2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步1.5第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)方法。2.掌握點(diǎn)到直線距離公式，并能靈活應(yīng)用于求平行線間的距離等問題．知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離思考1如何求點(diǎn)P(x0,y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離？思考2點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)于A＝0或B＝0時(shí)的直線是否仍然適用?梳理點(diǎn)到直線的距離（1）定義：點(diǎn)到直線的________________的長度．（2)圖示：（3）公式：d＝________________________。知識(shí)點(diǎn)二兩條平行直線間的距離思考直線l1：x＋y－1＝0上有A（1,0）、B(0,1）、C（－1,2）三點(diǎn)，直線l2：x＋y＋1＝0與直線l1平行，那么點(diǎn)A、B、C到直線l2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？梳理兩平行線間的距離（1）定義：夾在兩平行線間的________________的長．(2)圖示:（3）求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．（4)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|，\r(A2＋B2))。類型一點(diǎn)到直線的距離例1(1）求點(diǎn)P(2,－3）到下列直線的距離．①y＝eq\f（4,3）x＋eq\f（1，3）；②3y＝4;③x＝3。(2）求過點(diǎn)M（－1,2），且與點(diǎn)A（2,3）,B（－4，5）距離相等的直線l的方程．反思與感悟（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)問題：①直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式；②點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用;③直線方程Ax＋By＋C＝0，當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．（2)用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，首先考慮斜率不存在是否滿足題意．跟蹤訓(xùn)練1（1)若點(diǎn)(4,a)到直線4x－3y＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________________．(2）已知直線l過點(diǎn)P(3,4）且與點(diǎn)A（－2,2），B(4，－2）等距離,則直線l的方程為________________________．類型二兩平行線間的距離例2（1）兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為____________．(2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則直線l的方程為________________．反思與感悟求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式,當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2,且b1≠b2時(shí)，d＝eq\f(｜b1－b2|，\r(k2＋1）);當(dāng)直線l1:Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí),d＝eq\f（｜C1－C2｜，\r（A2＋B2））.但必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．跟蹤訓(xùn)練2（1）求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程；（2）兩平行直線l1，l2分別過P1（1,0)，P2（0，5），若l1與l2的距離為5，求兩直線方程．類型三利用距離公式求最值eq\x(命題角度1由點(diǎn)到直線的距離求最值）例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足6x＋8y－1＝0,則eq\r(x2＋y2－2y＋1）的最小值為________．反思與感悟解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)"轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．跟蹤訓(xùn)練3(1）動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在直線x＋y－4＝0上，O為原點(diǎn),求｜OP|最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)P(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程．eq\x(命題角度2有關(guān)兩平行線間距離的最值)例4兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A（6,2)，B(－3，－1）,并且各自繞著點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d。（1)求d的取值范圍；(2）求d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．反思與感悟兩平行線間的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離,通過兩點(diǎn)間的距離利用數(shù)形結(jié)合思想得到兩平行線間距離的最值．跟蹤訓(xùn)練4已知P，Q分別是直線3x＋4y－5＝0與6x＋8y＋5＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則｜PQ|的最小值為()A．3B。eq\r（3)C。eq\f(\r（3)，2）D。eq\f（3，2)1．已知點(diǎn)(a，1）到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為(）A．1B．－1C。eq\r(2)D．±eq\r(2）2．直線x－2y－1＝0與直線x－2y－C＝0的距離為2eq\r(5)，則C的值為（)A．9 B．11或－9C．－11 D．9或－113．已知點(diǎn)M（1，2），點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上,則｜MP｜的最小值是（)A.eq\r(10) B。eq\f(3\r（5）,5）C.eq\r(6） D．3eq\r（5)4．兩平行直線3x＋4y＋5＝0與6x＋ay＋30＝0間的距離為d,則a＋d＝________。5．直線3x－4y－27＝0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．1．點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上的點(diǎn)連線的距離的最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解題時(shí)要注意把直線方程化為一般式．當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)可直接求之．2．利用點(diǎn)到直線的距離公式可求直線的方程，有時(shí)需數(shù)形結(jié)合，使問題更清晰．3．