差分方程模型

差分方程模型

一、差分方程簡介以t表示時間，規(guī)定t只取非負(fù)整數(shù)。t=0表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。記yt

為變量y在時刻t時的取值，則稱為yt

的一階差分，稱為的二階差分。類似地，可以定義yt的n階差分。由t、yt及yt的差分給出的方程稱為yt差分方程，其中含的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式。例如，二階差分方程也可改寫成滿足一差分方程的序列yt稱為此差分方程的解。類似于微分方程情況，若解中含有的獨(dú)立常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)時，稱此解為該差分方程的通解。若解中不含任意常數(shù)，則稱此解為滿足某些初值條件的特解，例如，考察兩階差分方程易見與均是它的特解，而

則為它的通解，其中c1，c2為兩個任意常數(shù)。類似于微分方程，稱差分方程

為n階線性差分方程，當(dāng)≠0時稱其為n階非齊次線性差分方程，而則被稱為方程對應(yīng)的齊次線性差分方程。若所有的ai(t)均為與t無關(guān)的常數(shù)，則稱其為常系數(shù)差分方程，即n階常系數(shù)線性差分方程可分成（1）

的形式，其對應(yīng)的齊次方程為（2）容易證明，若序列與均為方程（2）的解，則也是方程（2）的解，其中c1、c2為任意常數(shù)，這說明，齊次方程的解構(gòu)成一個線性空間（解空間）。

方程（1）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（步一）先求解對應(yīng)的特征方程

（3）

（步二）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方程(2)的通解

情況1

若特征方程（3）有n個互不相同的實(shí)根,…,，則齊次方程（2）的通解為

(C1,…,Cn為任意常數(shù))，情況2

若λ

是特征方程（3）的k重根，通解中對應(yīng)于λ的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,…,k。情況3

若特征方程（3）有單重復(fù)根通解中對應(yīng)它們的項(xiàng)為為λ的模，為λ的幅角。

情況4

若為特征方程（3）的k重復(fù)根，則通解對應(yīng)于它們的項(xiàng)為為任意常數(shù)，i=1,…,2k。

.若yt為方程(2)的通解,則非齊次方程(1)的通解為（步三）

求非齊次方程(1)的一個特解

求非齊次方程（1）的特解一般要用到常數(shù)變易法，計算較繁。對特殊形式的b(t)也可使用待定系數(shù)法。例1

求解兩階差分方程解

對應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，對應(yīng)齊次方程的通解為

原方程有形如的特解。代入原方程求得，，故原方程的通解為在應(yīng)用差分方程研究問題時，一般不需要求出方程的通解，在給定初值以后，通?？捎糜嬎銠C(jī)迭代求解，但我們常常需要討論解的穩(wěn)定性。對差分方程(1),若不論其對應(yīng)齊次方程的通解中任意常數(shù)C1,…,Cn

如何取值,在時總有,則稱方程(3)的解是穩(wěn)定的,否則稱其解為不穩(wěn)定的.根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)不難看出,非齊次方程(1)穩(wěn)定的充要條件為其所有特征根的模均小于1。三、差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性1．

一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1）的平衡點(diǎn)由x+ax=b解得，為，當(dāng)時，若xkx*，則x*是穩(wěn)定的。方程（1）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題可以通過變量代換轉(zhuǎn)換為齊次方程xk+1+axk=0,k=0,1,2…(2)的平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性問題。而對于方程（2），其解可以表示為

xk=(-a)kx0,k=1,2,…(3)所以當(dāng)且僅當(dāng)|a|<1時，方程（2）（從而方程（1））的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。

對于n維向量x(k)和n*n常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組

x(k+1)+Ax(k)=0其平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是A的特征根λi,I=1,2,…，均有|λi|<1。2．

二階線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性考察二階線性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0(4)在平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性。為求（4）的通解，先寫出他的特征方程記它的根為λ1，λ2，則（4）的通解可以表示為，其中常數(shù)c1,c2由初始條件x0,x1確定，從而可知，當(dāng)且僅當(dāng)|λ1|<1,|λ2|<1時方程（4）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。

3

一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性考察一階非線性差分方程xk+1=f(xk)(7)

