第17量子力學、18章能帶

第17章

(fundamentofquantunmechanics)

(8)

量子力學基礎實物粒子的波粒二象性波函數薛定諤方程1

量子力學是描述微觀實物粒子運動規(guī)律的一門基礎理論。量子力學的建立，揭示了微觀世界的基本規(guī)律，是人類認識自然界史上的一次飛躍。它和相對論一起已成為近代物理學的兩塊基石，而且還被廣泛地應用到化學、生物、醫(yī)學、電子學等學科中。

1900年普朗克提出了量子概念,而真正拉開量子論大幕一角的是德布羅意……2§17.1實物粒子的波粒二象性一切實物粒子也具有波粒二象性。一.德布羅意物質波假設(1924年)德布羅意能量為E、動量為p的粒子與頻率為v、波長為的波相聯(lián)系，并遵從以下關系：(實物粒子—靜質量mo0的粒子)E=mc2=hv

3戴維孫-革末：單晶電子衍射實驗二.德布羅意波的實驗驗證當電壓為54V,=50電子流最強

由布拉格公式:2dsin=n=65,d=0.091nm,n=1=0.165nm=0.167nm湯姆孫：多晶薄膜電子衍射實驗電子束探測器M電子槍K電子被鎳單晶衍射實驗42.1961年約恩孫電子雙縫干涉實驗(d=1mb=0.3m=0.05×10-10m)xxs2s1poDdr2r1...電子束5其它實驗還證實:中子、質子以及原子、分子都具有波動性。這表明：一切微觀粒子都具有波粒二象性。單縫雙縫三縫四縫6

中國科學院化學研究所研制的

CSTM-9000型掃描隧道顯微鏡“原子和分子的觀察與操縱”7三.物質波的統(tǒng)計解釋(1926年玻恩)波動觀點粒子觀點明紋處:波強大

電子出現的概率大暗紋處:波強小

電子出現的概率小

波強與粒子在該處附近出現的概率成正比?？梢?，物質波是一種概率波。xxs2s1poDdr2r1...電子束8經典粒子:只需考慮粒子性,遵從決定論,適用牛頓力學。

微觀粒子:波粒二象性,遵從概率定律,適用量子力學。問題:2.E=mc2=hv

對實物粒子:=c?錯。

3.違背相對論嗎?相速:

1.

經典粒子與微觀粒子有何區(qū)別?不。能量是以群速g=傳播。9=1.23?(2)人:=1.0×10-36m可見，只有微觀粒子的波動性較顯著；而宏觀粒子(如人)的波動性根本測不出來。

例題17-1

(1)電子動能Ek=100eV；(2)人:

m=66.3kg,=10m/s,求德布羅意波長。

解

(1)電子速度較小，可用非相對論公式求解。h=6.63×10-34J.sm=9.11×10-31kg10

解因加速電壓大，應考慮相對論效應。=1.24×108(m/s)=10×10-31(kg)=0.0535?

例題17-2

用5×104V的電壓加速電子，求電子的速度、質量和德布羅意波長。h=6.63×10-34J.smo=9.11×10-31kg11

解因電子波長較長，速度較小，可用非相對論公式求解。m=9.11×10-31kgh=6.63×10-34J.s=150V

例題17-3

為使電子波長為1?，需多大的加速電壓？12衍射后:若只考慮中央明紋,則

0≤px≤psin§17.2不確定關系海森堡:電子衍射前:px=0,py=p一.不確定關系xy...單能電子束x13對第一級衍射暗紋:

xsin=即電子在x方向上動量的不確定量為

px=psin

若計及更高級次的衍射,應有

xpx

hxpx=hypy

hzpz

hxy...單能電子束x14

1.微觀粒子坐標的不確定量越小(x0)

，動量的不確定量就越大(px)

；

微觀粒子動量的不確定量越小(px0)

，坐標的不確定量就越大(x)

。這就表明:微觀粒子不可能同時具有確定的坐標和動量。xpx

h

海森堡二.不確定關系的意義15

3.不確定關系提供了一個判據：當不確定關系施加的限制可以忽略時，則可以用經典理論來研究粒子的運動。當不確定關系施加的限制不可以忽略時，那只能用量子力學理論來處理問題。

