第3章 誤差分析和數據處理

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蘇州科技學院電子與信息工程學院電子科學技術系潘敬熙Jingxi-pan@163.com53832713@

第3章誤差分析和數據處理

3.1誤差的表示法3.2誤差的來源和分類3.3系統(tǒng)誤差3.4隨機誤差3.5誤差的合成與分配3.6測量數據的處理

3.1誤差的表示法

3.2.1幾個概念真值——

測量的目的就是獲得被測量的真值。所謂真值，就是一個物理量在一定的時間和環(huán)境條件下，被測量所呈現的客觀大小或真實數值。真值是利用理想的量具或測量儀器而得到的無誤差的測量結果，它只是一個理想的概念，實際的測量無法得到。

實際值——

實際值是在實際測量中，用高一級標準的儀器示值來代替真值，通常稱為實際值，也叫相對真值。標稱值——

標稱值的是指測量器具上標定的數值。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境因素的影響，標稱值并不一定等于它的真值或實際值。為此，在標出測量器具的標稱之時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級。

示值——

示值的定義是測量器具指示的被測量的量值，也稱作測量器具的測量值，它包括數值和單位。測量就是通過實驗手段求出被測量與計算單位的比值的過程，所以測量結果就包括數字和計量單位兩部分。測量誤差就是測量值與真值之間存在的差異。

3.1.2誤差基本表示法

1.絕對誤差 設測量值為AX，被測量真值為A0，則絕對誤差ΔX可表示為ΔA=AX-A0

（3-1-1）

A0通常用高一等級標準器具的示值A來替代（也可以是多次測量的最佳估值），這時誤差可表示為 ΔA=AX-A（3-1-2）

誤差伴隨著測量過程的始終，人們只能根據需要和可能，將其限制在一定范圍內而不能完全加以消除。在實際測量中，應分析誤差產生的原因，合理選用儀器和測量方法，正確處理數據，使測量結果盡可能逼近真值。

如果測量誤差是統(tǒng)計獨立且不隨時間變化的，則可以用高一等級標準檢定出來，在實際測量時對測量結果加以修正。修正值一般用C表示：

C=-ΔA=A-AX

因而有 A=C+AX

2.相對誤差 相對誤差有以下幾種： （1）實際相對誤差。它是用絕對誤差ΔA與被測量的實際值A0的百分比值來表示的，即（3-1-3）（2）標稱相對誤差。它是用絕對誤差ΔA與儀器的測量值AX的百分比值表示的，即3.1.2儀表的誤差表示法 滿度相對誤差，也即引用誤差。定義為絕對誤差與測量儀器滿度值的百分比： （3-1-4） 式中γm為滿度相對誤差，ΔA為絕對誤差，Am為儀器的滿度值。 如果已知儀器的滿度相對誤差γm

，則可以方便地推算出該儀器最大的絕對誤差，即 γm×Am≤

ΔAm

練習:

試證明實際相對誤差γ實與示值相對誤差γ示二者差值等于γ實γ示即

γ實-γ示

=γ實γ示。并比較①A=99,A0=100②A=80,A0=100兩種情況下γ實與γ示的差值。

結論：

1、γ實、γ示定義不同。但當誤差值較小時，γ實≈γ示。

2、當誤差值較大時，γ實與γ示相差較大。因此在計算時兩者不能混用。要嚴格按規(guī)定的要求進行。3.2誤差的來源和分類3.2.1測量誤差的來源 一般的測量過程都是條件受限的測量，必然存在不同程度的誤差。測量誤差的主要來源有以下幾個方面：（1）儀器誤差（2）使用誤差（3）人身誤差（4）環(huán)境誤差（5）方法誤差

（1）儀器、儀表誤差儀器儀表本身及其附件設計、制造、裝配、鑒定等的不完善以及儀器使用過程元器件的老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器引入的誤差稱為儀器儀表誤差。儀器儀表誤差是測量誤差的主要來源之一，減少儀器誤差的主要途徑是根據具體測量任務，正確地選擇測量方法和使用儀器。