的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。其平衡點(diǎn)x*由x=f(x)解出。將（7）的右端在x*點(diǎn)做泰勒展開，只取一次項(xiàng)，則（7）可以近似為：（8）x*也是（8）的平衡點(diǎn)。線性方程（8）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論同（1），而當(dāng)|f’(x*)|≠1時（7）與（8）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。從而有：當(dāng)|f’(x*)|<1時，方程（7）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)|f’(x*)|>1時，方程（7）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。例1（市場經(jīng)濟(jì)的蛛網(wǎng)模型）在自由競爭的市場經(jīng)濟(jì)中，商品的價格是由市場上該商品的供應(yīng)量決定的，供應(yīng)量越大，價格就越低。另一方面，生產(chǎn)者提供的商品數(shù)量又是由該商品的價格決定的，價格上升將刺激生產(chǎn)者的生產(chǎn)積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的增加。反之，價格降低會影響生產(chǎn)者的積極性，導(dǎo)致商品生產(chǎn)量的下降。在市場經(jīng)濟(jì)中，對每一商品事實(shí)上存在著兩個不同的函數(shù)：（1）供應(yīng)函數(shù)x=f(P)，它是價格P的單增函數(shù)，其曲線稱為供應(yīng)曲線。（2）需求函數(shù)x=g(P)，它是價格P的單降函數(shù)，其曲線稱為需求曲線，供應(yīng)曲線與需求曲線的形狀如圖所示。記t時段初市場上的供應(yīng)量(即上一時段的生產(chǎn)量)為xt

，市場上該商品的價格為Pt。商品成交的價格是由需求曲線決定的，即隨著

,Mt將趨于平衡點(diǎn)M*,即商品量將趨于平衡量x*,價格將趨于平衡價格P*。圖中的箭線反映了在市場經(jīng)濟(jì)下該商品的供應(yīng)量與價格的發(fā)展趨勢。xoPP0P2P*P1xx1x2x0x*需求曲線供應(yīng)曲線M0M2M1M*①PoM3M2M1②如果供應(yīng)曲線和需求曲線呈圖①中的形狀，則平衡點(diǎn)M*是穩(wěn)定的，Mt將越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。圖①和圖②的區(qū)別在哪里，如何判定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性呢？但是，如果供應(yīng)曲線和需求曲線呈圖②中的形狀，則平衡點(diǎn)M*是不穩(wěn)定的，Mt將越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。即使初始時刻的供應(yīng)量和價格對應(yīng)于平衡點(diǎn)，一點(diǎn)微小的波動也會導(dǎo)致市場供求出現(xiàn)越來越大的混亂。上述用圖示法分析市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的討論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為市場經(jīng)濟(jì)的蛛網(wǎng)模型。不難看出，在圖①中平衡點(diǎn)M*處供應(yīng)曲線的切線斜率大于需求曲線切線斜率的絕對值，而在圖②中情況恰好相反?，F(xiàn)在利用差分方程方法來研究蛛網(wǎng)模型，以驗(yàn)證上述猜測是否正確。我們知道，平衡點(diǎn)M*是否穩(wěn)定取決于在M*附近供、需曲線的局部性態(tài)。為此，用M*處供、需曲線的線性近似來代替它們，并討論此線性近似模型中M*的穩(wěn)定性。設(shè)供應(yīng)曲線與需求曲線的線性近似分別為

和式中，a、b分別為供應(yīng)曲線在M*處的切線斜率與需求曲線在M*處切線斜率的絕對值。

根據(jù)市場經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，當(dāng)供應(yīng)量為xt時，現(xiàn)時段的價格，又對價格，由供應(yīng)曲線解得下一時段的商品量

由此導(dǎo)出一階差分方程：（4）此差分方程的解在(b/a)<1時是穩(wěn)定的，從而證實(shí)了我們的猜測。注意到a和b的實(shí)際含義，上述結(jié)果在經(jīng)濟(jì)學(xué)上可作如下解釋：當(dāng)a>b時，顧客需求對價格的敏感度較小（小于生產(chǎn)者的敏感程度），商品供應(yīng)量和價格會自行調(diào)節(jié)而逐步趨于穩(wěn)定；反之，若a<b（商品緊缺易引起顧客搶購），該商品供售市場易造成混亂.如果生產(chǎn)者對市場經(jīng)濟(jì)的蛛網(wǎng)模型有所了解，為了減少因價格波動而造成的經(jīng)濟(jì)損失，他應(yīng)當(dāng)提高自己的經(jīng)營水平，不應(yīng)當(dāng)僅根據(jù)上一周期的價格來決定現(xiàn)階段的生產(chǎn)量。例如可以根據(jù)本時段與前一時段價格的平均值來確定生產(chǎn)量。此時，若t時段的商品量為xt

時，仍有

（7）將（5）式、（7）式代入（6）式，整理得

（5）但t+1時段的商品量則不再為而被修正為（6）由（5）式得（8）（4.22）式是一個常系數(shù)二階線性差分方程，特征方程為其特征根為記。若，則此時差分方程（4.22）是不穩(wěn)定的。