2.不確定關系本質上是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映；是微觀世界的一條客觀規(guī)律,不是測量技術和主觀能力的問題。xpx

h

三.能量與時間的不確定關系16

例題17-4

估算氫原子中電子速度的不確定量。

解電子被束縛在原子球內,坐標的不確定量是x=10-10m(原子的大小)

由

xpx

h，得可見,微觀粒子的速度和坐標不能同時準確測定。故研究氫原子不能用經典理論，只能用量子力學理論來處理。17

例題17-5

子彈質量m=1kg,速度測量的不確定量是x=10-6m/s，求子彈坐標的不確定量。

解按不確定關系:xpx

h,則子彈坐標的不確定量為可見,子彈的速度和坐標能同時準確測定。這表示，不確定關系施加的限制可以忽略，像子彈這樣的宏觀物體可以用經典理論來研究它的運動。18

解

光子的動量按

xpx

h,則光子坐標的不確定量為

例題17-6

氦氖激光器:=632.8nm,譜線寬度=10-9nm，求光子坐標的不確定量。=400(km)19

例題17-7

原子激發(fā)態(tài)的平均壽命t=10-8s,求激發(fā)態(tài)能級能量的不確定量。

解

10-8ev所以原子光譜存在自然寬度。n=1n=220量子力學認為：微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個波函數(x,y,z,t)來描述。一般為復數。一.波函數

§17.3薛定諤方程21二.波函數的統(tǒng)計解釋波動觀點粒子觀點明紋處:波強(x,y,z,t)2大,電子出現的概率大;暗紋處:波強(x,y,z,t)2小,電子出現的概率小。xxs2s1poDdr2r1...電子束22波函數模的平方(x,y,z,t)2

表示粒子在t時刻在(x,y,z)處的單位體積中出現的概率，即概率密度。

(x,y,z,t)2dxdydz

1.因粒子在整個空間出現的概率是1,所以有

表示t時刻粒子在(x,y,z)處的體積元dxdydz中出現的概率。歸一化條件

2.波函數的標準條件單值、連續(xù)、有限

1926年,玻恩(M.Born)提出了波函數的統(tǒng)計解釋：(1954年獲諾貝爾物理獎)23這就是自由粒子的波函數。對能量為E和動量為p的自由粒子：=h/p,v=E/h三.薛定諤方程1.自由粒子波函數及滿足的方程粒子在空間某處出現的概率密度為24自由粒子勢能為零，在非相對論情況下有在以上式子中消去p,E，就得252.薛定諤方程粒子在勢場V中運動,則粒子的總能量應為三維空間:26薛定諤方程的一般形式?！绽顾惴茴D算符薛定諤方程的一般形式可寫為27若勢能V不顯含時間t

，則得并注意到將上式兩端除以=E3.定態(tài)薛定諤方程28其解(x,y,z)滿足:上式稱為定態(tài)薛定諤方程。29概率密度：概率密度不隨時間而改變定態(tài)。波函數：30§17.4一維無限深方勢阱粒子m在0<x<a的內運動，勢能函數為

0在阱外,粒子出現的概率為零,故(x)=oxaV(x)o31令有通解：(x)=Csin(kx+)式中k，由邊界條件決定。xaV(x)o32(x)=Csin(kx+)由x=0處(x)的連續(xù)性,有(0)=Csin=0,=0(x)=Csinkx

由x=a處(x)的連續(xù)性,有(a)=Csinka=0

ka=n于是(n=1,2,……)

(n=0,(x)=0；n為負數與正數表達同樣的概率)xaV(x)o331.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,……)

粒子的能量只能取不連續(xù)的值能量量子化。當量子數n=1,稱為零點能0！微觀粒子是不可能靜止的!342.粒子在勢阱內的概率分布形成駐波波函數：(x)=Csinkx，由歸一化條件得歸一化波函數為35粒子出現在勢阱內各點的概率密度為(n=1,2,……)

