第10章 能量法(2006版)

第10章（目錄）材料力學§10.1

概述

§10.2

彈性應變能的計算§10.3

互等定理§10.4

卡氏第二定理§10.5

虛功原理*§10.6

單位載荷法

§10.7

圖乘法§10.9

超靜定結構的基本解法第十章能量法§10.10

力法正則方程第十章能量法§10.1概述（目錄）一、基本概念

§10.1

概述二、能量原理第十章能量法一、基本概念能量原理功能原理用途：計算結構的變形求解超靜定結構數(shù)值計算——計算力學——固體力學中利用功與能之間的關系建立能

量

法——利用能量原理求解可變形固體的位移、變形、內力或外力的計算方法。的一些定理一、基本概念

§10.1

概述二、能量原理對變形固體：外力功即：彈性范圍內應變能可逆桿件應變能＝不計動能和其它能量靜載：能量原理二、能量原理

第十章能量法§10.2彈性應變能的計算（目錄）一、克拉貝依隆原理

§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算§10.2

彈性應變能的計算一、克拉貝依隆原理一、克拉貝依隆原理

即：

對于線彈性體，變形能是外力或位移的二次函數(shù)

線彈性體的應變能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（1.軸向拉壓）1.軸向拉伸或壓縮(1)應變能

a.軸力沿軸線不變

二、桿件應變能的計算

b.軸力沿軸線變化§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（1.軸向拉壓）1.軸向拉伸或壓縮(2)比能

二、桿件應變能的計算

§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（2.扭轉）2.扭轉(1)應變能

a.扭矩沿軸線不變

b.扭矩沿軸線變化

二、桿件應變能的計算

§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（2.扭轉）(2)純剪切應力狀態(tài)下的比能

二、桿件應變能的計算

2.扭轉(1)應變能§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（3.彎曲）3.彎曲(1)純彎曲(彎矩沿軸線不變)二、桿件應變能的計算

§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（3.彎曲）(2)橫力彎曲微段dx整個梁3.彎曲(1)純彎曲(彎矩沿軸線變化)二、桿件應變能的計算

§10.2

彈性應變能的計算二、桿件應變能的計算（4.組合變形）4.組合變形

二、桿件應變能的計算

§10.2

彈性應變能的計算例1例1

求圖示簡支梁的應變能，并求yC。解：

1.求支反力

2.列彎矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的應變能

4.利用U=W求yC第十章能量法§10.3互等定理（目錄）一、功的互等定理§10.3

互等定理二、位移互等定理§10.3

互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理

以圖示梁為例證明如下：§10.3

互等定理一、功的互等定理1.先在1點作用F1

再在2點作用F2

外力功：

外力功：

應變能：

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理1.先在1點作用F1

2.先在2點作用F2

再在1點作用F1

外力功：

外力功：

應變能：

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理應變能只決定于力與位移的最終值，

與加載次序無關

即：功的互等定理1.先在1點作用F1

2.先在2點作用F2

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理應變能只決定于力與位移的最終值，

與加載次序無關

即：功的互等定理1.先在1點作用F1

2.先在2點作用F2

一、功的互等定理

§10.3

互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理

由功的互等定理

位移互等定理注意：1.上述互等定理對于所有的線彈性結構都適用2.力和位移應理解為廣義力和廣義位移

當F1

=

F2

=

F時

力與位移成線彈性關系的結構線彈性結構——§10.3

互等定理例2例3

試求圖示梁的跨中撓度yC。

解：

1.當Me作用時

設想在C點作用F

2.