，若，此時特征根為一對共軛復(fù)數(shù)，。

由線性差分方程穩(wěn)定的條件，當(dāng)r<2即b<2a時（8）式是穩(wěn)定的，從而M*是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。不難發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)者管理方式的這一更動不僅使自己減少了因價格波動而帶來的損失，而且大大消除了市場的不穩(wěn)定性。生產(chǎn)者在采取上述方式來確定各時段的生產(chǎn)量后，如發(fā)現(xiàn)市場仍不穩(wěn)定（b≥2a），可按類似方法試圖再改變確定生產(chǎn)量的方式，此時可得到更高階的差分方程。對這些方程穩(wěn)定性條件的研究很可能會導(dǎo)出進(jìn)一步穩(wěn)定市場經(jīng)濟(jì)的新措施。例2

國民經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性國民收入的主要來源是生產(chǎn)，國民收入的開支主要用于消費(fèi)資金、投入再生產(chǎn)的積累資金及政府用于公共設(shè)施的開支。現(xiàn)在我們用差分方程方法建立一個簡略的模型，粗略地分析一下國民經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性問題。再生產(chǎn)的投資水平It取決于消費(fèi)水平的變化量，設(shè)政府用于公共設(shè)施的開支在一個不太大的時期內(nèi)變動不大，設(shè)為常數(shù)G。故由可得出。將及代入。

記yt為第t周期的國民收入，Ct為第t周期的消費(fèi)資金。Ct的值決定于前一周期的國民收入，設(shè)

（9）（9）式是一個二階常系數(shù)差分方程，其特征方程為，相應(yīng)特征根滿足

（10）成立時才是穩(wěn)定的。（10）式可用于預(yù)報經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢?，F(xiàn)用待定系數(shù)法求方程（9）的一個特解令代入（9）式，得故當(dāng)（10）式成立時，差分方程（9）的通解為其中ρ為的模，ω為其幅角。例如，若取，又若取y0=1600，y1=1700，

G=550，則由迭代公式求得y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,…。易見例3

商品銷售量預(yù)測

(實(shí)例)某商品前5年的銷售量見表。現(xiàn)希望根據(jù)前5年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)預(yù)測第6年起該商品在各季度中的銷售量。從表中可以看出，該商品在前5年相同季節(jié)里的銷售量呈增長趨勢，而在同一年中銷售量先增后減，第一季度的銷售量最小而第三季度的銷售量最大。預(yù)測該商品以后的銷售情況，一種辦法是應(yīng)用最小二乘法建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。即根?jù)本例中數(shù)據(jù)的特征，可以按季度建立四個經(jīng)驗(yàn)公式，分別用來預(yù)測以后各年同一季度的銷售量。例如，如認(rèn)為第一季度的銷售量大體按線性增長，可設(shè)銷售量由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第四年第三年第二年第一年銷售量季度

年份求得a=1.3，b=9.5。根據(jù)預(yù)測第六年起第一季度的銷售量為

=17.3，=18.6，…如認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或前幾年同期銷售量的一定比例增長的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。仍以第一季度為例，為簡便起見不再引入上標(biāo)，以表示第t年第一節(jié)季度的銷售量，建立形式如下的差分方程：或等等。上述差分方程中的系數(shù)不一定能使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。以建立二階差分方程為例，為選取a0,a1,a2使最小，解線性方程組：即求解得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二階差分方程為

雖然這一差分方程恰好使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，但這只是一個巧合。根據(jù)這一方程，可迭代求出以后各年第一季度銷售量的預(yù)測值y6=21，y7=19，…等。上述為預(yù)測各年第一季度銷售量而建立的二階差分方程，雖然其系數(shù)與前5年第一季度的統(tǒng)計數(shù)據(jù)完全吻合，但用于預(yù)測時預(yù)測值與事實(shí)不符。憑直覺，第六年估計值明顯偏高，第七年銷售量預(yù)測值甚至小于第六年。稍作分析，不難看出，如分別對每一季度建立一差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會相差甚大，但對同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個共用于各個季度的差分方程。為此，將季度編號為t=1,2,…,20，令或等，利用全體數(shù)據(jù)來擬合，求擬合得最好的系數(shù)。以二階差分方程為例，為求a0、a1、a2使得

最小求解線性方程組即求解三元一次方程組解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二階差分方程（t≥21）

根據(jù)此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度銷售量的預(yù)測值為y21=17.58，y25=19.16還是較為可信的。例4

人口問題的差分方程模型我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了人口問題的兩個常微分方程模型——Malthus模型和Verhulst模型（又稱Logistic模型）。前者可用于人口增長的短期預(yù)測，后者在作中、長期預(yù)測時效果較好。1、離散時間的Logistic模型在研究人口或種群數(shù)量的實(shí)際增長情況時，有時采用離散化的時間變量更為