E1E2E3oxa36求：(1)粒子的能量和動量；(2)概率密度最大的位置。解

(1)量子數n=3，粒子的能量:又

例題17-8粒子m在一維無限深方勢阱中運動，其波函數為37(2)概率密度最大的位置。概率密度：有極大值的充要條件：解得E1E2E3oxa38

例題17-9一粒子被限制在相距l(xiāng)的兩個不可穿透的壁之間,如圖所示。描述粒子狀態(tài)的波函數為=Cx(l-x)，其中C為待定常量。求x=0l/3內發(fā)現粒子的概率。xlo解

dx=1dx39解

(1)

例題17-10在阱寬為a的無限深勢阱中,一個粒子的狀態(tài)為求:(1)能量的可能值和相應概率;(2)平均能量。40(2)平均能量:E1、E2的概率各1/2能量的可能值：41*§17.5一維勢壘隧道效應設電子在勢場中沿x方向運動,其勢能函數為Vo,0,令有VoVox213a42在1區(qū)和3區(qū),Vo,0,VoVox213a在電子能量E<Vo的情況下,2區(qū):1,3(x)=Csin(kx+)可見,電子在三個區(qū)域都有出現的概率。就是說，沿x方向運動的電子可以從左向右自由穿過勢壘。這種E<Vo的電子穿透勢壘的現象稱為隧道效應。43VoVox213a

隧道效應已經為實驗證實，并獲得許多實際應用。如半導體隧道二極管；現代杰作：1986年獲諾貝爾物理獎的掃描隧道顯微鏡(STM)等。44§17.6量子力學對氫原子的描述設原子核不動，電子是在原子核的庫侖場中運動,其勢能為波函數應滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化。r一.氫原子的定態(tài)薛定諤方程45在E<0(束縛態(tài))的情況下,采用球坐標系，定態(tài)薛定諤方程為r波函數(r,,)可以分離變量：(r,,)=R(r)()()

46式中:ml和為分離變量常數。波函數應滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化。47

1.能量量子化為使波函數滿足標準條件，電子(或說是整個原子)的能量只能是(主量子數:n=1,2,……)

二.量子力學的結論482.電子(軌道)角動量量子化副量子數(角量子數):l=0,1,2,…(n-1)

3.角動量的空間量子化電子角動量在任意方向(如z軸正向)的分量Lz滿足量子化條件:磁量子數:ml=0,±1,±2,…±l

電子軌道磁矩49例如：l=1,l=2,zL0z0504.電子的概率分布電子云波函數：nl

(r,,)=Rnl(r)Yl

(,)

2l+1l電子在核外空間出現的概率密度:Ψnl

(r,,)

2電子在核外空間的概率密度分布“電子云”。51由于p1s是r的連續(xù)函數，可見電子在核外(從r=0到r=∞)每點都有一定的概率。這和玻爾的量子軌道運動概念完全不同。而玻爾半徑只是概率最大的位置。例如：對1S態(tài)的電子，其概率密度為(玻爾半徑)aorp1s52電子概率的徑向分布p10p20p30電子概率沿角向分布zw10zOw00zw1±1p00p10p1153

基態(tài)銀原子:l＝0軌道磁矩為零應無偏轉一.電子自旋

§17.7多電子原子系統(tǒng)無外磁場有外磁場

1925年烏倫貝克-古茲密特:電子存在自旋角動量。電子自旋是一種量子力學效應,不是機械的自轉。斯特恩－蓋拉赫實驗（1921）SNPs2s1基態(tài)銀原子54自旋磁量子數可以證明，電子自旋角動量為原子束分為兩束，表明自旋角動量在空間的取向是量子化。在任意方向(如z軸正向)只有兩個分量：無外磁場有外磁場SNPs2s155z0s取半整數費米子s取整數玻色子(如光子、介子)(如電子、質子)=54.756

(1)主量子數：n=1,2,3,…

它大體上決定了原子中電子的能量。

(2)角量子數：l=0,1,2,…,(n-1)

