材料力學(xué)-能量法

第十一

章

能量法1§11–1

桿件的應(yīng)變能計(jì)算§11–2功的互等定理和位移互等定理§11–3卡氏定理§11–4虛功原理§11–5單位載荷法

§11–6計(jì)算莫爾積分的圖乘法第十一章能量法能量法2利用與應(yīng)變能概念相關(guān)的一些定理和原理，來(lái)解決結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算或與結(jié)構(gòu)變形有關(guān)的問(wèn)題的方法，稱為能量法（energymethod)

能量法不計(jì)能量損耗，則根據(jù)功能原理有U=W3§11.1桿件的應(yīng)變能計(jì)算一、桿件在基本變形時(shí)的應(yīng)變能1、軸向拉壓桿的應(yīng)變能計(jì)算：能量法42、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能3、梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能能量法5二、桿件在組合變形時(shí)的應(yīng)變能

小變形時(shí)，各基本變形的應(yīng)變能可單獨(dú)計(jì)算，然后相加，得到組合變性桿的總應(yīng)變能。即：能量法

注意:應(yīng)變能是力的二次函數(shù)，因此，引起同一基本變形的一組外力在桿內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)變能，并不等于各力分別作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能的簡(jiǎn)單相加。6能量法例如：求圖示簡(jiǎn)支梁的應(yīng)變能。FMABC解：設(shè)F和M同時(shí)由零按比例加至終值。x（1）求支反力，列彎矩方程：（2）求應(yīng)變能：（1）、（2）式代入（3）式得：7能量法FMABC變形(a)式得令則U1：F單獨(dú)作用應(yīng)變能U1U2U1U2誘導(dǎo)功誘導(dǎo)功U2：M單獨(dú)作用應(yīng)變能8能量法上三式說(shuō)明：一組外力引起同一基本變形時(shí)，桿的總應(yīng)變能，并不等于各力分別單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能的簡(jiǎn)單相加。另外，上三式還說(shuō)明：桿件的應(yīng)變能，只與最終的載荷狀態(tài)有關(guān)，而與加載次序無(wú)關(guān)。FMABCFMABC同時(shí)加F和M先加M，再加F先加F，再加M9能量法又如：結(jié)論：應(yīng)變能與加載次序無(wú)關(guān)。10[例11-1-1]用能量法求C點(diǎn)的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能利用對(duì)稱性，得：思考：分布荷載時(shí)，可否用此法求C點(diǎn)位移？FaaABC能量法11例11-1-2

圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點(diǎn)受鉛垂力F的作用，求A點(diǎn)的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）1、求內(nèi)力能量法AFR123、外力功等于應(yīng)變能2、變形能：能量法13§11.2功的互等定理和位移互等定理能量法F1AB12P2AB12F2F1AB12F2F2AB12F114線彈性體，載荷作功與加載次序無(wú)關(guān)，只取決于載荷的終值能量法F1AB12F2F2AB12F115能量法如圖所示桁架，桿CD的長(zhǎng)度l為1m，已知節(jié)點(diǎn)B受鉛垂向下的力F=1kN作用時(shí)，桿CD產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角=0.01rad。試確定為使節(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生鉛垂向下的線位移=0.0008m，在節(jié)點(diǎn)C及D兩處應(yīng)加多大的力。并說(shuō)明加力方向。解：如圖11-4b所示，在點(diǎn)C及點(diǎn)D應(yīng)加一對(duì)大小相等，方向相反，且均垂直于桿CD的力。根據(jù)功的互等定理：16§11.4虛功原理

