第3章 誤差分析和數(shù)據(jù)處理

現(xiàn)代測(cè)試技術(shù)Moderntestingandmeasurementtechnology

蘇州科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院電子科學(xué)技術(shù)系潘敬熙Jingxi-pan@163.com53832713@

第3章誤差分析和數(shù)據(jù)處理

3.1誤差的表示法3.2誤差的來(lái)源和分類3.3系統(tǒng)誤差3.4隨機(jī)誤差3.5誤差的合成與分配3.6測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

3.1誤差的表示法

3.2.1幾個(gè)概念真值——

測(cè)量的目的就是獲得被測(cè)量的真值。所謂真值，就是一個(gè)物理量在一定的時(shí)間和環(huán)境條件下，被測(cè)量所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值。真值是利用理想的量具或測(cè)量?jī)x器而得到的無(wú)誤差的測(cè)量結(jié)果，它只是一個(gè)理想的概念，實(shí)際的測(cè)量無(wú)法得到。

實(shí)際值——

實(shí)際值是在實(shí)際測(cè)量中，用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的儀器示值來(lái)代替真值，通常稱為實(shí)際值，也叫相對(duì)真值。標(biāo)稱值——

標(biāo)稱值的是指測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值。由于制造和測(cè)量精度不夠以及環(huán)境因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱之時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。

示值——

示值的定義是測(cè)量器具指示的被測(cè)量的量值，也稱作測(cè)量器具的測(cè)量值，它包括數(shù)值和單位。測(cè)量就是通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段求出被測(cè)量與計(jì)算單位的比值的過(guò)程，所以測(cè)量結(jié)果就包括數(shù)字和計(jì)量單位兩部分。測(cè)量誤差就是測(cè)量值與真值之間存在的差異。

3.1.2誤差基本表示法

1.絕對(duì)誤差 設(shè)測(cè)量值為AX，被測(cè)量真值為A0，則絕對(duì)誤差ΔX可表示為ΔA=AX-A0

（3-1-1）

A0通常用高一等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器具的示值A(chǔ)來(lái)替代（也可以是多次測(cè)量的最佳估值），這時(shí)誤差可表示為 ΔA=AX-A（3-1-2）

誤差伴隨著測(cè)量過(guò)程的始終，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不能完全加以消除。在實(shí)際測(cè)量中，應(yīng)分析誤差產(chǎn)生的原因，合理選用儀器和測(cè)量方法，正確處理數(shù)據(jù)，使測(cè)量結(jié)果盡可能逼近真值。

如果測(cè)量誤差是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且不隨時(shí)間變化的，則可以用高一等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)檢定出來(lái)，在實(shí)際測(cè)量時(shí)對(duì)測(cè)量結(jié)果加以修正。修正值一般用C表示：

C=-ΔA=A-AX

因而有 A=C+AX

2.相對(duì)誤差 相對(duì)誤差有以下幾種： （1）實(shí)際相對(duì)誤差。它是用絕對(duì)誤差ΔA與被測(cè)量的實(shí)際值A(chǔ)0的百分比值來(lái)表示的，即（3-1-3）（2）標(biāo)稱相對(duì)誤差。它是用絕對(duì)誤差ΔA與儀器的測(cè)量值A(chǔ)X的百分比值表示的，即3.1.2儀表的誤差表示法 滿度相對(duì)誤差，也即引用誤差。定義為絕對(duì)誤差與測(cè)量?jī)x器滿度值的百分比： （3-1-4） 式中γm為滿度相對(duì)誤差，ΔA為絕對(duì)誤差，Am為儀器的滿度值。 如果已知儀器的滿度相對(duì)誤差γm

，則可以方便地推算出該儀器最大的絕對(duì)誤差，即 γm×Am≤

ΔAm

練習(xí):

