析:解決此題時,首先要根據線段GH的特征,添出輔助線,找出與其有關的長度為定值的線段間的聯系,從而獲得問題的解決.解:(1)延長HG交OP于點E.∵G是△OPH的重心,∴GH=2HE=2.∴GH的長度為定值,其定值為2.圓冪定義過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA×PB=PC×PD割線定理從圓外一點L引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D則有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下圖所示。(LT為切線）例4如圖6，已知：在直角坐標系中，點E從O點出發(fā)，以1個單位每/秒的速度x軸正方向運動，點F從O點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動.B(4,2),以BE為直徑作⊙O1.

若點E提前2秒出發(fā),點F再出發(fā).當點F出發(fā)后,E點在A點左側時,設BA⊥x軸于A點,連接AF交⊙O1于點P,求證:AP?AF為定值.分析:要求證AP?AF為定值,在擁有圓與割線的背景下,應優(yōu)先考慮圓冪定理,但于本道題無濟于事.于是想到構造相似三角形來求解.由于要求的是AP與AF的積,故AB與AF不能是所構造的相似的對應邊.而AP與AE是△PAE的兩條邊,故作∠HFA=∠PEA交x軸于H.易證△HFA∽△PEA,△FHO∽△EBA,從而使問題獲證.H證明：連結PE,作∠HFA=∠PEA交x軸于H,∵∠FAH=∠EAP,∴△HFA∽△PEA,∴∠FHO=∠EPA.∵P、E、A、B四點共圓，∴∠EPA=∠B，∴∠FHO=∠B，∵BE為直徑,∴∠BAE=900=∠FOH，∴△HFO∽△BEA.∴設OE=2+t,則OF=2t,∵OA=4，∴AE=4-（2+t）=2-t,∴OH×(2-t)=2t×2,∴OH=,∴AH=OH+OA=4+

∵

△HFA∽△PEA

∴AP?AF=AE?AH=(2-t)×=8.∴AP?AF為定值,定值為8.

例7

如圖9，正方形ABCD的對角線相交于點O，O是正方形A‘B’C‘O的一個頂點,如果兩個正方形的邊長為a,求證：正方形A’B’C’O繞點O無論怎樣轉動，倆個正方形重疊部分的面積總為定值。分析:由于重疊部分圖形形狀的不確定性,要求證這重疊部分面積為定值,關鍵是探明這個定值為何值,這可用特殊位置法獲得.如圖,把正方形旋轉到特殊位置圖10,易得其面積的定值為,然后,設法證明兩種情形下的面積相等.證明:如圖9，在正方形ABCD與正方形A'B'C'O中,∵OB=OC,∠EBO=∠FCO=45°,,∠EOF=∠BOC=90°,∴∠EOB=∠FOC,∴△OBE≌△OCF,∴S△OBE=S△OCF,∴S四邊形OEBF=S△OBC,∵S△OBC=∴S四邊形OEBF=所以不論正方形A‘B’C‘O繞點O怎樣轉動兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值.定值為

..例8倆圓⊙O1、⊙O2內切于半徑分別為R、r(R>r),任作一直線垂直于連心線所在的直線，并使其在連心線一側，分別交⊙O1、⊙O2于B、C,求證：△ABC的外接圓的面積為定值。依題意作圖，如圖，因⊙O1、⊙O2內切于A，故連心線O1O2必過A點，設O1O2分別與⊙O1、⊙O2交于E、F，與BC交于D，連接BE、CF、AC,設△ABC的外接圓半徑為，由正弦定理，有又在Rt