（2）使用誤差是指人們在使用儀器過程中出現的誤差。又稱操作誤差。例如，安裝、調試、布置或使用不當等所導致的誤差。（3）人身誤差由于測量者的分辨能力、視覺疲勞、固有習慣或缺乏責任心等因素引起的誤差稱為人身誤差。

（4）環(huán)境誤差由于各種環(huán)境因素與儀器儀表所要求的使用條件不一致所造成的誤差稱為影響誤差。（5）方法誤差和理論誤差由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。理論誤差是用近似的公式或近似值計算測量結果而引起的誤差。要減小該誤差必須選擇合適的測量方法。

3.2.2測量誤差的分類

雖然多種測量誤差產生的原因不盡相同，但按誤差的性質和特點，大致可以劃分為三類：

1.系統(tǒng)誤差 在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可表示為：

下圖描述了幾種不同系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律：直線a屬于恒定系差；直線b屬于變值系差中的累進性系差，而且是誤差遞增的；直線c表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復雜規(guī)律變化的系差。系統(tǒng)誤差特征

產生系統(tǒng)誤差的原因主要有以下幾種：

(1)測量儀器的局限性。

(2)測量時環(huán)境條件(如溫度、濕度及電源電壓)與儀器使用要求不一致。

(3)采用近似的測量方法或近似的計算公式。(4)測量人員讀取儀器示值的偏差。2.隨機誤差在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預定的方式變化著的誤差稱為隨機誤差。 產生隨機誤差的主要原因有：

(1)測量儀器產生噪聲，零部件配合不良等。

(2)溫度及電源電壓的無規(guī)則運動，電磁干擾等。

(3)測量人員感覺器官的無規(guī)律變化產生的讀數偏差。

隨機誤差的這些特性表明其服從統(tǒng)計規(guī)律，用數理統(tǒng)計的方法來表征，若服從正態(tài)分布，如下圖所示。測量值xi的正態(tài)分布曲線誤差δi的正態(tài)分布曲線

一般來說，有 式中Ex稱為數學期望，其定義為

σ稱為方差，其定義為

在工程中實際上當n足夠大時，定義：

3.粗大誤差 粗大誤差是指明顯超出規(guī)定條件下能預期的誤差。產生粗大誤差的原因主要有：

(1)測量方法不當或錯誤。

(2)測量操作疏忽和失誤。

(3)測量條件的變更。3.2.3評定測量結果 測量結果常用“準確度”（有些書表述成“正確度”）、“精密度”和精確度（有些書表述成“準確度”）來評定。準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素使測量值呈現分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示準確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。測量結果評價：(a)準確度高、精密度低；(b)準確度低、精密度高；(c)精密度、準確度均高，即精確度高射擊誤差示意圖測量值

是粗大誤差

3.3系統(tǒng)誤差

3.3.1削弱系統(tǒng)誤差的方法舉例一、概述系統(tǒng)誤差定義：在相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差特點：①是一個非隨機變量。即系統(tǒng)誤差出現不服從統(tǒng)計規(guī)律，而服從確定的函數規(guī)律。②重復測量時誤差具有重現性。③可修正性。由于系統(tǒng)誤差的重現性，確定了具有可以修正的特點。

系統(tǒng)誤差按其出現的規(guī)律分類分為：固定系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差

1、固定系統(tǒng)誤差：在重復測量中，誤差的符號和數值都不變的誤差。如儀表的刻度不準、分壓器沒有調準等原因產生的誤差。

2、變化系統(tǒng)誤差：按其不同變化規(guī)律又分為三種：①單方向線性變化的系統(tǒng)誤差②周期性變化的系統(tǒng)誤差③變化規(guī)律復雜的系統(tǒng)誤差

（1）單方向線性變化的系統(tǒng)誤差在測量過程中是以單一方向不斷增長或不斷減少的誤差。例如用電池做電源的測量儀器，他們的誤差隨著電池放電逐漸增大；相反，作為頻率標準的有恒溫槽的石英晶體振蕩器，它的頻率誤差隨著恒溫時間增長而不斷減少。（2）周期性變化的系統(tǒng)誤差在測量過程中誤差的符號和數值作周期性變化。例如作圓周掃描的圖示儀，由于讀數中心和掃描中心不重合所產生的誤差。