它決定電子繞核運動(軌道)角動量的大小。一般說來,處于同一主量子數n,而不同角量子數l的狀態(tài)中的電子,其能量稍有不同。二.多電子原子

理論和實驗證明:多電子原子中電子的運到狀態(tài)仍由四個量子數確定:原則上講，多電子原子系統(tǒng)的問題應該去求解薛定諤方程，得到描寫電子運動的波函數和能級。57它決定電子自旋角動量的z分量Sz的量子化,也決定電子的自旋磁矩。(4)自旋磁量子數：它決定電子角動量z分量Lz的量子化(空間量子化),也決定電子的軌道磁矩。

(3)磁量子數：ml=0,±1,±2,…,±l58

l=0,1,2,3,4...…

s,p,d,f,g……如：n=3,l=0,1,2…分別稱為3s態(tài),3p態(tài),3d態(tài)…主量子數n相同而角量子數l不同的電子分布在不同的分殼層或支殼層上。

三.原子的殼層結構

1916年柯塞爾提出了原子殼層結構學說：主量子數n相同的電子分布在同一殼層上。

n=1,2,3,4，5,6……

K,L,M,N,O,P…...59

2.泡利不相容原理(適用:費米子)(1945年獲諾貝爾物理獎)

一個原子系統(tǒng)內，不能有兩個或兩個以上電子具有完全相同的量子態(tài)(n,l,ml,ms)。利用泡利不相容原理可以計算各個殼層中可能占有的最多電子數。多電子原子系統(tǒng)中,核外電子在不同的殼層上的分布還要遵從下面兩條基本原理：

1.能量最小原理原子系統(tǒng)處在正常狀態(tài)時,每個電子總是盡可能占有最低的能級。主量子數n愈小其相應的能級愈低。在同一殼層中,角量子數l愈小,其相應的能級愈低。60對給定的一個n,l=0,1,2,…,(n-1),共n個值；ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)個值；共2個值;(2l+1)2=2n2所以各殼層能容納的最多電子數為

n=1,2,3,4，

5,……KLMNO……最多電子數：

28183250…...量子態(tài)數為61對給定的一個l的分殼層:ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)個值；共2個值;量子態(tài)數為2(2l+1)所以各分殼層能容納的最多電子數為

電子在各殼層、分殼層的填充由左向右：n=1234……KLMN……1s22s22p6

3s23p63d10

4s24p64d104f14

…...

l=0,1,2,3,4……spdfg……最多電子數：

26101418……62n=1234……KLMN……1s22s22p6

3s23p63d10

4s24p64d104f14

…...四.元素周期表(p304)Ⅱ1氫H12氦He2K1s序數元素3鋰Li214鈹Be225硼B(yǎng)2216碳C2227氮N2238氧O2249氟F22510氖Ne226

L2s2p

M3s3p3d

N4s4p4d4f周期Ⅰ63n=1234……KLMN……1s22s22p6

3s23p63d10

4s24p64d104f14

…...例題17-9寫出氬(z=18)的電子組態(tài)。

1s22s22p63s23p6

例題17-10鈷(z=27)4s有兩個電子，沒有其它n4的電子，則3d態(tài)上的電子數為個。電子組態(tài)：1s22s22p63s23p63d？4s2764答：(B)例題17-11在氫原子的M殼層中，電子可能具有的量子態(tài)(n,l,ml,ms)為

(A)(2,1,0,)(B)(3,1,-1,)(C)(3,0,1,)(D)(1,0,0,)

n=3l=0,1,2例題17-12下列各組量子數中，哪一組可以描述原子中電子的狀態(tài)?(A)(2,2,0,)(B)(3,1,-1,)(C)(1,2,1,)(D)(1,0,1,)

答：(B)65例題17-14根據量子力學理論，當主量子數n=3時，電子動量矩的可能值為

答:當n=3時，L的可能值為：

L=0,例題17-13鋰(z=3)原子中有3個電子,已知一個電子的量子態(tài)為(1,0,0,),則其余兩個電子的量子態(tài)分別為

(2,0,0,)(1,0,0,)或(2,0,0,)l=0,1,266例題17-15寫出L殼層上8個電子可能具有的量子態(tài)(n,l,ml,ms)。解

L殼層：n=2,

(1)(2,,,)(2)(2,,,)(3)(2,,,)(4)(2,,,)(5)(2,,,)(6)(2,,,)