已知兩平行直線，其距離可利用公式d＝eq\f(｜C1－C2|，\r(A2＋B2））求解，也可在已知直線上取一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1先求出過點(diǎn)P（x0，y0）的直線l的垂線的方程，通過聯(lián)立方程組得到垂足的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離求出點(diǎn)P（x0，y0)與垂足的距離，即為點(diǎn)P(x0,y0)到直線l的距離d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜，\r（A2＋B2））.思考2仍然適用，①當(dāng)A＝0,B≠0時(shí)，直線l的方程為By＋C＝0，即y＝－eq\f（C，B），d＝｜y0＋eq\f（C,B)｜＝eq\f(｜By0＋C｜，｜B|)，適合公式．②當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，直線l的方程為Ax＋C＝0，x＝－eq\f（C,A)，d＝｜x0＋eq\f（C,A）|＝eq\f(|Ax0＋C｜,|A｜），適合公式．梳理（1)垂線段(3）eq\f(｜Ax0＋By0＋C｜,\r（A2＋B2))知識(shí)點(diǎn)二思考點(diǎn)A、B、C到直線l2的距離分別為eq\r（2)、eq\r（2)、eq\r(2).規(guī)律是當(dāng)兩直線平行時(shí),一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離都相等．梳理（1）公垂線段題型探究例1(1）解①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化為4x－3y＋1＝0，點(diǎn)P（2，－3)到該直線的距離為d＝eq\f(|4×2－3×－3＋1｜,\r(42＋－32)）＝eq\f(18，5);②3y＝4可化為3y－4＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式，得d＝eq\f(｜－3×3－4｜,\r(02＋32)）＝eq\f(13,3）；③x＝3可化為x－3＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式，得d＝eq\f（|2－3|，1）＝1。（2)解方法一當(dāng)過點(diǎn)M（－1，2)的直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，恰好與A（2，3），B（－4，5）兩點(diǎn)距離相等，故x＝－1滿足題意;當(dāng)過點(diǎn)M（－1,2)的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k（x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點(diǎn)A(2,3）與B(－4,5）到直線l的距離相等，得eq\f（|2k－3＋k＋2｜,\r（k2＋1)）＝eq\f(｜－4k－5＋k＋2|，\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(1，3)，此時(shí)直線l的方程為y－2＝－eq\f（1，3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.綜上所述直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0。方法二由題意得，l∥AB或l過AB的中點(diǎn)，當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB，直線l的斜率為kl，則kAB＝kl＝eq\f（5－3,－4－2)＝－eq\f(1，3），此時(shí)直線l的方程為y－2＝－eq\f(1，3）(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB的中點(diǎn)（－1,4）時(shí)，直線l的方程為x＝－1。綜上所述，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.跟蹤訓(xùn)練1（1）［eq\f（1，3)，eq\f(31，3)］（2）2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0例2(1)eq\f（\r（10）,4）（2）2x－y＋1＝0解析（1）由題意,得eq\f（6,3)＝eq\f（m，1），∴m＝2,即6x＋2y－1＝0。將直線3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，由兩平行線間的距離公式，得eq\f(｜－1＋6|，\r（62＋22））＝eq\f(5，\r(40））＝eq\f(\r(10)，4)。（2)設(shè)直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意,得eq\f(|3－C｜，\r(22＋12））＝eq\f(｜C＋1｜,\r(22＋12)），解得C＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0。跟蹤訓(xùn)練2解(1）方法一設(shè)所求直線的方程為5x－12y＋C＝0,在直線5x－12y＋6＝0上取一點(diǎn)P0（0，eq\f（1,2）），則點(diǎn)P0到直線5x－12y＋C＝0的距離為eq\f(|－12×\f(1,2)＋C｜,\r(52＋－122）)＝eq\f(|C－6｜,13)，由題意，得eq\f（｜C－6｜，13）＝2，所以C＝32或C＝－20,故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。方法二設(shè)所求直線的方程為5x－12y＋C＝0,由兩平行直線間的距離公式，得2＝eq\f（|C－6｜，\r(52＋－122)),解得C＝32或C＝－20,故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.（2)依題意,兩直線的斜率都存在，設(shè)l1：y＝k（x－1),即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因?yàn)閘1與l2的距離為5，所以eq\f（｜－k－5｜，\r(k2＋1))＝5,解得k＝0或eq\f(5,12).所以l1和l2的方程分別為y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0。例3eq\f（7,10)解析∵eq\r（x2＋y2－2y＋1）＝eq\r（x－02＋y－12），∴上式可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)N（0，1）的距離，即為點(diǎn)N到直線l:6x＋8y－1＝0上任意一點(diǎn)M（x，y)的距離，∴S＝｜MN｜的最小值應(yīng)為點(diǎn)N到直線l的距離，即|MN|min＝d＝eq\f(｜8－1|，\r(62＋82)）＝eq\f(7,10).跟蹤訓(xùn)練3解(1）直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)OP垂直于已知直線，則kOP＝1,∴OP所在直線方程為y＝x,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝2.））∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,2)．（2）由題意知，過點(diǎn)P且與OP垂直的直線到原點(diǎn)O的距離最大，∵kOP＝2,∴所求直線方程為y－2＝－eq\f(1，2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.例4解（1）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線分別為l1、l2，顯然當(dāng)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（l1⊥AB，,l2⊥AB））時(shí),l1和l2的距離最大，