試證明實(shí)際相對(duì)誤差γ實(shí)與示值相對(duì)誤差γ示二者差值等于γ實(shí)γ示即

γ實(shí)-γ示

=γ實(shí)γ示。并比較①A=99,A0=100②A=80,A0=100兩種情況下γ實(shí)與γ示的差值。

結(jié)論：

1、γ實(shí)、γ示定義不同。但當(dāng)誤差值較小時(shí)，γ實(shí)≈γ示。

2、當(dāng)誤差值較大時(shí)，γ實(shí)與γ示相差較大。因此在計(jì)算時(shí)兩者不能混用。要嚴(yán)格按規(guī)定的要求進(jìn)行。3.2誤差的來(lái)源和分類3.2.1測(cè)量誤差的來(lái)源 一般的測(cè)量過(guò)程都是條件受限的測(cè)量，必然存在不同程度的誤差。測(cè)量誤差的主要來(lái)源有以下幾個(gè)方面：（1）儀器誤差（2）使用誤差（3）人身誤差（4）環(huán)境誤差（5）方法誤差

（1）儀器、儀表誤差儀器儀表本身及其附件設(shè)計(jì)、制造、裝配、鑒定等的不完善以及儀器使用過(guò)程元器件的老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測(cè)量?jī)x器引入的誤差稱為儀器儀表誤差。儀器儀表誤差是測(cè)量誤差的主要來(lái)源之一，減少儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測(cè)量任務(wù)，正確地選擇測(cè)量方法和使用儀器。

（2）使用誤差是指人們?cè)谑褂脙x器過(guò)程中出現(xiàn)的誤差。又稱操作誤差。例如，安裝、調(diào)試、布置或使用不當(dāng)?shù)人鶎?dǎo)致的誤差。（3）人身誤差由于測(cè)量者的分辨能力、視覺(jué)疲勞、固有習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差稱為人身誤差。

（4）環(huán)境誤差由于各種環(huán)境因素與儀器儀表所要求的使用條件不一致所造成的誤差稱為影響誤差。（5）方法誤差和理論誤差由于測(cè)量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。理論誤差是用近似的公式或近似值計(jì)算測(cè)量結(jié)果而引起的誤差。要減小該誤差必須選擇合適的測(cè)量方法。

3.2.2測(cè)量誤差的分類

雖然多種測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因不盡相同，但按誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)，大致可以劃分為三類：

1.系統(tǒng)誤差 在相同條件下多次測(cè)量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或在條件改變時(shí)按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可表示為：

下圖描述了幾種不同系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律：直線a屬于恒定系差；直線b屬于變值系差中的累進(jìn)性系差，而且是誤差遞增的；直線c表示周期性系差，在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。系統(tǒng)誤差特征

產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因主要有以下幾種：

(1)測(cè)量?jī)x器的局限性。

(2)測(cè)量時(shí)環(huán)境條件(如溫度、濕度及電源電壓)與儀器使用要求不一致。

(3)采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式。(4)測(cè)量人員讀取儀器示值的偏差。2.隨機(jī)誤差在實(shí)際相同條件下多次測(cè)量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定的方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：

(1)測(cè)量?jī)x器產(chǎn)生噪聲，零部件配合不良等。

(2)溫度及電源電壓的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，電磁干擾等。

(3)測(cè)量人員感覺(jué)器官的無(wú)規(guī)律變化產(chǎn)生的讀數(shù)偏差。

隨機(jī)誤差的這些特性表明其服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)表征，若服從正態(tài)分布，如下圖所示。測(cè)量值xi的正態(tài)分布曲線誤差δi的正態(tài)分布曲線

一般來(lái)說(shuō)，有 式中Ex稱為數(shù)學(xué)期望，其定義為

σ稱為方差，其定義為

在工程中實(shí)際上當(dāng)n足夠大時(shí)，定義：

3.粗大誤差 粗大誤差是指明顯超出規(guī)定條件下能預(yù)期的誤差。產(chǎn)生粗大誤差的原因主要有：

(1)測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤。

(2)測(cè)量操作疏忽和失誤。

(3)測(cè)量條件的變更。3.2.3評(píng)定測(cè)量結(jié)果 測(cè)量結(jié)果常用“準(zhǔn)確度”（有些書(shū)表述成“正確度”）、“精密度”和精確度（有些書(shū)表述成“準(zhǔn)確度”）來(lái)評(píng)定。準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測(cè)量值與實(shí)際值符合的程度越高。精密度表示隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測(cè)量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來(lái)反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。測(cè)量結(jié)果評(píng)價(jià)：(a)準(zhǔn)確度高、精密度低；(b)準(zhǔn)確度低、精密度高；(c)精密度、準(zhǔn)確度均高，即精確度高射擊誤差示意圖測(cè)量值

