2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（二）學(xué)案1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的幾何特性。2。學(xué)會(huì)解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系思考1直線與拋物線有哪幾種位置關(guān)系？思考2若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物線一定相切嗎？梳理直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交有兩個(gè)或一個(gè)公共點(diǎn)相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相離無(wú)公共點(diǎn)直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p〉0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2＋2(kb－p）x＋b2＝0的解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有________個(gè)不同的公共點(diǎn);當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線有________個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線________公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸____________,此時(shí)直線與拋物線有________個(gè)公共點(diǎn)．類型一直線與拋物線的位置關(guān)系例1已知直線l：y＝k(x＋1）與拋物線C：y2＝4x,問(wèn)：k為何值時(shí),直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，無(wú)交點(diǎn)？反思與感悟直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個(gè)數(shù)．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍是()A．[－eq\f（1,2），eq\f（1，2）] B．[－2,2]C．[－1,1］ D．［－4，4]類型二弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題例2已知拋物線y2＝6x，過(guò)點(diǎn)P（4，1）引一條弦P1P2使它恰好被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.反思與感悟中點(diǎn)弦問(wèn)題解題策略兩方法跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線C1：x2＝4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：eq\f（y2,a2）＋eq\f（x2,b2)＝1(a〉b〉0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(6),過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于C，D兩點(diǎn),且eq\o（AC,\s\up6(→）)與eq\o（BD，\s\up6(→））同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝｜BD|,求直線l的斜率．類型三拋物線中的定點(diǎn)（定值）問(wèn)題例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)．(1）如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求eq\o（OA，\s\up6(→)）·eq\o(OB，\s\up6（→)）的值；(2）如果eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6（→）)＝－4，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．反思與感悟在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練3如圖，過(guò)拋物線y2＝x上一點(diǎn)A（4，2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求證:直線BC的斜率是定值．1．過(guò)點(diǎn)P（0，1)與拋物線y2＝x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（）A．4條 B．3條C．2條 D．1條2．若拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A,B，且AB垂直于x軸，若｜AB|＝2eq\r（2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為()A.eq\f(1，2） B.eq\f（1，4）C.eq\f（1,6） D。eq\f（1,8）3．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上且｜AK｜＝eq\r（2)|AF|，則△AFK的面積為（)A．4 B．8C．16 D．324．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上任意一點(diǎn)，若eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o（AF，\s\up6（→）)＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______．5．已知A，B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，若拋物線E的焦點(diǎn)為(1，0），線段AB恰被M（2,1)所平分．（1)求拋物線E的方程；（2)求直線AB的方程;（3）求弦AB的長(zhǎng)．求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法:直線和拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題、中點(diǎn)弦問(wèn)題及垂直、對(duì)稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決;拋物線的綜合問(wèn)題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略,對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1三種：相離、相切、相交．思考2不一定，當(dāng)平行或重合于拋物線的對(duì)稱軸的直線與拋物線相交時(shí)，也只有一個(gè)交點(diǎn)．梳理兩一沒(méi)有平行或重合一題型探究例1解由方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,，y2＝4x,））消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝（2k2－4)2－4k4＝16（1－k2)．(1)若直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則k2≠0且Δ〉0，即k2≠0且16（1－k2)>0，解得k∈(－1,0）∪(0，1)．所以當(dāng)k∈(－1，0)∪(0，1）時(shí),直線l和拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)．（2)若直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，則k2＝0或當(dāng)k2≠0時(shí)，Δ＝0,解得k＝0或k＝±1。所以當(dāng)k＝0或k＝±1時(shí)，直線l和拋物線C有一個(gè)交點(diǎn)．（3）若直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)，則k2≠0且Δ<0。解得k>1或k<－1.所以當(dāng)k〉1或k<－1時(shí)，直線l和拋物線C無(wú)交點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1C[準(zhǔn)線方程為x＝－2，Q(－2,0)．