獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其應(yīng)用

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想在現(xiàn)實(shí)生活中，會遇到各種各樣的變量，并需要研究它們之間的關(guān)系，觀察下面兩組變量，分析在取不同的“值”時表示的個體有何差異?

(1)國籍、宗教信仰、性別（2）成績、身高、年齡（1）中的變量每取不同的“值”時，表示不同的類別；（2）中的變量每取不同的“值”時，表示不同的個體。獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。5月31日是世界無煙日，有關(guān)醫(yī)學(xué)研究表明，許多疾病，如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關(guān)，吸煙已成為繼高血之后的第二號全球殺手。這些疾病與吸煙有關(guān)的結(jié)論是怎么得出的呢？我們來看下面的問題為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人,得到如下結(jié)果(單位:人)不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965那么吸煙是否對肺癌有影響?吸煙與患肺癌列聯(lián)表列出兩個分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：1.列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199652.等高條形圖y1y2總計(jì)x1aba+bx1cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表和登高條形圖如下表所示，試說明如何根據(jù)圖表來判斷分類變量X和Y是否可能有關(guān)系？

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來考察這個問題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)

H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測值為：那么這個值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說，在H0成立的情況下，對隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯的概率為0.01。判斷是否成立的規(guī)則如果，就判斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論“成立”錯判成“不成立”的概率不會差過即有99%的把握認(rèn)為不成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個分類變量沒有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小,如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測值k很大,則在一定可信程度上說明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過評價該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說明假設(shè)不合理的程度為1%,即“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.怎樣判斷K2的觀測值k是大還是小呢？這僅需要確定一個正數(shù)，當(dāng)時就認(rèn)為K2的觀測值k大。此時相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”錯誤的判斷為“兩個分類變量之間有關(guān)系”的概率為P().在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“兩個分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。表1-112x2聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測值；(3)如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。0.50.40.250.150.10.050.0250.010.0050.001xo0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828卡方臨界值表：則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；（1)若觀測值χ2＞10.828.（3)若觀測值χ2＞2.706，則（4)若觀測值χ2＜2.706，則（2)若觀測值χ2＞6.635，則有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；則有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”；則沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系。例1為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對外語的興趣有關(guān),某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生,調(diào)查結(jié)果如下:理科對外語有興趣的有138人,無興趣的有98人,文科對外語有興趣的有73人,無興趣的有52人．試分析學(xué)生選報(bào)文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？【解】列出2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)理文合計(jì)有興趣13873211無興趣9852150合計(jì)236125361【名師點(diǎn)評】運(yùn)用獨(dú)立檢驗(yàn)的方法:(1)列出2×2列聯(lián)表,根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測值k.(2)比較k與k0的大小作出結(jié)論．特別注意本題類型的無關(guān)問題．跟蹤訓(xùn)練1.研究人員選取170名青年男女大學(xué)生作為樣本,對他們進(jìn)行一種心理測驗(yàn),發(fā)現(xiàn)60名女生對該心理測驗(yàn)中的最后一個題目的反應(yīng)是:作肯定的有22名,作否定的有38名;男生110名在相同的題目上作肯定的有22名,作否定的有88名,問:性別與態(tài)度之間是否存在某種關(guān)系？試用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷．解:根據(jù)題意,得如下2×2列聯(lián)表:肯定否定合計(jì)男生2288110女生223860合計(jì)441261701．K2的計(jì)算公式中字母取值勿取錯;在2×2列聯(lián)表中,a,b,c,d是有順序的,因此在計(jì)算K2的值時容易取錯字母a,b,c,d的值．2．只有當(dāng)K2的值大于或等于k0時,我們才說兩個變量“有關(guān)系”;否則就說“沒有充分的證據(jù)顯示兩個變量有關(guān)系”,即認(rèn)為兩個變量無關(guān)系．方法感悟精彩推薦典例展示獨(dú)立性檢驗(yàn)中的易誤點(diǎn)對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示:試根據(jù)上述數(shù)據(jù),比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別．例2易錯警示又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392【常見錯誤】

在獨(dú)立性檢驗(yàn)中當(dāng)K2≤2.706時,得出結(jié)論:“我們判定又發(fā)作過心臟病和他是否做過這兩種手術(shù)無關(guān)”,這里的錯誤主要是結(jié)論下的太過武斷．【防范措施】

在利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時,如果K2≤2.706,并不是表示兩個分類變量沒有關(guān)系,只是沒有充分證據(jù)表明它們有關(guān)系而已,