是粗大誤差

3.3系統(tǒng)誤差

3.3.1削弱系統(tǒng)誤差的方法舉例一、概述系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下多次測(cè)量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或在條件改變時(shí)按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差特點(diǎn)：①是一個(gè)非隨機(jī)變量。即系統(tǒng)誤差出現(xiàn)不服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而服從確定的函數(shù)規(guī)律。②重復(fù)測(cè)量時(shí)誤差具有重現(xiàn)性。③可修正性。由于系統(tǒng)誤差的重現(xiàn)性，確定了具有可以修正的特點(diǎn)。

系統(tǒng)誤差按其出現(xiàn)的規(guī)律分類分為：固定系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差

1、固定系統(tǒng)誤差：在重復(fù)測(cè)量中，誤差的符號(hào)和數(shù)值都不變的誤差。如儀表的刻度不準(zhǔn)、分壓器沒(méi)有調(diào)準(zhǔn)等原因產(chǎn)生的誤差。

2、變化系統(tǒng)誤差：按其不同變化規(guī)律又分為三種：①單方向線性變化的系統(tǒng)誤差②周期性變化的系統(tǒng)誤差③變化規(guī)律復(fù)雜的系統(tǒng)誤差

（1）單方向線性變化的系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中是以單一方向不斷增長(zhǎng)或不斷減少的誤差。例如用電池做電源的測(cè)量?jī)x器，他們的誤差隨著電池放電逐漸增大；相反，作為頻率標(biāo)準(zhǔn)的有恒溫槽的石英晶體振蕩器，它的頻率誤差隨著恒溫時(shí)間增長(zhǎng)而不斷減少。（2）周期性變化的系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中誤差的符號(hào)和數(shù)值作周期性變化。例如作圓周掃描的圖示儀，由于讀數(shù)中心和掃描中心不重合所產(chǎn)生的誤差。

從系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因和特點(diǎn)可以確認(rèn)：系統(tǒng)誤差是一個(gè)非隨機(jī)量。其出現(xiàn)有一定規(guī)律。其產(chǎn)生的原因一般是可知的，能掌握的。操作人員應(yīng)盡力做到：⑴盡可能預(yù)見(jiàn)到各種系統(tǒng)誤差的具體來(lái)源，極力設(shè)法消除其影響。⑵設(shè)法確定或估計(jì)出未能消除的系統(tǒng)誤差值，至少要確定誤差的大小范圍。因?yàn)橛行┫到y(tǒng)誤差不能通過(guò)數(shù)據(jù)處理來(lái)發(fā)現(xiàn)和消除。

二、消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法測(cè)量準(zhǔn)確度由系統(tǒng)誤差大小表征。系統(tǒng)誤差越小，則測(cè)量準(zhǔn)確度越高典型的消除或減弱系統(tǒng)誤差方法有：1、零示法；2、替代法；3、交換法；4、補(bǔ)償法；5、微差法等。此外還有修正法，即對(duì)儀器定期進(jìn)行鑒定，并確定修正值的大小；檢查各種外界影響，如溫度、氣壓、磁場(chǎng)、電場(chǎng)等對(duì)儀器指示值的影響，并作出各種修正公式、修正曲線或表格，用它們對(duì)測(cè)量結(jié)果加以修正，來(lái)提高測(cè)量準(zhǔn)確度。零示法

通過(guò)平衡電路，使指示儀表示零。于是被測(cè)量就等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量。如用零示法測(cè)未知電壓，當(dāng)檢流計(jì)G指針示零時(shí)，有：

VX=VS

即只要標(biāo)準(zhǔn)電池及標(biāo)準(zhǔn)分壓器準(zhǔn)確，檢流計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)靈敏，測(cè)量就會(huì)準(zhǔn)確。而檢流計(jì)的系統(tǒng)誤差并不影測(cè)量的誤差。

替代法在測(cè)量條件不變的情況下，用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)已知量去代替被測(cè)量，并調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀器的示值不變。在這種情況下，被測(cè)量就等于標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值。由于在替代過(guò)程中，儀器的狀態(tài)和示值都不變，所以儀器的誤差和其他造成系統(tǒng)誤差的因素對(duì)測(cè)量結(jié)果基本不產(chǎn)生什么影響。替代法測(cè)電阻舉例

