2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2向量的減法學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2。2向量的減法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.2.掌握向量減法的幾何意義。3.能熟練地進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算．知識點(diǎn)一相反向量思考實(shí)數(shù)a的相反數(shù)為－a，向量a與－a的關(guān)系應(yīng)叫作什么?梳理與a________________的向量，叫作a的相反向量，記作________．（1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是________．(2)－(－a）＝a。（3）a＋(－a)＝________＝________。（4)若a與b互為相反向量，則a＝________，b＝________,a＋b＝____.知識點(diǎn)二向量的減法思考1根據(jù)向量的加法，如何求作a－b？思考2向量減法的三角形法則是什么？梳理(1）定義：向量a加上____________,叫作a與b的差，即a－b＝__________。求兩個(gè)向量____的運(yùn)算，叫作向量的減法．（2）幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o（OB，\s\up6（→）)＝b，則向量a－b＝________，如圖所示．(3）文字?jǐn)⑹觯喝绻严蛄縜與b的起點(diǎn)放在O點(diǎn),那么由向量b的終點(diǎn)B指向被減向量a的終點(diǎn)A,得到的向量eq\o（BA,\s\up6(→))就是a—b。知識點(diǎn)三｜a|－｜b｜，｜a±b｜,｜a|＋｜b｜三者的關(guān)系思考在三角形中有兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，結(jié)合這一性質(zhì)及向量加、減法的幾何意義，｜a｜－｜b|,｜a±b|，|a｜＋|b｜三者關(guān)系是怎樣的？梳理當(dāng)向量a,b不共線時(shí)，作eq\o（OA,\s\up6(→））＝a，eq\o（AB,\s\up6（→)）＝b,則a＋b＝eq\o(OB,\s\up6(→）),如圖(1)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，則有||a|－|b||〈｜a＋b｜<|a|＋|b|。當(dāng)a與b共線且同向或a，b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，作法同上，如圖（2）,此時(shí)|a＋b｜＝|a｜＋|b|。當(dāng)a與b共線且反向或a,b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，不妨設(shè)|a|>|b｜,作法同上，如圖(3),此時(shí)｜a＋b｜＝｜|a|－｜b｜|。故對于任意向量a，b，總有|｜a｜－|b|｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜.①因?yàn)椋黙－b|＝|a＋(－b）|,所以|｜a｜－｜－b||≤｜a－b|≤|a｜＋｜－b｜,即|｜a｜－｜b||≤｜a－b|≤｜a｜＋｜b|。②將①②兩式結(jié)合起來即為｜｜a|－|b｜｜≤|a±b|≤|a｜＋|b｜。類型一向量減法的幾何作圖例1如圖,已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.引申探究若本例條件不變，則a－b－c如何作？反思與感悟在求作兩個(gè)向量的差向量時(shí),當(dāng)兩個(gè)向量有共同始點(diǎn)，直接連接兩個(gè)向量的終點(diǎn),并指向被減向量，就得到兩個(gè)向量的差向量;若兩個(gè)向量的始點(diǎn)不重合，先通過平移使它們的始點(diǎn)重合，再作出差向量．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示,已知向量a，b,c，d,求作向量a－b，c－d。類型二向量減法法則的應(yīng)用例2化簡下列式子：（1）eq\o(NQ，\s\up6(→））－eq\o（PQ,\s\up6(→））－eq\o(NM，\s\up6(→）)－eq\o(MP，\s\up6（→））；（2)（eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o(CD，\s\up6(→）)）－（eq\o(AC，\s\up6（→)）－eq\o(BD，\s\up6（→)））．反思與感悟向量減法的三角形法則的內(nèi)容：兩向量相減，表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)字母為終點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2化簡:（1）(eq\o（BA，\s\up6（→））－eq\o(BC，\s\up6（→)))－(eq\o(ED，\s\up6（→)）－eq\o(EC,\s\up6（→）));(2）（eq\o(AC,\s\up6（→））＋eq\o(BO,\s\up6(→)）＋eq\o（OA，\s\up6（→）)）－(eq\o（DC，\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6（→))－eq\o(OB,\s\up6(→）））．