能量法虛功原理又稱為虛位移原理，在理論力學(xué)中，討論過(guò)質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理，它表述為，質(zhì)點(diǎn)系平衡的充要條件是作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有各力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上所作的總虛功等于零，即對(duì)于變形體，除了外力在虛位移上要作功外，內(nèi)力在相應(yīng)的變形虛位移上也要作功。前者稱為外力虛功，用表示；后者稱為內(nèi)力虛功，用表示。變形體平衡的充分必要條件是作用于其上的外力系和內(nèi)力系在任意一組虛位移上所作的虛功之和為零，即17能量法在結(jié)構(gòu)中取出一微段dx，如圖所示:(b)(a)(d)(c)外力在剛性虛位移上所作總虛功為零，只需考慮在變形虛位移上所作虛功：略去高階微量，得外力虛功：18能量法內(nèi)力虛功為：整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功為：求和符號(hào)表示考慮結(jié)構(gòu)中的所有桿件，若橫截面上還存在扭矩，則上式應(yīng)增加這一項(xiàng)。結(jié)構(gòu)所有外力對(duì)于虛位移所作的虛功應(yīng)為：而則有：即為虛功原理具體表達(dá)式19§11.5單位載荷法能量法由虛功原理可以得到計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的單位載荷法。如圖所示簡(jiǎn)支梁，受已知載荷Fi（i=1,2,…n)作用，要求任意截面沿任意方向位移。F2F1FnA如，要求任一截面A的撓度Δ由單位力引起的內(nèi)力分別記為：1A可設(shè)想先將載荷移去，在A處沿Δ方向加一單位載荷，原載荷作用下的位移作為虛位移，單位力看作實(shí)際載荷。則由虛功原理得：20能量法說(shuō)明：（1）單位載荷法對(duì)線性、非線性及非彈性體均適用。（2）所求的位移及施加的單位力都是廣義的。若Δ為線位移，則在欲求Δ處沿Δ方向加單位力；若Δ為角位移，則在欲求Δ處沿Δ轉(zhuǎn)向加單位力偶。若Δ為兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移，則在欲求Δ處加一對(duì)方向相反的單位力；若Δ為兩截面間的相對(duì)角位移，則在欲求Δ處加一對(duì)方向相反的單位力偶。（3）若求出的Δ為正，則說(shuō)明所求的位移與單位力同向，反之，則相反。（4）對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿件，剪力影響很小，第三項(xiàng)可略去不計(jì)。一般情況下，求結(jié)構(gòu)中一點(diǎn)位移的單位載荷法的計(jì)算公式為：21能量法對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，材料服從胡克定律，小變形下，結(jié)構(gòu)的位移與載荷成線性關(guān)系，則有上式常稱為莫爾定理或莫爾積分。對(duì)于基本變形桿，莫爾定理的形式為：（1）拉壓時(shí)：（2）扭轉(zhuǎn)時(shí)：（3）彎曲時(shí)：對(duì)于桁架：那么，單位載荷法的計(jì)算公式可寫(xiě)為：22能量法F2F1FnAF0如圖所示簡(jiǎn)支梁，受已知載荷Fi（i=1,2,…n)作用，要求任意截面沿任意方向位移。如：求任一截面A的撓度ΔA（a）實(shí)際載荷作用下（b）實(shí)際載荷前，在A處沿Δ方向先加一虛擬力F0莫爾定理的另一種證明方法23能量法F2F1FnF0A（c）在F0之后，再加實(shí)際載荷而由§11.1知：

由（a)、(b)兩式得：

若令F0為單位載荷，即

F0=1，則有

即為莫爾定理或莫爾積分24莫爾定理是計(jì)算線彈性結(jié)構(gòu)位移的一種有效方法。能量法說(shuō)明：

Δ為廣義位移。若Δ為線位移，則在欲求Δ處沿Δ方向加單位力；若Δ為角位移，則在欲求Δ處沿Δ轉(zhuǎn)向加單位力偶。M(x)與

同樣視為廣義的內(nèi)力，M(x)為外載引起的內(nèi)力表達(dá)式；

為單位載荷引起的內(nèi)力表達(dá)式；M(x)與

的定義域相同，否則應(yīng)分段利用莫爾定理。25使用莫爾定理的注意事項(xiàng)：5、莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)。1、M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力。3、所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。能量法2、

：去掉主動(dòng)力，在所求廣義位移

處，沿所求廣義位移

的方向加廣義單位力

時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力。4、M(x)與

的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立。26例11-2-1

用能量法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。3、求變形解：1、加單位載荷如圖2、求內(nèi)力x能量法274、求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）能量法28例11-2-2

拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能上下移動(dòng)，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B點(diǎn)的垂直位移。解：1、單位載荷如圖2、求內(nèi)力能量法293、求變形能量法30能量法例11-2-3