替代法被廣泛應(yīng)用在測(cè)量元件參數(shù)上，如用諧振法或電橋法測(cè)量電容器的電容和線圈的電感的電感量時(shí)，都可輔之以替代法。采用替代法的優(yōu)點(diǎn)：可消除對(duì)地電容，導(dǎo)線的電容、電感，和電感線圈的固有電容的影響。

交換法（對(duì)照法、二次測(cè)量法）

這種方法往往是使固定的系統(tǒng)誤差在測(cè)量結(jié)果中一次為正、另一次為負(fù)，而其絕對(duì)值相等。于是儀器兩次讀數(shù)的平均值將與系統(tǒng)誤差無(wú)關(guān)。在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量環(huán)境不可完全一致，故利用交換法得到的儀器兩次讀數(shù)的平均值只是大大削弱系統(tǒng)誤差的影響，而不能完全消除。微差法

考察零示法情況：被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量對(duì)指示儀表的作用完全相同，使指示儀表示零。而當(dāng)測(cè)量中指示儀表不能完全示零時(shí)（往往因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)量不能連續(xù)可變），只要標(biāo)準(zhǔn)量與被測(cè)量差別較小，則指示儀表的誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響將大大減弱。這就是所謂微差法的情況。用微差法求測(cè)量相對(duì)誤差的公式（3-3-6）：式中：VX——測(cè)量值；

VS——標(biāo)準(zhǔn)量；

Vδ——被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量之微差，由毫伏表讀出；

ΔVX

/VX——測(cè)量相對(duì)誤差；

ΔVS

/VS——標(biāo)準(zhǔn)量的相對(duì)誤差；

ΔVδ

/Vδ——指示儀表的相對(duì)誤差；

Vδ

/VS——微差Vδ與標(biāo)準(zhǔn)量VS的比值，也稱為被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)差之微誤差，或稱為相對(duì)微差。3.3.2系統(tǒng)誤差的判別1.恒系差的判別（1）校準(zhǔn)用儀器儀表本身的校準(zhǔn)裝置進(jìn)行自校，發(fā)現(xiàn)并消除之，如磁電系儀表的“機(jī)械調(diào)零”等；用更高級(jí)別的儀表來(lái)校準(zhǔn)所使用的儀表，給出的修正值，如儀表的出廠鑒定和使用過(guò)程中的定期送計(jì)量部門(mén)鑒定。（2）比對(duì)用多臺(tái)同類儀器測(cè)量同一量進(jìn)行相互對(duì)比，從而發(fā)現(xiàn)系差（研制儀器時(shí)常用）。（3）改變測(cè)量條件通過(guò)對(duì)不同條件下測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較來(lái)發(fā)現(xiàn)系差并消除。如，對(duì)環(huán)境磁場(chǎng)的影響，可將儀表位置調(diào)轉(zhuǎn)180°前后測(cè)兩次來(lái)發(fā)現(xiàn)系差，并取平均值來(lái)消除系差。2.變系差的判別（1）殘差觀察法3.3.2系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）

當(dāng)系差明顯大于隨差時(shí)，有規(guī)律地變化某一測(cè)量條件進(jìn)行測(cè)量，求出殘差，并按先后次序列表或作圖，觀察各殘差大小和符號(hào)的變化。再判斷是累進(jìn)性的還是周期性變系差。（2）公式法當(dāng)隨差明顯大于變系差時(shí)，變系差不易發(fā)現(xiàn)，則用公式法判別。

3.3.2系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）①馬利科夫判據(jù)：

若測(cè)量中有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，則M值應(yīng)明顯異于零（與殘差比較，若小一個(gè)數(shù)量級(jí)及以上就認(rèn)為M為零）。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，②阿卑－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。注意：變系差使測(cè)量值偏離正態(tài)分布，因而有變系差的測(cè)量數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用，重新測(cè)量。3.3.2系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）3.4隨機(jī)誤差

3.4.1隨機(jī)變量的平均值和方差隨機(jī)誤差定義在同一測(cè)量條件下（指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器都相同的條件下），多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)（等精度測(cè)量），每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡(jiǎn)稱隨差。

隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒(méi)有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，大地輕微振動(dòng)等。多次測(cè)量中，測(cè)量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測(cè)量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測(cè)量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測(cè)量的隨差沒(méi)有規(guī)律，但多次測(cè)量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？赏ㄟ^(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)處理,即求算術(shù)平均值隨機(jī)誤差也可表示成：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差

隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

隨機(jī)誤差的分布規(guī)律

②方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。

測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？3.4.2誤差的正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性

概率密度——

測(cè)量值X落在區(qū)間（x，x+Δx）內(nèi)的概率為P(x<X<x+Δx)。當(dāng)Δx趨近于零時(shí)，若P(x<X<x+Δx)與Δx之比的極限存在，就把它稱為測(cè)量值X在x點(diǎn)的概率密度，記為隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測(cè)量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差具有：①對(duì)稱性②單峰性③有界性④抵償性

若測(cè)量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測(cè)量列中的隨機(jī)誤差一般具有以下幾個(gè)特征：①絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性。②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性。③在一定的測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限，這稱為誤差的有界性。④隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零，這稱為誤差的抵償性。最后一個(gè)特征可由第一特征推導(dǎo)出來(lái)，因?yàn)榻^對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差之和可以互相抵消。對(duì)于有限次測(cè)量，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值是一個(gè)有限小的量，面當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，它趨向于零。而測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝方差D(X)＝隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：標(biāo)準(zhǔn)偏差意義

標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散。概率密度分布曲線為：誤差之間出現(xiàn)于區(qū)間（δ1，δ2）內(nèi)的概率為P(δ1<δ<δ2)=即等于上圖中陰影部分的面積。

概率密度曲線下的面積是概率值。由于隨機(jī)變量的所有量值出現(xiàn)的概率的總和必然等于1，所以分布曲線下的總面積等于1。對(duì)隨機(jī)誤差，則有測(cè)量結(jié)果的置信問(wèn)題

置信概率與置信區(qū)間：有時(shí)我們需要計(jì)算誤差在某范圍內(nèi)的概率。該范圍稱為置信區(qū)間。一般表示為（k稱置信系數(shù)，有點(diǎn)書(shū)中用t表示），而對(duì)應(yīng)的概率稱為置信概率。一般表示為

例如，已知被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望M(X)，對(duì)n→∞的測(cè)量值X，可估計(jì)測(cè)量值偏離其數(shù)學(xué)期望M(X)的上界限。即有：

|X—M(X)|＜δm

δm

——

稱為不確定度或置信限。表示誤差的估計(jì)極限范圍。一般取為σ(X)的若干倍。

即：

δm=Kσ(X)

于是，測(cè)量值偏離其數(shù)學(xué)期望M（X）上界限的估計(jì)值可寫(xiě)成：

|X–M(X)|＜kσ(X)k——稱為置信因子（或置信系數(shù)）對(duì)上面這種誤差估計(jì)值的可信度：

P[|X–M(X)|＜kσ(X)]

稱為置信概率。置信概率的值在0～1之間。置信概率所對(duì)應(yīng)的確定區(qū)間稱為置信區(qū)間。置信概率是圖中陰影部分面積即置信概率可寫(xiě)成置信系數(shù)k置信概率P10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大當(dāng)k=3時(shí)，置信概率與置信區(qū)間有兩種情況：（1）已知數(shù)學(xué)期望M(X)，求測(cè)量結(jié)果在數(shù)學(xué)期望附近某一確定范圍（即置信區(qū)間）——[M(X)-kσ(X)，M(X)+kσ(X)]內(nèi)的可信度（即置信概率）。這是因?yàn)橹眯艈?wèn)題可做如下轉(zhuǎn)換——

|X–M(X)|＜kσ(X)→-kσ(X)＜X–M(X)＜kσ(X)→M（X）-kσ(X)＜X＜M(X)+kσ(X)

求上式的概率值就是所謂“置信概率”。而確定區(qū)間：[M(X)-kσ(X)，

M(X)+kσ(X)]就是所謂“置信區(qū)間”。

（2）已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ(X),由得到的測(cè)量結(jié)果x，估計(jì)被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望M(X)落在測(cè)量結(jié)果x附近某一確定范圍（即置信區(qū)間）——[x-kσ(X)，x+kσ(X)]內(nèi)的可信程度（即置信概率）。這是因?yàn)橹眯艈?wèn)題又可做如下轉(zhuǎn)換——

|x–M(X)|＜kσ(X)

→-kσ(X)＜x–M(X)＜kσ(X)