類型三向量減法幾何意義的應(yīng)用例3已知|eq\o（AB，\s\up6（→))｜＝6,｜eq\o（AD，\s\up6（→））|＝9,求|eq\o（AB,\s\up6（→））－eq\o(AD，\s\up6(→））｜的取值范圍．反思與感悟(1)如圖所示,在平行四邊形ABCD中，若eq\o（AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（AD,\s\up6（→)）＝b，則eq\o（AC,\s\up6（→))＝a＋b,eq\o(DB,\s\up6(→）)＝a－b.（2）在公式｜｜a|－｜b|｜≤|a＋b｜≤|a｜＋|b|中，當(dāng)a與b方向相反且|a｜≥|b|時(shí)，｜a|－|b|＝｜a＋b｜;當(dāng)a與b方向相同時(shí)，|a＋b|＝|a｜＋｜b|。(3）在公式||a｜－｜b｜｜≤|a－b｜≤|a｜＋｜b｜中，當(dāng)a與b方向相同且｜a｜≥｜b｜時(shí)，｜a｜－｜b｜＝｜a－b｜；當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a－b|＝｜a|＋|b｜。跟蹤訓(xùn)練3在四邊形ABCD中，設(shè)eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a,eq\o(AD,\s\up6（→)）＝b，且eq\o(AC，\s\up6（→))＝a＋b，若|a＋b|＝｜a－b｜，則四邊形ABCD的形狀是（)A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形1。如圖所示，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a，eq\o(AD,\s\up6（→))＝b，則用a，b表示向量eq\o(AC，\s\up6（→)）和eq\o（BD,\s\up6(→）)分別是（)A．a(chǎn)＋b和a－bB．a(chǎn)＋b和b－aC．a(chǎn)－b和b－aD．b－a和b＋a2．化簡eq\o(OP,\s\up6（→))－eq\o(QP,\s\up6(→）)＋eq\o(PS,\s\up6（→)）＋eq\o（SP,\s\up6（→））的結(jié)果等于（）A.eq\o(QP，\s\up6(→）) B。eq\o(OQ，\s\up6(→)）C。eq\o（SP，\s\up6(→）） D。eq\o（SQ，\s\up6(→))3．若菱形ABCD的邊長為2，則｜eq\o（AB，\s\up6(→））－eq\o（CB,\s\up6(→））＋eq\o(CD,\s\up6（→))|＝________.4．若向量a與b滿足|a｜＝5,|b｜＝12，則｜a＋b|的最小值為________，|a－b｜的最大值為________．5.如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且eq\o(AB,\s\up6(→)）＝a,eq\o(AC，\s\up6(→））＝b,eq\o（AE,\s\up6（→）)＝c，試用a,b，c表示向量eq\o（BD，\s\up6（→))，eq\o（BC,\s\up6(→)），eq\o（BE，\s\up6（→）)，eq\o（CD，\s\up6（→)）及eq\o(CE，\s\up6(→))。1．向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up6(→））＝eq\o（BA，\s\up6(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法．即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b）．2．在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”．解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷,防止混淆．3．平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD分別為eq\o(AB,\s\up6（→))＝a,eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o（AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o（BD，\s\up6（→))＝b－a,eq\o(DB，\s\up6（→）)＝a－b,這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并掌握．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考相反向量．梳理長度相等、方向相反－a（1）零向量（3）（－a)＋a0（4）－b－a0知識點(diǎn)二思考1先作出－b，再按三角形法則或平行四邊形法則作出a＋（－b）．