外伸梁受力如圖，用單位力法求A截面轉(zhuǎn)角。解：1、在A點(diǎn)加一單位力矩，如圖2、求內(nèi)力3、求變形31能量法例11-2-4

懸臂梁如圖示，用單位力法求C點(diǎn)的撓度。解：1)在C點(diǎn)加一單位力，如圖32能量法例11-2-5

用單位力法，求折桿D處水平方向的線位移。(各段EI相同)解:1)在D處加水平單位力,如圖2)寫(xiě)出各段的彎矩方程3)求位移33能量法例11-2-6

用單位力法求曲桿A點(diǎn)的水平位移。解:1)在A點(diǎn)加水平單位力,如圖2)寫(xiě)出彎矩方程3)求位移34能量法例11-2-7

用單位力法求剛架B處的轉(zhuǎn)角。解:1)在B處加單位力偶,如圖2)求反力,列出各段的彎矩方程35能量法例11-2-8

園截面折桿ABC(∠ABC=900),位于水平面內(nèi)，已知材料的E，G。用單位力法求

C

截面的線位移和角位移。36能量法37能量法38能量法例11-2-9

各桿EA相同,桿長(zhǎng)均為a,用單位力法求AB間相對(duì)位移。解:1)在A、B處加一對(duì)方向相反的單位力2）計(jì)算各桿的軸力3）求AB間相對(duì)位移39能量法例11-2-10

用單位力法求結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的y方向位移。解：1）在C處沿y方向加單位力2）求內(nèi)力原結(jié)構(gòu)中：BE、CDE不受力，支反力為零。圖（a）的反力如圖，各段受力如圖（b），只考慮AC及AB的內(nèi)力40能量法3）寫(xiě)出各段的彎矩4）求變形41§11.6計(jì)算莫爾積分的圖乘法能量法等截面直桿，EI為常數(shù)，只須計(jì)算積分即可。MxcxdxCMxxxl長(zhǎng)l的桿的M(x)圖是曲線，設(shè)其面積為AΩ，

圖是直線，設(shè)

，則：直桿在單位載荷作用下，

圖一定是直線或折線。42能量法常見(jiàn)圖形的面積和形心為置式中：AΩ

為M圖的面積；為M圖形心對(duì)應(yīng)下的

圖的值。43應(yīng)用圖乘法的注意事項(xiàng)：能量法應(yīng)用圖乘法求變形的解題步驟：①畫(huà)M圖；②加單位力，畫(huà)

圖；③代入圖乘公式求解。①M(fèi)、

圖一律畫(huà)在受拉側(cè)，當(dāng)M、

圖同側(cè)受拉時(shí)，AΩ

乘積為正，反之AΩ

乘積為負(fù)；②若

圖為折線，應(yīng)分段圖乘；③若M、

圖都是直線，則面積可取自任一個(gè)圖形；④對(duì)于組合圖形，將其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，分別計(jì)算再進(jìn)行疊加。44例11-3-1

用圖乘法求外伸梁D點(diǎn)的豎直位移，EI為常數(shù)。能量法aaa2qaqABDqa2C1C2C3qa2/21a解：1)用疊加法畫(huà)M圖計(jì)算M圖面積：3)代入圖乘公式求解2)加單位力，畫(huà)

圖45例11-3-2

用圖乘法求剛架C截面的轉(zhuǎn)角和鉛垂位移，EI為常數(shù)。能量法解：1)畫(huà)M圖3)代入圖乘公式求解aaqABCMqa2/22)加單位載荷畫(huà)

圖111146能量法解：1)畫(huà)M圖3)代入圖乘公式求解例11-3-3

用圖乘法求剛架AB間的鉛垂方向相對(duì)位移。2)加單位載荷畫(huà)

圖471、下圖所示階梯狀變截面桿受軸向壓力P作用，其變形能U應(yīng)為

:（Ａ）（Ｂ）

（Ｃ）（D）本章習(xí)題能量法一、選擇題482、下圖所示同一桿梁的三種載荷情況，試指出下列關(guān)系式中哪個(gè)是正確的

：（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（D）能量法493、下圖所示梁的載荷圖