→x-kσ(X)＜M(X)＜x+kσ(X)

上式的概率就是所謂第二種情況的“置信概率”。而下面的確定區(qū)間：

[x-kσ(X)，x+kσ(X)]

就是第二種情況的“置信區(qū)間”。

兩種情況的置信概率都是由下式推出：|x–M(X)|＜kσ(X)

因此，這兩種情況的置信概率是相等的。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們不必去仔細(xì)區(qū)分這兩種不同的情況。而只需根據(jù)給定的置信區(qū)間求出置信概率；或者反過(guò)來(lái)根據(jù)已知的置信概率求出相應(yīng)的置信區(qū)間。

注意：（1）置信區(qū)間和置信概率總是聯(lián)系在一起的。在討論置信問(wèn)題時(shí)，只有明確一方，才能討論另一方。（2）測(cè)量次數(shù)n→∞。3.4.3有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值求被測(cè)量的數(shù)字特征，理論上需無(wú)窮多次測(cè)量，但在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，怎么辦？

答案：有限次測(cè)量的平均值（即算術(shù)平均值）是測(cè)量的最佳估計(jì)值。規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的測(cè)量結(jié)果。即：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。故：（注：這里用到了“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè)隨機(jī)變量方差之和”的原理。）算術(shù)平均值：（2）有限次測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：【例1】用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測(cè)量值的序列（見(jiàn)下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差t分布的置信限

t分布與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對(duì)于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表得置信因子kt。（也用ta表示）自由度：v=n-1-3-2-10123

t分布之性質(zhì)非正態(tài)分布的置信因子

由于常見(jiàn)的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。例：均勻分布

有故:（P=1)反正弦均勻三角分布3.5誤差的合成與分配

3.5.1誤差的合成 設(shè)最終測(cè)量結(jié)果為y，各分項(xiàng)測(cè)量值為x1,x2,…,xn,且滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x1,x2,…,xn)

并設(shè)各xi間彼此獨(dú)立，xi的絕對(duì)誤差為Δxi,y的絕對(duì)誤差為Δy，則 y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δxn）用級(jí)數(shù)展開(kāi)上式，并舍去高次項(xiàng)，得到式中，Δy為系統(tǒng)總的合成誤差，其相對(duì)誤差形式為

（3-5-1）（3-5-2）

例：已知電阻上電壓及電流的測(cè)量相對(duì)誤差分別為γV=±3%,γi=±2%，求功率P=UI的相對(duì)誤差。。 解：由式（3-5-1）可得

例：電阻R1=1kΩ，R2=5kΩ，相對(duì)誤差均為5%，求串聯(lián)后總的相對(duì)誤差。 解：串聯(lián)后，R=R1+R2。串聯(lián)后電阻的相對(duì)誤差為誤差的合成的具體方法1.系統(tǒng)誤差的合成

（1）恒系差的合成恒系差具有恒定的大小和確定的符號(hào)，因而采用代數(shù)合成絕對(duì)誤差相對(duì)誤差（2）變系差的合成變系差是一個(gè)誤差范圍，而誤差的大小和符號(hào)在該范圍內(nèi)不確定。有時(shí)，變系差變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，因而變系差合成的結(jié)果就是總合不確定度，用Ф（以區(qū)別恒系差）來(lái)表示。

①絕對(duì)值合成從最不利出發(fā)，認(rèn)為各分項(xiàng)誤差同時(shí)取正或同時(shí)取負(fù)值，故總合不確定度為各分項(xiàng)不確定度的絕對(duì)值的和，即絕對(duì)誤差相對(duì)誤差

絕對(duì)值合成獲得最大誤差（誤差限），雖比較安全，但偏于保守，在分項(xiàng)數(shù)較多時(shí)更是如此。注意：絕對(duì)值合成僅用于分項(xiàng)數(shù)目較小時(shí)的總合不確定度的估計(jì)。

注意：均方根合成已認(rèn)為各分項(xiàng)誤差的分布形狀相同且總合后也未變（即ki=ky），故叫“廣義”。其實(shí)，分項(xiàng)數(shù)較多、各分項(xiàng)對(duì)總合的影響相差不大，則總合后將接近正態(tài)分布，則廣義均方根合成是可行的。但合成可能偏小，有一定的冒險(xiǎn)性，因計(jì)算簡(jiǎn)便而被常用。其次，是按隨機(jī)誤差方法在處理變系差（因變系差在誤差范圍內(nèi)不定）。②均方根合成當(dāng)分項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，用均方根合成更為合理，用得比較多的是廣義均方根合成。總和的隨機(jī)誤差