思考2（1）兩個(gè)向量a，b的始點(diǎn)移到同一點(diǎn);（2)連接兩個(gè)向量(a與b）的終點(diǎn)；（3）差向量a－b的方向是指向被減向量的終點(diǎn)．這種求差向量a－b的方法叫作向量減法的三角形法則．概括為“移為共始點(diǎn)，連接兩終點(diǎn)，方向指被減”．梳理（1）b的相反向量a＋（－b）差（2)eq\o(BA,\s\up6(→)）知識點(diǎn)三思考它們之間的關(guān)系為|｜a|－｜b｜|≤｜a±b｜≤|a｜＋｜b｜。題型探究例1解方法一如圖①，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o(AB，\s\up6(→))＝b，則eq\o（OB，\s\up6（→））＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up6（→))＝c,則eq\o(CB，\s\up6（→))＝a＋b－c.方法二如圖②，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6（→）)＝a,eq\o（AB，\s\up6（→））＝b，則eq\o(OB,\s\up6（→))＝a＋b，再作eq\o（CB，\s\up6（→）)＝c,連接OC，則eq\o（OC,\s\up6（→))＝a＋b－c.引申探究解如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a，eq\o（OB，\s\up6(→))＝b，則eq\o（BA,\s\up6（→））＝a－b.再作eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，則eq\o（BC，\s\up6（→））＝a－b－c.跟蹤訓(xùn)練1解如圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o（OA，\s\up6（→)）＝a，eq\o（OB，\s\up6(→))＝b，eq\o（OC,\s\up6(→）)＝c，eq\o（OD，\s\up6（→))＝d。則a－b＝eq\o（BA，\s\up6(→)），c－d＝eq\o（DC，\s\up6(→））。例2解(1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→））＋eq\o(MN,\s\up6（→）)－eq\o(MP,\s\up6(→）)＝eq\o(NP,\s\up6（→））＋eq\o(PN,\s\up6（→)）＝eq\o(NP,\s\up6（→））－eq\o(NP,\s\up6(→）)＝0。（2）原式＝eq\o(AB，\s\up6（→））－eq\o(CD，\s\up6(→）)－eq\o(AC,\s\up6(→））＋eq\o(BD，\s\up6(→)）＝（eq\o（AB，\s\up6（→)）－eq\o(AC，\s\up6(→)）)＋(eq\o（DC,\s\up6(→)）－eq\o(DB，\s\up6（→)))＝eq\o(CB，\s\up6（→））＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＝0.跟蹤訓(xùn)練2解（1)（eq\o(BA,\s\up6（→））－eq\o（BC,\s\up6（→））)－（eq\o(ED，\s\up6（→))－eq\o（EC,\s\up6（→）））＝eq\o（CA，\s\up6(→)）－eq\o（CD,\s\up6(→））＝eq\o（DA,\s\up6(→））.（2)（eq\o（AC,\s\up6（→)）＋eq\o（BO，\s\up6(→))＋eq\o（OA，\s\up6（→)))－(eq\o(DC，\s\up6（→))－eq\o(DO,\s\up6（→））－eq\o（OB，\s\up6(→）)）＝eq\o（AC,\s\up6(→））＋eq\o（BA,\s\up6（→))－eq\o(DC,\s\up6（→))＋(eq\o（DO,\s\up6（→)）＋eq\o（OB,\s\up6(→）)）＝eq\o（AC，\s\up6（→)）＋eq\o（BA，\s\up6（→))－eq\o(DC，\s\up6(→）)＋eq\o（DB,\s\up6（→)）＝eq\o(BC，\s\up6(→）)－eq\o（DC,\s\up6(→））＋eq\o（DB，\s\up6（→))＝eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o（DB,\s\up6(→)）＝eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o(CB，\s\up6（→)）＝0.例3解∵|｜eq\o（AB，\s\up6（→)）|－｜eq\o（AD，\s\up6（→)）｜|≤|eq\o(AB，\s\up6(→)）－eq\o(AD,\s\up6（→))|≤|eq\o(AB,\s\up6（→))｜＋|eq\o(AD,\s\up6(→))｜，且|eq\o（AD,\s\up6(→）)｜＝9，｜eq\o（AB,\s\up6(→））|＝6，∴3≤｜eq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o(AD,\s\up6（→))|≤15。當(dāng)eq\o（AD,\s\up6(→））與eq\o（AB，\s\up6(→））同向時(shí)，｜eq\o(AB