設(shè)l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，，y2＝8x,)）得k2x2＋4（k2－2）x＋4k2＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，x＝0，即交點(diǎn)為(0,0）；當(dāng)k≠0時(shí)，由Δ≥0，得－1≤k〈0或0〈k≤1，綜上，k的取值范圍是［－1，1］．]例2解方法一由題意易知直線方程的斜率存在，設(shè)所求方程為y－1＝k（x－4)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y2＝6x，,y＝kx－4k＋1，)）得ky2－6y－24k＋6＝0.當(dāng)k≠0時(shí),Δ＝62－4k（－24k＋6）>0.①設(shè)弦的兩端點(diǎn)P1(x1,y1）,P2(x2，y2),∴y1＋y2＝eq\f（6,k），y1y2＝eq\f（6－24k，k).∵P1P2的中點(diǎn)為（4，1),∴eq\f（6,k）＝2，∴k＝3，適合①式．∴所求直線方程為y－1＝3（x－4)，即3x－y－11＝0,∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴｜P1P2｜＝eq\r(1＋\f（1，k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r（1＋\f（1，9))eq\r（22－4×－22)＝eq\f(2\r（230),3）.方法二設(shè)P1（x1，y1)，P2（x2,y2)．則yeq\o\al（2,1）＝6x1,yeq\o\al(2,2）＝6x2,∴yeq\o\al（2,1）－yeq\o\al(2，2)＝6(x1－x2），又y1＋y2＝2,∴eq\f（y1－y2，x1－x2)＝eq\f(6,y1＋y2）＝3，∴所求直線的斜率k＝3，故所求直線方程為y－1＝3（x－4）,即3x－y－11＝0。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝3x－11，,y2＝6x，）)得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴｜P1P2|＝eq\r(1＋\f（1，k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋\f（1,9）)·eq\r(22－4×－22）＝eq\f（2\r(230），3）.跟蹤訓(xùn)練2解(1)由C1方程可知F(0,1），∵F也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，∴a2－b2＝1,又∵C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(6)，C1與C2的圖像都關(guān)于y軸對(duì)稱，∴易得C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±eq\r（6），eq\f（3,2)）,∴eq\f(9,4a2）＋eq\f(6，b2)＝1，又∵a2－b2＝1，∴a2＝9，b2＝8，∴C2的方程為eq\f(y2,9)＋eq\f（x2，8）＝1;(2)如圖,設(shè)A（x1，y1)，B(x2，y2)，C（x3，y3)，D(x4，y4），∵eq\o(AC，\s\up6(→）)與eq\o(BD,\s\up6（→））同向，且|AC｜＝|BD｜,∴eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6（→）），∴x1－x2＝x3－x4,∴（x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程：y＝kx＋1，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1,，x2＝4y，））可得x2－4kx－4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1，,\f（y2,9)＋\f(x2，8）＝1,））得（9＋8k2）x2＋16kx－64＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x3＋x4＝－eq\f(16k,9＋8k2），x3x4＝－eq\f（64，9＋8k2），又∵（x1＋x2）2－4x1x2＝(x3＋x4）2－4x3x4,∴16（k2＋1)＝eq\f(162k2，9＋8k22)＋eq\f（4×64,9＋8k2），化簡(jiǎn)得16(k2＋1)＝eq\f（162×9k2＋1，9＋8k22)，∴（9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±eq\f（\r（6),4),即直線l的斜率為±eq\f（\r(6),4)。例3解(1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為（1,0）,設(shè)l：x＝ty＋1,代入拋物線方程y2＝4x，消去x,得y2－4ty－4＝0.設(shè)A（x1，y1）,B(x2,y2)，則y1＋y2＝4t,y1y2＝－4。所以eq\o(OA，\s\up6（→))·eq\o（OB,\s\up6(→)）＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1）(ty2＋1）＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2）＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2）設(shè)l：x＝ty＋b,代入拋物線y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0。設(shè)A(x1，y1），B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t,y1y2＝－4b.因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6(→）)＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b）（ty2＋b）＋y1y2＝t2y1y2＋bt（y1＋y2）＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，又eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o(OB，\s\up6（→))＝－4，∴b2－4b＝－4,解得b＝2，故直線過(guò)定點(diǎn)(2，0）．跟蹤訓(xùn)練3證明方法一設(shè)kAB＝k（k≠0）．∵直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ),∴kAC＝－k(k≠0），即直線AB的方程是y＝k(x－4）＋2。由方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx－4＋2，，y2＝x，）)消去y后，整理得k2x2＋（－8k2＋4k－1）x＋16k2－16k＋4＝0.∵A（4，2），B(xB，yB）是上述方程組的解，∴4xB＝eq\f（16k2－16k＋4,k2），即xB＝eq\f(4k2－4k＋1,k2)。以－k代換xB中的k,得xC＝eq\f(4k2＋4k＋1,k2)?！鄈BC＝eq\f(yB－yC,xB－xC）＝eq\f(kxB－4＋2－[－kxC－4＋2］，xB－xC)＝eq\f(kxB＋xC－8,xB－xC)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（8k2＋2，k2)－8))，\f（－8k,k2)）＝－eq\f(1,4）.∴直線BC的斜率為定值．方法二設(shè)B(yeq\o\al(2，1），y1），C(yeq\o\al（2,2），y2)，則kBC＝eq\f(y2－y1,y\o\al（2，2）－y\o\al(2，1)）＝eq\f(1,y2＋y1）?！遦AB＝eq\f(y1－2,y\o\al(2,1）－4）＝eq\f（1，y1＋2)，kAC＝eq\f(y2－2，y\o\al(2，2)－4)＝eq\f（1，y2＋2),由題意得kAB＝－kAC，∴eq\f(1，y1＋2)＝－eq\f(1，y2＋2),則y1＋y2＝－4，則kBC＝－eq\f（1,4）,為定值．當(dāng)堂訓(xùn)練1．B2.A3。B4。(1,±2)5．解（1)由于拋物線的焦點(diǎn)為（1,0）,所以eq\f（p，2）＝1,p＝2，所以所求拋物線的方程為y2＝4x。（2）設(shè)A(x1,y1)，B（x2，y2），則yeq\o\al(2，1）＝4x1，①yeq\o\al(2,2）＝4x2，②且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2。由②－①得，（y1＋y2)(y2－y1）＝4（x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)