由功的互等定理3.查表討論：若應用位移互等定理如何求解？第十章能量法§10.4卡氏第二定理（目錄）一、定理推導§10.4

卡氏第二定理二、定理應用§10.4

卡氏第二定理一、定理推導已知：彈性體受一組相互獨立的廣義力F1、F2、…、

Fi、…作用

求：任一廣義力Fi的作用點沿Fi方向的廣義位移i

例如：一、定理推導

§10.4

卡氏第二定理一、定理推導給：

總應變能：

有：

一、定理推導

§10.4

卡氏第二定理一、定理推導改變加載次序

總應變能：

先加dFi：再加F1,F2,…,Fi,…：一、定理推導

§10.4

卡氏第二定理一、定理推導由

卡氏第二定理：

說明：1.卡氏定理適用于線彈性結構；2.Fi為廣義集中力，i為廣義位移。得到

卡氏定理：

一、定理推導

§10.4

卡氏第二定理二、定理應用

1.梁的彎曲

二、定理應用

§10.4

卡氏第二定理二、定理應用二、定理應用

2.桁架§10.4

卡氏第二定理二、定理應用

3.求沒有集中力作用的點的位移

在該點沿要求位移的方向，作用一個假想的力F0(附加力)，計算出在載荷和附加力共同作用時的變形能，在求得U

對F0的偏導數(shù)后，再令F0=

0，即0——廣義位移

F0——廣義力二、定理應用

§10.4

卡氏第二定理例3例3

圖示剛架的EI為常量，不計軸力和剪力影響，求B、D。解：

1.求B(1)列彎矩方程，并求導

DC段：CB段：BA段：(2)求B§10.4

卡氏第二定理例3解：

2.求D

(1)加附加力

DC：CB：BA：(3)求D(2)列彎矩方程例3

圖示剛架的EI為常量，不計軸力和剪力影響，求B、D。第十章能量法§10.6單位載荷法（目錄）一、定理推導§10.6

單位載荷二、莫爾定理的其它情形三、莫爾定理與卡氏定理的關系§10.6

單位載荷法一、定理推導已知：彈性體受一組相互獨立的廣義力F1、F2、…、

Fi、…作用

求：任一點C的廣義位移一、定理推導

§10.6

單位載荷法一、定理推導圖(a)：

圖(b)：圖(c)：圖(d)：

一、定理推導

§10.6

單位載荷法一、定理推導——廣義位移

——實際載荷引起的彎矩

——單位廣義力引起的彎矩

莫爾定理：

這種計算位移的方法稱為單位載荷法

式中

莫爾積分

一、定理推導

§10.6

單位載荷法二、莫爾定理的其它形式1.桁架2.扭轉二、莫爾定理的其它情形§10.6

單位載荷法二、莫爾定理的其它形式4.組合變形情況

3.求相對位移二、莫爾定理的其它情形§10.6

單位載荷法三、莫爾定理與卡氏定理的關系卡氏定理：

莫爾定理：

以彎曲為例說明兩者之間的關系若i=

，則有：

三、莫爾定理與卡氏第二定理的關系§10.6

單位載荷法例4解：

1.

求yC

(1).列彎矩方程(2).求yC

由對稱性例4

求圖示梁的yC和B?！?0.6

單位載荷法例4(1).列彎矩方程(2).求B

2.

求B

解：

1.

求yC

例4

求圖示梁的yC和B。第十章能量法§10.7圖乘法（維利沙金法）（目錄）一、莫爾積分的計算方法§10.7

圖乘法(維利沙金法)二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

§10.7

圖乘法（維利沙金法）一、莫爾積分的計算方法上述積分可以簡化必為直線或折線

對于等直桿在單位力或單位力偶的作用下，一、莫爾積分的計算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）1、M（x）為直線情況1.為直線的情況

一、莫爾積分的計算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）1、M（x）為直線情況——M圖的面積

——M圖的形心坐標

——圖中與M圖形心所對應的值

式中

圖乘法——上述計算莫爾積分的方法1.為直線的情況

一、莫爾積分的計算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）2、M（x）為折線情況(1)以折線的轉折點為界，將積分分成若干段(2)逐段使用圖乘法

(3)求和

一、莫爾積分的計算方法

2.為折線的情況

§10.7

圖乘法（維利沙金法）3、積分值的符號3.積分值的符號

M圖的形心C與

在同側，積分值為

+

異側，積分值為

-

一、莫爾積分的計算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）4、M圖由幾種常用圖形組合情況4.M圖由幾種常用圖形組合情況

(1)將M圖分解為幾種常用圖形的組合

(2)分別應用圖乘法

(3)疊加

一、莫爾積分的計算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）5、一般情況5.一般情況

若一個為直線或折線，

可使用圖乘法。

一、莫爾積分的計算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）二、幾種常用圖形的面積及其形心位置二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

1.三角形

§10.7

圖乘法（維利沙金法）二、幾種常用圖形的面積及其形心位置2.二次拋物線

二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

§10.7

圖乘法（維利沙金法）二、幾種常用圖形的面積及其形心位置3.n次拋物線二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

§10.7

圖乘法（維利沙金法）例5例5

用圖乘法求圖示梁的yC。

分為AC和CB兩段使用圖乘法

解：1.作M

圖

2.作

圖3.求解§10.7

圖乘法（維利沙金法）例6例6

圖乘法求圖示外伸梁A端轉角A。

1.疊加法作M圖3.求解A

解：2.作

圖第十章能量法§10.9超靜定結構的基本解法（目錄）一、超靜定結構的基本解法

二、例題§10.9

超靜定結構的基本解法§10.9

超靜定結構的基本解法一、超靜定結構的基本解法1.確定超靜定次數(shù)，選定靜定基2.作出相當系統(tǒng)3.寫出相當系統(tǒng)的應變能4.根據(jù)多余約束處的位移條件，5.聯(lián)立求解補充方程，得到全部多余約束力6.按靜定結構求其余約束力、內力、應力和位移

應用卡氏定理列出補充方程一、超靜定結構的基本解法§10.9

超靜定結構的基本解法二、例題二、例題§10.9

超靜定結構的基本解法例7例7

圖示超靜定梁的EI為常量，試求多余約束力。解：一次超靜定1.取靜定基

2.作相當系統(tǒng)

4.求解變形協(xié)調方程3.列變形協(xié)調方程§10.9

超靜定結構的基本解法例75.討論

利用求得例7

圖