2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2。1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念。2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程。3。明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義思考1如圖，在黑板上畫(huà)一條直線EF，然后取一個(gè)三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上,在拉鏈D處放置一支粉筆，上下拖動(dòng)三角板,粉筆會(huì)畫(huà)出一條曲線．這是一條什么曲線，由畫(huà)圖過(guò)程你能給出此曲線的定義嗎？思考2拋物線的定義中，l能經(jīng)過(guò)點(diǎn)F嗎？為什么？梳理(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不過(guò)F)的距離________的點(diǎn)的集合叫作拋物線．(2）焦點(diǎn)：________.（3)準(zhǔn)線：________。知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1拋物線方程中p有何意義？拋物線的開(kāi)口方向由什么決定?思考2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)？思考3已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣確定拋物線的焦點(diǎn)位置和開(kāi)口方向?梳理拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p〉0）x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p〉0）焦點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(p，2），0))eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（p,2)，0）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（p,2））)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，－\f（p,2）))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f（p,2）x＝eq\f（p,2)y＝－eq\f（p,2）y＝eq\f（p，2)類型一拋物線定義的解讀例1方程eq\r（x＋32＋y－12）＝eq\f(|x－y＋3|，\r（2））表示的曲線是(）A．圓 B．橢圓C．線段 D．拋物線反思與感悟根據(jù)式子的幾何意義，利用拋物線的定義，可確定點(diǎn)的軌跡，注意定義中“點(diǎn)F不在直線l上”這個(gè)條件．跟蹤訓(xùn)練1若動(dòng)圓與圓(x－2)2＋y2＝1相外切，又與直線x＋1＝0相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡是________．類型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及求解命題角度1拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程的求解例2已知拋物線的方程如下，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．（1）y2＝－6x；（2)3x2＋5y＝0;（3)y＝4x2；（4）y＝ax2(a≠0)．引申探究1．將例2(4)的方程改為y2＝ax（a≠0)結(jié)果如何？2．將例2(4）的方程改為x2＝ay(a≠0)，結(jié)果如何？反思與感悟如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向．一次項(xiàng)的變量若為x（或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向．跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線y2＝2px（p〉0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－6x－7＝0相切，則p為（）A．2 B．1C。eq\f（1，2） D。eq\f（1,4）命題角度2求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1)過(guò)點(diǎn)(－3，2）；(2）焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上；（3)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線相交于點(diǎn)A，｜AF｜＝5.反思與感悟拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1）定義法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出方程，進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)定義求出p,最后寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程．（2)待定系數(shù)法:由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時(shí)應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)半軸上,進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．跟蹤訓(xùn)練3根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1）焦點(diǎn)為（－2,0）；（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4；（3）過(guò)點(diǎn)(1,2）．類型三拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用例4河上有一拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí),水面寬為8m，一小船寬4m、高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問(wèn)：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí)，小船開(kāi)始不能通航？反思與感悟涉及拱橋、隧道的問(wèn)題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練4某拋物線形拱橋跨度是20米，拱橋高度是4米，在建橋時(shí)，每4米需用一根支柱支撐，求其中最長(zhǎng)支柱的長(zhǎng)．1．拋物線y2＋x＝0的開(kāi)口（)A．向上 B．向下C．向左 D．向右2．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別為（)A．(1，0)，x＝－1 B．（2，0），x＝－2C．（3，0），x＝－3 D．(4，0）,x＝－43．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線方程可以為（）A．y2＝x B．y2＝2xC．x2＝－3y D．x2＝－6y4．拋物線x2＝8y上的點(diǎn)M到x軸的距離為6，則點(diǎn)M與拋物線的焦點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______．5．分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y＝－3；（2）拋物線與橢圓eq\f(x2,4＋m）＋eq\f（y2，3＋m）＝1的一個(gè)焦點(diǎn)相同．1．焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2＝mx(m≠0），此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(eq\f（m,4)，0），準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（m，4)；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2＝my(m≠0),此時(shí)焦點(diǎn)為F(0,eq\f（m，4）)，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(m,4）。2．設(shè)M是拋物線上一點(diǎn),焦點(diǎn)為F，則線段MF叫作拋物線的焦半徑．若M（x0，y0）在拋物線y2＝2px(p〉0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑|MF|＝x0＋eq\f(p，2).