從系統(tǒng)誤差產生的原因和特點可以確認：系統(tǒng)誤差是一個非隨機量。其出現有一定規(guī)律。其產生的原因一般是可知的，能掌握的。操作人員應盡力做到：⑴盡可能預見到各種系統(tǒng)誤差的具體來源，極力設法消除其影響。⑵設法確定或估計出未能消除的系統(tǒng)誤差值，至少要確定誤差的大小范圍。因為有些系統(tǒng)誤差不能通過數據處理來發(fā)現和消除。

二、消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法測量準確度由系統(tǒng)誤差大小表征。系統(tǒng)誤差越小，則測量準確度越高典型的消除或減弱系統(tǒng)誤差方法有：1、零示法；2、替代法；3、交換法；4、補償法；5、微差法等。此外還有修正法，即對儀器定期進行鑒定，并確定修正值的大?。粰z查各種外界影響，如溫度、氣壓、磁場、電場等對儀器指示值的影響，并作出各種修正公式、修正曲線或表格，用它們對測量結果加以修正，來提高測量準確度。零示法

通過平衡電路，使指示儀表示零。于是被測量就等于已知的標準量。如用零示法測未知電壓，當檢流計G指針示零時，有：

VX=VS

即只要標準電池及標準分壓器準確，檢流計轉動靈敏，測量就會準確。而檢流計的系統(tǒng)誤差并不影測量的誤差。

替代法在測量條件不變的情況下，用一個標準已知量去代替被測量，并調整標準量使儀器的示值不變。在這種情況下，被測量就等于標準量的數值。由于在替代過程中，儀器的狀態(tài)和示值都不變，所以儀器的誤差和其他造成系統(tǒng)誤差的因素對測量結果基本不產生什么影響。替代法測電阻舉例

替代法被廣泛應用在測量元件參數上，如用諧振法或電橋法測量電容器的電容和線圈的電感的電感量時，都可輔之以替代法。采用替代法的優(yōu)點：可消除對地電容，導線的電容、電感，和電感線圈的固有電容的影響。

交換法（對照法、二次測量法）

這種方法往往是使固定的系統(tǒng)誤差在測量結果中一次為正、另一次為負，而其絕對值相等。于是儀器兩次讀數的平均值將與系統(tǒng)誤差無關。在實際測量中，由于測量環(huán)境不可完全一致，故利用交換法得到的儀器兩次讀數的平均值只是大大削弱系統(tǒng)誤差的影響，而不能完全消除。微差法

考察零示法情況：被測量與標準量對指示儀表的作用完全相同，使指示儀表示零。而當測量中指示儀表不能完全示零時（往往因為標準量不能連續(xù)可變），只要標準量與被測量差別較小，則指示儀表的誤差對測量結果的影響將大大減弱。這就是所謂微差法的情況。用微差法求測量相對誤差的公式（3-3-6）：式中：VX——測量值；

VS——標準量；

Vδ——被測量與標準量之微差，由毫伏表讀出；

ΔVX

/VX——測量相對誤差；

ΔVS

/VS——標準量的相對誤差；

ΔVδ

/Vδ——指示儀表的相對誤差；

Vδ

/VS——微差Vδ與標準量VS的比值，也稱為被測量與標準差之微誤差，或稱為相對微差。3.3.2系統(tǒng)誤差的判別1.恒系差的判別（1）校準用儀器儀表本身的校準裝置進行自校，發(fā)現并消除之，如磁電系儀表的“機械調零”等；用更高級別的儀表來校準所使用的儀表，給出的修正值，如儀表的出廠鑒定和使用過程中的定期送計量部門鑒定。（2）比對用多臺同類儀器測量同一量進行相互對比，從而發(fā)現系差（研制儀器時常用）。（3）改變測量條件通過對不同條件下測量結果進行比較來發(fā)現系差并消除。如，對環(huán)境磁場的影響，可將儀表位置調轉180°前后測兩次來發(fā)現系差，并取平均值來消除系差。2.變系差的判別（1）殘差觀察法3.3.2系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）