標(biāo)準(zhǔn)差合成2.隨機(jī)誤差的合成隨差在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化，則其最大幅度叫隨機(jī)不確定度。隨差符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，分項(xiàng)正態(tài)分布，總合后也是正態(tài)分布的，故按均方根合成。3.含不同性質(zhì)誤差時(shí)不確定度的合成同時(shí)含有系差和隨差，應(yīng)先將恒系差、變系差、隨差分離，再分別合成，最后進(jìn)行總合。恒系差絕對(duì)值合成（前述）。變系差合成系統(tǒng)不定度是仿照隨差方法處理，則變系差、隨差可總合成總的不確定度?？偤系牟淮_定度考慮恒系差合成后的總誤差合成

這里的n是分項(xiàng)數(shù)，i代表各分項(xiàng)，ε、Φ分別代表恒系差和變系差。若不含恒系差或變系差或隨差，可將其視為零帶入公式進(jìn)行總合

3.5.2誤差的分配

1.等準(zhǔn)確度分配 當(dāng)總誤差中各分項(xiàng)性質(zhì)相同（量綱相同）、大小相近時(shí)，分配給各組成環(huán)節(jié)的以相同的誤差。

例：有一工作在220V交流電壓下的變壓器，其工作電路如圖所示，已知初級(jí)線圈與兩個(gè)次級(jí)線圈的匝數(shù)比為W12∶W34∶W45=1∶2∶2，用最大量程為500V的交流電壓表測(cè)量變壓器總輸出電壓U，要求相對(duì)誤差小于±2%，問(wèn)應(yīng)該用哪個(gè)級(jí)別的交流電壓表？

解：由于變壓器次級(jí)線圈的兩組電壓U1、U2為440V，總電壓U為880V，故應(yīng)分別測(cè)量U1、U2,再用求和的方法求得總電壓U=U1+U2。已知總的絕對(duì)誤差為ΔU=U×（±2%）=±17.6V,由于U1、U2性質(zhì)完全等同，根據(jù)等準(zhǔn)確度分配原則分配誤差，則有選用1.5級(jí)的電壓表能滿足測(cè)量要求。

2.等作用分配 等作用分配是指分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上盡管有一定差異，但它們對(duì)誤差總和的作用和影響是相同的，即有此時(shí)，分配公式為m為分項(xiàng)數(shù)

例：用電壓表與電流表測(cè)量電阻上消耗的功率，已測(cè)出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW，若要求功率測(cè)量的系統(tǒng)誤差小于5%，則電壓和電流的測(cè)量誤差應(yīng)在多大范圍?

解：按題意，功率測(cè)量允許的系統(tǒng)誤差為

ΔP=300mW×5%=15mW

由P=IU

項(xiàng)數(shù)m=2，根據(jù)等作用分配原則，有

最佳測(cè)量方案選擇

例：用電阻表、電壓表、電流表的組合來(lái)測(cè)量電阻消耗的功率，已知電阻的阻值R，電阻上的電壓V，流過(guò)電阻的電流I，其相對(duì)誤差分別為γR=±2%，γV=±2%，γI=±3%，試確定最佳測(cè)量方案。 解：有三種測(cè)量方法，即P=UI、P=U2/R、P=I2R，現(xiàn)分別計(jì)算每種方案的最大測(cè)量誤差。

(1)P=UI：

（2）P=U2/R： （3）P=I2R：3.6測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

1.數(shù)字修約規(guī)則由于測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測(cè)量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計(jì)算簡(jiǎn)便，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，需對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——保留的末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在保留的末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——保留的末位是偶數(shù)，則末位不變；末位是奇數(shù)，則在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。3.6.1有效數(shù)字的處理例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12注意：舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。對(duì)“等于5”

采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了使在較多的數(shù)據(jù)舍入處理中產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過(guò)近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：

3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.000053.近似運(yùn)算法則保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無(wú)小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運(yùn)算

當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對(duì)誤差，則應(yīng)盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測(cè)量方法，并在