第七章 位移法龍馭球結(jié)構(gòu)力學(xué)

第七章位移法熟練掌握位移法基本未知量和基本結(jié)構(gòu)的確定、位移法典型方程的建立及其物力意義、位移法方程中的系數(shù)和自由項的物理意義及其計算、最終彎矩圖的繪制。熟記一些常用的形常數(shù)和載常數(shù)。熟練掌握由彎矩圖繪制剪力圖和軸力圖的方法。掌握利用對稱性簡化計算。重點掌握荷載荷載作用下的計算，了解其它因素下的計算。位移法方程有兩種建立方法，寫典型方程法和寫平衡方程法。要求熟練掌握一種，另一種了解即可。7.1基本概念欲求超靜定結(jié)構(gòu)先取一個基本體系,然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結(jié)構(gòu)完全一樣。位移法的特點：基本未知量——獨立結(jié)點位移；基本體系——一組單跨超靜定梁；基本方程——平衡條件。力法的特點：基本未知量——多余未知力；基本體系——靜定結(jié)構(gòu)；基本方程——位移條件（變形協(xié)調(diào)條件）。力法思路：轉(zhuǎn)換超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)位移法思路：先化整為零，再集零為整結(jié)構(gòu)桿件結(jié)構(gòu)兩種方法：平衡方程法和典型方程法基本思路ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常數(shù)ABCθAθAθA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48qB↓↓↓↓↓↓↓↓ACA位移法分析中應(yīng)解決的問題是：

①用力法確定單跨超靜定梁在桿端發(fā)生各種位移時以及荷載等因素作用下的內(nèi)力。

②確定以結(jié)構(gòu)上的哪些位移作為基本未知量。

③如何求出這些位移。桿端力和桿端位移的正負規(guī)定：桿端轉(zhuǎn)角，弦轉(zhuǎn)角＝Δ/l都以順時針為正。桿端彎矩對桿端以順時針為正，剪力使分離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正，否則為負。1.由桿端位移求桿端彎矩7.2桿件單元的形常數(shù)和載常數(shù)i=EI/l----線剛度單位荷載法可得出：解聯(lián)立方程可得：彎曲桿件的剛度方程剛度系數(shù)又稱形常數(shù)ABEIMABMBAABEI1).兩端固定梁ABEIMABMBAABEIAiBAiBABiMABMBA2).一端固定、一端滾軸支座的梁

BAiBAiBAEI3).一端固定、一端滑動支座的梁BAEIMABMBA4).

等截面直桿只要兩端的桿端位移對應(yīng)相同，則相應(yīng)的桿端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA荷載引起的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù).2.由荷載求固端內(nèi)力（載常數(shù)教材表7-1）位移法基本未知量個數(shù)的確定一、角位移個數(shù)的確定二、線位移個數(shù)的確定結(jié)點線位移是位移法計算中的一個基本未知量，為了減少基本未知量的個數(shù)，使計算得到簡化，常作以下假設(shè)：(1)忽略由軸力引起的軸向變形；(2)結(jié)點位移都很小；(3)直桿變形后，曲線兩端的連線長度等于原直線長度。線位移數(shù)也可以用幾何方法確定。140將結(jié)構(gòu)中所有剛結(jié)點和固定支座，代之以鉸結(jié)點和鉸支座，分析新體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)位移法計算時的線位移數(shù)。角位移數(shù)5線位移數(shù)2角位移數(shù)2線位移數(shù)1§7.3無側(cè)移剛架的計算如果除支座以外，剛架的各結(jié)點只有角位移而沒有線位移，這種剛架稱為無側(cè)移剛架。ABC3m3m6mEIEIFP=20kNq=2kN/mBqBEIFPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端彎矩3、列桿端轉(zhuǎn)角位移方程設(shè)4、位移法基本方程（平衡條件）16.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列桿端轉(zhuǎn)角位移方程4、位移法基本方程（平衡條件）5、各桿端彎矩及彎矩圖M圖(1)變形連續(xù)條件:在確定基本未知量時得到滿足；(2)物理條件:即剛度方程；(3)平衡條件:即位移法基本方程。超靜定結(jié)構(gòu)必須滿足的三個條件:例1、試用位移法分析圖示剛架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）桿端彎矩Mi

j計算線性剛度i，設(shè)EI0=1，則梁柱(3)位移法方程4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。梁(4)解方程(相對值)(5)桿端彎矩及彎矩圖梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M圖小結(jié)1、有幾個未知結(jié)點位移就應(yīng)建立幾個平衡方程；2、單元分析、建立單元剛度方程是基礎(chǔ)；3、當(dāng)結(jié)點作用有集中外力矩時，結(jié)點平衡方程式中應(yīng)包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDCABCDE8kN/miii7.4有側(cè)移剛架的計算↓↓↓↓↓↓↓3kN/m8m4m2iiiΔΔθB位移法計算有側(cè)移剛架一般說來，在位移法的基本未知量中，每一個轉(zhuǎn)角有一個相應(yīng)的結(jié)點力矩平衡方程，每一個獨立結(jié)點線位移有一個相應(yīng)的截面平衡方程，平衡方程的個數(shù)與基本未知量的個數(shù)相等，正好全部求解基本未知量。13.624.425.69M圖(kN.m)MABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDC例1.用位移法分析圖示剛架。[解]（1）基本未知量B、（2）單元分析BC8m4mii2iABCD3kN/mMABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程FQBA+FQCD=0…………...(2a)FQBAFQCD（4）解位移法方程（4）解位移法方程（5）彎矩圖MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mFQBA=-1.42kNFQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M圖（kN·m）ABCDEFmq例2.用位移法分析圖示剛架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCFQBEFQCF基本未知量為：PABCDEFpFQCEFQCAFQCB基本未知量為：MCEMCAMCDFQCAFQCEMCAMCDMCE用位移法計算并作圖示結(jié)構(gòu)M圖，橫梁為無窮剛梁EI→∞，兩柱剛度均為EI7.5位移法典型方程----剛臂,限制轉(zhuǎn)動的約束基本體系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別：增加了人為約束，把基本未知量由被動的位移變成為人工控制的主動位移。ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常數(shù)ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCθAF1F1=0典型方程法基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件：基本結(jié)構(gòu)在給定荷載以及結(jié)點位移?1作用下，附加約束反力應(yīng)等于零。ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常數(shù)ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCθAF1F1=0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCF1Pql2/12ql2/12ABCθAF11θAθAql2/12F1P4iF11↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48Δ1Δ1Δ2Δ1Δ1Δ2F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21Δ1=1Δ1×