當系差明顯大于隨差時，有規(guī)律地變化某一測量條件進行測量，求出殘差，并按先后次序列表或作圖，觀察各殘差大小和符號的變化。再判斷是累進性的還是周期性變系差。（2）公式法當隨差明顯大于變系差時，變系差不易發(fā)現，則用公式法判別。

3.3.2系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）①馬利科夫判據：

若測量中有累進性系統(tǒng)誤差，則M值應明顯異于零（與殘差比較，若小一個數量級及以上就認為M為零）。當測量次數n為奇數時，當測量次數n為偶數時，②阿卑－赫梅特判據：檢驗周期性系差的存在。注意：變系差使測量值偏離正態(tài)分布，因而有變系差的測量數據原則上應舍棄不用，重新測量。3.3.2系統(tǒng)誤差的判別（續(xù)）3.4隨機誤差

3.4.1隨機變量的平均值和方差隨機誤差定義在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。

隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量中，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭道斫y(tǒng)計的方法，處理測量數據，從而減少隨機誤差對測量結果的影響。例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律?？赏ㄟ^數理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術平均值隨機誤差也可表示成：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差

隨機變量的數字特征①

數學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

隨機誤差的分布規(guī)律

②方差和標準偏差方差是用來描述隨機變量與其數學期望的分散程度。設隨機變量X的數學期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標準偏差定義為：

標準偏差同樣描述隨機變量與其數學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。

測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數據和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？3.4.2誤差的正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數和統(tǒng)計特性

概率密度——

測量值X落在區(qū)間（x，x+Δx）內的概率為P(x<X<x+Δx)。當Δx趨近于零時，若P(x<X<x+Δx)與Δx之比的極限存在，就把它稱為測量值X在x點的概率密度，記為隨機誤差的概率密度函數為：測量數據X的概率密度函數為：

隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測量列中的隨機誤差一般具有以下幾個特征：①絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數相等，這稱為誤差的對稱性。②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多，這稱為誤差的單峰性。③在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定界限，這稱為誤差的有界性。④隨著測量次數的增加，隨機誤差的算術平均值趨向于零，這稱為誤差的抵償性。最后一個特征可由第一特征推導出來，因為絕對值相等的正誤差和負誤差之和可以互相抵消。對于有限次測量，隨機誤差的算術平均值是一個有限小的量，面當測量次數無限增大時，它趨向于零。而測量數據的數學期望E(X)＝方差D(X)＝隨機誤差的數學期望和方差為：標準偏差意義

標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。概率密度分布曲線為：誤差之間出現于區(qū)間（δ1，δ2）內的概率為P(δ1<δ<δ2)=即等于上圖中陰影部分的面積。

概率密度曲線下的面積是概率值。由于隨機變量的所有量值出現的概率的總和必然等于1，所以分布曲線下的總面積等于1。對隨機誤差，則有測量結果的置信問題

置信概率與置信區(qū)間：有時我們需要計算誤差在某范圍內的概率。該范圍稱為置信區(qū)間。一般表示為（k稱置信系數，有點書中用t表示），而對應的概率稱為置信概率。一般表示為

例如，已知被測量的數學期望M(X)，對n→∞的測量值X，可估計測量值偏離其數學期望M(X)的上界限。即有：

|X—M(X)|＜δm

δm

——

稱為不確定度或置信限。表示誤差的估計極限范圍。一般取為σ(X)的若干倍。

即：

δm=Kσ(X)

于是，測量值偏離其數學期望M（X）上界限的估計值可寫成：

|X–M(X)|＜kσ(X)k——稱為置信因子（或置信系數）對上面這種誤差估計值的可信度：

P[|X–M(X)|＜kσ(X)]

稱為置信概率。置信概率的值在0～1之間。置信概率所對應的確定區(qū)間稱為置信區(qū)間。置信概率是圖中陰影部分面積即置信概率可寫成置信系數k置信概率P10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大當k=3時，置信概率與置信區(qū)間有兩種情況：（1）已知數學期望M(X)，求測量結果在數學期望附近某一確定范圍（即置信區(qū)間）——[M(X)-kσ(X)，M(X)+kσ(X)]內的可信度（即置信概率）。這是因為置信問題可做如下轉換——

|X–M(X)|＜kσ(X)→-kσ(X)＜X–M(X)＜kσ(X)→M（X）-kσ(X)＜X＜M(X)+kσ(X)