(7)(2,,,)(8)(2,,,)l=0,1，0010111-10010111-167

固體的能帶結構(energybandofsolid)(4)第18章本章內容提要

固體的能帶結構

半導體的導電機構68§18.1晶體的結合類型

一.晶體理想晶體中的粒子(原子、分子或原子集團)在空間的排布上是長程有序的；它們在空間有規(guī)則地作周期性的分布,構成空間點陣。按結合力的性質，晶體分為四類：離子晶體、共價晶體、分子晶體、金屬晶體。

二.非晶體

非晶態(tài)中的中分子排列在小范圍的空間內是短程有序的；但與理想晶體相比，在次近鄰原子間的關系上就可能有顯著差別。固體材料分成晶體和非晶體兩大類。69

三.晶體和非晶體的區(qū)別

(1)晶體有一定對稱性的規(guī)則外形,非晶體則沒有。

(2)晶體的物理性質是各向異性的，而非晶體是各向同性的。

(3)晶體有一定的熔點，非晶體則沒有。

(4)晶體在外力的作用下，容易沿著一定的平面(解理面)裂開，而非晶體沒有解理面。70四.晶體中電子的波函數由于晶體中原子緊緊靠在一起，原子上的外層電子都受到鄰近原子的作用。原子的價電子都不同程度地共有化了。若要研究晶體中電子的運動,原則上說，應當去解多原子、多電子系統(tǒng)的薛定諤方程。在單電子近似下，可以認為點陣離子不動，一個電子在周期性勢場中運動，由薛定諤方程求解電子的波函數和能量。然而這是一個復雜得不能嚴格求解的問題,只能用近似方法。71§18.2晶體中電子的能帶

一.電子的共有化晶體中原子排列的很緊密，因而各相鄰原子的波函數(或者說外電子殼層)將發(fā)生重疊。因此，各相鄰原子的外層電子，很難說是屬于那個原子，而實際上是處于為各鄰近原子乃至整個晶體所共有的狀態(tài)。這種現象稱為電子的共有化。72設有N個原子結合成晶體，原來單個原子時處于1s能級的2N個電子現在屬于整個原子系統(tǒng)(晶體)所共有，根據泡利不相容原理，不能有兩個或兩個以上電子具有完全相同的量子態(tài)(n,l,ml,ms),因而就不能再占有一個能級，而是分裂為2N個微有不同的能級。由于N是一個很大的數，這些能級相距很近，看起來幾乎是連續(xù)的，從而形成一條有一定寬度E的能帶。1s1s能帶

能帶的形成二.能帶的形成7374填滿電子的能帶稱為滿帶。未填滿電子的能帶稱為導帶。沒有電子填充的能帶稱為空帶。顯然空帶也屬導帶。由價電子能級分裂而成的能帶稱為價帶。在能帶之間沒有可能的量子態(tài)的能量區(qū)域叫禁帶。三.能帶的分類75導帶中的能級未被占滿，一個電子在外力作用下向其它能級轉移時，不一定有相反方向的轉移來抵消，所以導帶具有導電作用。

由于滿帶中所有能級都被電子占滿，因此一個電子在外力作用下向其它能級轉移時，必然伴隨著相反方向的轉移來抵消，所以滿帶是不導電的。四.電子在能帶中的填充和運動76

一.導體的能帶滿帶導帶(不空)禁帶E滿帶空帶E滿帶導帶(不空)E空帶導體的能帶特點：都具有一個未被電子填滿的能帶。§18.3導體半導體絕緣體的能帶77

二.半導體和絕緣體(電介質)的能帶從能帶上看，半導體和絕緣體的能帶沒有本質區(qū)別：都具有填滿電子的滿帶和隔離滿帶與空帶的禁帶。不同的是，半導體的禁帶較窄，而絕緣體的禁帶較寬。滿帶空帶禁帶(a)半導體的能帶E=0.10.2eV滿帶空帶禁帶(b)絕緣體的能帶E=36eVEE78絕緣體的禁帶一般很寬,一般的熱激發(fā)、光照或外加電場不是特別強時,滿帶中的電子很少能被激發(fā)到空帶中去,所以絕緣體有較大的電阻率，導電