Δ1×

Δ2k11Δ2=1k22k12位移法基本體系F1=0F2=0F11、F21(k11、k21)──基本體系在Δ1(=1)單獨作用時，附加約束1、2中產(chǎn)生的約束力矩和約束力；F12、F22(k12、k22)──基本體系在Δ2(=1)單獨作用時，附加約束1、2中產(chǎn)生的約束力矩和約束力；F1P、F2P──基本體系在荷載單獨作用時，附加約束1、2中產(chǎn)生的約束力矩和約束力；位移法方程的含義：基本體系在結(jié)點位移和荷載共同作用下，產(chǎn)生的附加約束中的總約束力(矩)等于零。實質(zhì)上是平衡條件。位移法典型方程n個結(jié)點位移的位移法典型方程

主系數(shù)kii──基本體系在Δi=1單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩和約束力，恒為正；

付系數(shù)kij=kji──基本體系在Δj=1單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩和約束力，可正、可負、可為零；

自由項FiP──基本體系在荷載單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩和約束力，可正、可負、可為零；；再由結(jié)點矩平衡求附加剛臂中的約束力矩，由截面投影平衡求附加支桿中的約束力。①確定位移法基本未知量，加入附加約束，取位移法基本體系。②令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點位移，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在荷載等外因和結(jié)點位移共同作用下產(chǎn)生的附加約束中的總反力（矩）=0，列位移法典型方程。③繪出單位彎矩圖、荷載彎矩圖，利用平衡條件求系數(shù)和自由項。④解方程，求出結(jié)點位移。⑤用公式疊加最后彎矩圖。并校核平衡條件。⑥根據(jù)M圖由桿件平衡求FQ，繪FQ圖，再根據(jù)FQ圖由結(jié)點投影平衡求FN，繪FN圖?！?kN/m8m4m2iiiΔ2Δ2Δ1↓↓↓↓↓↓↓3kN/mΔ2Δ1F1F2F1=0F2=0↓↓↓↓↓↓↓3kN/mF1PF2Pk12k22乘Δ2k11k21乘Δ1Δ1=1Δ2=1F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21

44MPF1P0

F1P=4F2P=－60F2P4i2i6i6ik11

k11=10ik21=－1.5iM1k12

01.5ik21

k22

M2

k12=－1.5ik21=15i/161.5i1.5i0.75i解之:Δ1=0.737/i，Δ2=7.58/i利用疊加彎矩圖

13.624.425.69M圖(kN.m)位移法計算有側(cè)移剛架與線位移相應(yīng)的位移法方程是沿線位移方向的截面投影方程。方程中的系數(shù)和自由項是基本體系附加支桿中的反力，由截面投影方程來求。7.6對稱性的利用結(jié)構(gòu)對稱是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支座條件、材料性質(zhì)及各桿剛度EA、EI、GA均對稱。利用結(jié)構(gòu)對稱性簡化計算，基本思路是減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架分析與對稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對稱性取半邊結(jié)構(gòu)時，該截面應(yīng)加上與位移條件相應(yīng)的支座。1.對稱荷載對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均對稱。在取半邊結(jié)構(gòu)時，B截面加上滑動支座，但橫梁線剛度應(yīng)加倍。與對稱軸相交截面B的位移條件為:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP

Bii1i2ii1i2i

FP

FP未知量ii1i22iBCA

FP2．反對稱荷載對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均反對稱。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i2未知量B

2i2i1C

FP

FPBi2i1i1

FPC二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在與對稱軸相交的截面。1.對稱荷載

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i2.反對稱荷載FPBII1/2I2

將中柱分成慣性矩各為I1/2的兩個柱，兩柱間跨度為dl

，則原結(jié)構(gòu)變?yōu)槠鏀?shù)跨。利用奇數(shù)跨結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的結(jié)論就可以得到圖示簡化結(jié)果。FPFPBIII1I2

I2

dlFPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4m4m4m4m4m4m30kN30kN10kN/mEI=C用位移法計算圖示結(jié)構(gòu),并繪彎矩圖.4m4m30kN10kN/m↓↓↓↓↓↓4080kN.m1iiABC=25=－5=－25=－20=－1080252051025M(kN.m)三、舉例↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m↓↓↓↓↓↓↓12kN/mi=1i=1ACBACAM2q=AACMq=4ABAMq+=162Aq-=164AABMq×-=12412420=+=?ACABAMMM20168==-AAqqMABMACA=－8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M圖(