求上式的概率值就是所謂“置信概率”。而確定區(qū)間：[M(X)-kσ(X)，

M(X)+kσ(X)]就是所謂“置信區(qū)間”。

（2）已知測量的標準偏差σ(X),由得到的測量結果x，估計被測量的數學期望M(X)落在測量結果x附近某一確定范圍（即置信區(qū)間）——[x-kσ(X)，x+kσ(X)]內的可信程度（即置信概率）。這是因為置信問題又可做如下轉換——

|x–M(X)|＜kσ(X)

→-kσ(X)＜x–M(X)＜kσ(X)

→x-kσ(X)＜M(X)＜x+kσ(X)

上式的概率就是所謂第二種情況的“置信概率”。而下面的確定區(qū)間：

[x-kσ(X)，x+kσ(X)]

就是第二種情況的“置信區(qū)間”。

兩種情況的置信概率都是由下式推出：|x–M(X)|＜kσ(X)

因此，這兩種情況的置信概率是相等的。在實際計算時，我們不必去仔細區(qū)分這兩種不同的情況。而只需根據給定的置信區(qū)間求出置信概率；或者反過來根據已知的置信概率求出相應的置信區(qū)間。

注意：（1）置信區(qū)間和置信概率總是聯系在一起的。在討論置信問題時，只有明確一方，才能討論另一方。（2）測量次數n→∞。3.4.3有限次測量的數學期望和標準偏差的估計值求被測量的數字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？

答案：有限次測量的平均值（即算術平均值）是測量的最佳估計值。規(guī)定使用算術平均值為數學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即：算術平均值的標準偏差

算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。故：（注：這里用到了“幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個隨機變量方差之和”的原理。）算術平均值：（2）有限次測量數據的標準偏差的估計值殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術平均值標準偏差的估計值：【例1】用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差t分布的置信限

t分布與測量次數有關。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數n，查表得置信因子kt。（也用ta表示）自由度：v=n-1-3-2-10123

t分布之性質非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。例：均勻分布

有故:（P=1)反正弦均勻三角分布3.5誤差的合成與分配

3.5.1誤差的合成 設最終測量結果為y，各分項測量值為x1,x2,…,xn,且滿足函數關系 y=f(x1,x2,…,xn)

并設各xi間彼此獨立，xi的絕對誤差為Δxi,y的絕對誤差為Δy，則 y+Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,…,xn+Δxn）用級數展開上式，并舍去高次項，得到式中，Δy為系統(tǒng)總的合成誤差，其相對誤差形式為

（3-5-1）（3-5-2）

例：已知電阻上電壓及電流的測量相對誤差分別為γV=±3%,γi=±2%，求功率P=UI的相對誤差。。 解：由式（3-5-1）可得

例：電阻R1=1kΩ，R2=5kΩ，相對誤差均為5%，求串聯后總的相對誤差。 解：串聯后，R=R1+R2。串聯后電阻的相對誤差為誤差的合成的具體方法1.系統(tǒng)誤差的合成

（1）恒系差的合成恒系差具有恒定的大小和確定的符號，因而采用代數合成絕對誤差相對誤差（2）變系差的合成變系差是一個誤差范圍，而誤差的大小和符號在該范圍內不確定。有時，變系差變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，因而變系差合成的結果就是總合不確定度，用Ф（以區(qū)別恒系差）來表示。

①絕對值合成從最不利出發(fā)，認為各分項誤差同時取正或同時取負值，故總合不確定度為各分項不確定度的絕對值的和，即絕對誤差相對誤差

絕對值合成獲得最大誤差（誤差限），雖比較安全，但偏于保守，在分項數較多時更是如此。注意：絕對值合成僅用于分項數目較小時的總合不確定度的估計。

注意：均方根合成已認為各分項誤差的分布形狀相同且總合后也未變（即ki=ky），故叫“廣義”。其實，分項數較多、各分項對總合的影響相差不大，則總合后將接近正態(tài)分布，則廣義均方根合成是可行的。但合成可能偏小，有一定的冒險性，因計算簡便而被常用。其次，是按隨機誤差方法在處理變系差（因變系差在誤差范圍內不定）。②均方根合成當分項數較多時，用均方根合成更為合理，用得比較多的是廣義均方根合成。總和的隨機誤差