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（定點(diǎn)不在定直線上)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．思考2不能，若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，滿足條件的點(diǎn)的軌跡不是拋物線，而是過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的一條直線．梳理(1）相等（2)點(diǎn)F（3）直線l知識(shí)點(diǎn)二思考1p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線的方程中一次項(xiàng)決定開(kāi)口方向．思考2(1)原點(diǎn)在拋物線上；（2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；（3）p為大于0的常數(shù)，其幾何意義表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；(4）準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(5）焦點(diǎn)、準(zhǔn)線到原點(diǎn)的距離都等于eq\f(p,2)。思考3一次項(xiàng)變量為x(或y)，則焦點(diǎn)在x軸（或y軸)上;若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；系數(shù)為負(fù),則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上．焦點(diǎn)確定，開(kāi)口方向也隨之確定．題型探究例1D［eq\r（x＋32＋y－12)＝eq\f(｜x－y＋3|,\r（2）），它表示點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)F（－3,1）的距離等于點(diǎn)M到直線x－y＋3＝0的距離，且點(diǎn)F(－3，1）不在直線上．根據(jù)拋物線的定義，知此方程表示的曲線是拋物線．]跟蹤訓(xùn)練1拋物線解析由題意，動(dòng)圓圓心到定圓圓心的距離比它到直線x＋1＝0的距離大1，故動(dòng)圓圓心的軌跡是以(2，0)為焦點(diǎn)，x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝8x。例2解（1）由方程y2＝－6x，知拋物線開(kāi)口向左，2p＝6,p＝3，eq\f（p,2）＝eq\f(3,2），所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\f(3,2)，0），準(zhǔn)線方程為x＝eq\f（3,2）.(2）將3x2＋5y＝0化為x2＝－eq\f（5,3）y，知拋物線開(kāi)口向下,2p＝eq\f（5,3），p＝eq\f（5,6），eq\f(p，2）＝eq\f（5，12)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－eq\f(5,12)），準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(5，12）.(3)將y＝4x2化為x2＝eq\f（1,4）y，知拋物線開(kāi)口向上，2p＝eq\f(1，4),p＝eq\f(1，8），eq\f(p，2）＝eq\f（1,16），所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\f(1,16））,準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f（1，16）。（4)拋物線方程y＝ax2可化為x2＝eq\f(1，a)y，當(dāng)a>0時(shí)，2p＝eq\f(1,a），p＝eq\f（1,2a)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,eq\f(1，4a))，準(zhǔn)線方程是y＝－eq\f(1，4a).當(dāng)a〈0時(shí)，2p＝－eq\f(1，a)，p＝－eq\f(1，2a)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，eq\f(1，4a)），準(zhǔn)線方程是y＝－eq\f（1,4a).綜上，拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,eq\f(1，4a)），準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f（1,4a).引申探究1．焦點(diǎn)是(eq\f(a,4),0)，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f（a,4)。2．焦點(diǎn)是（0，eq\f(a,4))，準(zhǔn)線方程是y＝－eq\f(a,4).跟蹤訓(xùn)練2A[注意到拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，曲線x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3)2＋y2＝16，它表示圓心為(3,0)，半徑為4的圓．由題意得eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（p,2）＋3)）＝4.又p>0,因此有eq\f(p，2)＋3＝4，解得p＝2，故選A.]例3解(1）當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上且過(guò)點(diǎn)(－3,2)時(shí)，可設(shè)拋物線方程為y2＝－2px（p〉0)，把（－3,2）代入得22＝－2p×（－3)，∴p＝eq\f(2，3），∴所求拋物線方程為y2＝－eq\f（4,3）x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上且過(guò)點(diǎn)(－3,2）時(shí)，可設(shè)拋物線方程為x2＝2py（p>0),把(－3，2)代入得（－3)2＝2p×2，∴p＝eq\f(9,4)，∴所求拋物線方程為x2＝eq\f(9,2）y。綜上，所求拋物線方程為y2＝－eq\f（4，3）x或x2＝eq\f(9,2)y。（2)直線x－2y－4＝0與x軸的交點(diǎn)為(4，0)，與y軸的交點(diǎn)為（0，－2),故拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，－2），當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）時(shí),設(shè)拋物線方程為y2＝2px（p>0)，∵eq\f(p，2)＝4，∴p＝8，∴拋物線方程為y2＝16x.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為（0，－2）時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py（p〉0)，∵－eq\f（p，2)＝－2，∴p＝4，∴拋物線方程為x2＝－8y.綜上，所求拋物線方程為y2＝16x或x2＝－8y。（3)設(shè)所求焦點(diǎn)F在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px（p≠0），A(m,－3)．則由拋物線的定義得|AF｜＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2)))＝5,∵點(diǎn)A在拋物線上，∴（－3)2＝2pm,從而可得p＝±1或p＝±9.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±2x或y2＝±18x.跟蹤訓(xùn)練3解（1)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，eq\f（p，2)＝2，即p＝4.所以拋物線的方程是y2＝－8x.（2）p＝4,拋物線的方程有四種形式:y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y,x2＝－8y.(3)方法一點(diǎn)（1，2)在第一象限，要分兩種情形討論：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p〉0），則22＝2p·1，解得p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p〉0)，則12＝2p·2，解得p＝eq\f（1，4)，∴拋物線方程為x2＝eq\f（1,2)y.方法二設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝mx或x2＝ny，將點(diǎn)（1,2）代入，得m＝4，n＝eq\f(1，2），故所求的方程為y2＝4x或x2＝eq\f(1，2）y。例4解如圖,以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過(guò)拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py（p〉0）．由題意可知，點(diǎn)B(4,－5)在拋物線上，故p＝eq\f（8，5)，得x2＝－eq\f（16,5）y。當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A(2，yA），由22＝－eq\f（16,5）yA，得yA＝－eq\f(5，4）.又知船面露出水面上的部分高為0。75m,所以h＝|yA|＋0.75＝2（m)．所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開(kāi)始不能通航．跟蹤訓(xùn)練4解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p〉0）．依題意知，點(diǎn)P（10,－4)在拋物線上，所以100＝－2p×(－4），2p＝25.即拋物線方程為x2＝－25y.因?yàn)槊?米需用一根支柱支撐，所以支柱橫坐標(biāo)分別為－6，－2,2，6。由圖知,AB是最長(zhǎng)的支柱之一．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，yB),代入x2＝－25y，得yB＝－eq