標準差合成2.隨機誤差的合成隨差在一定范圍內隨機變化，則其最大幅度叫隨機不確定度。隨差符合統(tǒng)計規(guī)律，分項正態(tài)分布，總合后也是正態(tài)分布的，故按均方根合成。3.含不同性質誤差時不確定度的合成同時含有系差和隨差，應先將恒系差、變系差、隨差分離，再分別合成，最后進行總合。恒系差絕對值合成（前述）。變系差合成系統(tǒng)不定度是仿照隨差方法處理，則變系差、隨差可總合成總的不確定度?？偤系牟淮_定度考慮恒系差合成后的總誤差合成

這里的n是分項數，i代表各分項，ε、Φ分別代表恒系差和變系差。若不含恒系差或變系差或隨差，可將其視為零帶入公式進行總合

3.5.2誤差的分配

1.等準確度分配 當總誤差中各分項性質相同（量綱相同）、大小相近時，分配給各組成環(huán)節(jié)的以相同的誤差。

例：有一工作在220V交流電壓下的變壓器，其工作電路如圖所示，已知初級線圈與兩個次級線圈的匝數比為W12∶W34∶W45=1∶2∶2，用最大量程為500V的交流電壓表測量變壓器總輸出電壓U，要求相對誤差小于±2%，問應該用哪個級別的交流電壓表？

解：由于變壓器次級線圈的兩組電壓U1、U2為440V，總電壓U為880V，故應分別測量U1、U2,再用求和的方法求得總電壓U=U1+U2。已知總的絕對誤差為ΔU=U×（±2%）=±17.6V,由于U1、U2性質完全等同，根據等準確度分配原則分配誤差，則有選用1.5級的電壓表能滿足測量要求。

2.等作用分配 等作用分配是指分配給各分項的誤差在數值上盡管有一定差異，但它們對誤差總和的作用和影響是相同的，即有此時，分配公式為m為分項數

例：用電壓表與電流表測量電阻上消耗的功率，已測出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW，若要求功率測量的系統(tǒng)誤差小于5%，則電壓和電流的測量誤差應在多大范圍?

解：按題意，功率測量允許的系統(tǒng)誤差為

ΔP=300mW×5%=15mW

由P=IU

項數m=2，根據等作用分配原則，有

最佳測量方案選擇

例：用電阻表、電壓表、電流表的組合來測量電阻消耗的功率，已知電阻的阻值R，電阻上的電壓V，流過電阻的電流I，其相對誤差分別為γR=±2%，γV=±2%，γI=±3%，試確定最佳測量方案。 解：有三種測量方法，即P=UI、P=U2/R、P=I2R，現分別計算每種方案的最大測量誤差。

(1)P=UI：

（2）P=U2/R： （3）P=I2R：3.6測量數據的處理

1.數字修約規(guī)則由于測量數據和測量結果均是近似數，其位數各不相同。為了使測量結果的表示準確唯一，計算簡便，在數據處理時，需對測量數據和所用常數進行修約處理。數據修約規(guī)則：（1）小于5舍去——保留的末位不變。（2）大于5進1——在保留的末位增1。（3）等于5時，取偶數——保留的末位是偶數，則末位不變；末位是奇數，則在末位增1（將末位湊為偶數）。3.6.1有效數字的處理例：將下列數據舍入到小數第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12注意：舍入應一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結果為0.69，錯誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。對“等于5”

采用取偶數規(guī)則，是為了使在較多的數據舍入處理中產生正負誤差的概率近似相等。2.有效數字若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位的半個單位，則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：

3.142 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數字，極限誤差≤0.000053.近似運算法則保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項。（1）加法運算以小數點后位數最少的為準（各項無小數點則以有效位數最少者為準），其余各數可多取一位。例如：

（2）減法運算

當兩數相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數很接近時，有可能造成很大的相對誤差，則應盡量避免導致相近兩數相減的測量方法，并在