第三講 趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法

趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)法時(shí)間序列同一現(xiàn)象在不同時(shí)間上的相繼觀察值排列而成的數(shù)列形式上由現(xiàn)象所屬的時(shí)間和現(xiàn)象在不同時(shí)間上的觀察值兩部分組成排列的時(shí)間可以是年份、季度、月份或其他任何時(shí)間形式國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值等時(shí)間序列年份國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(億元)年末總?cè)丝?萬(wàn)人)人口自然增長(zhǎng)率(‰)居民消費(fèi)水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094時(shí)間序列的分類時(shí)間序列平均數(shù)序列絕對(duì)數(shù)序列相對(duì)數(shù)序列時(shí)期序列時(shí)點(diǎn)序列時(shí)間序列的分類例：時(shí)間序列分析先把時(shí)間序列描繪在坐標(biāo)圖上，坐標(biāo)的橫軸表示時(shí)間t，坐標(biāo)的縱軸表示所分析的經(jīng)濟(jì)變量下圖描述了某商店某年前10個(gè)月的銷售額某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)元）

從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出?？偟内厔?shì)是增長(zhǎng)的，但增長(zhǎng)并不是單調(diào)上升的；有漲有落。但這種升降不是雜亂無(wú)章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。除了增長(zhǎng)的趨勢(shì)和季節(jié)影響之外，還有些無(wú)規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。時(shí)間序列變動(dòng)形態(tài)時(shí)間序列是指某種統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值，按照時(shí)間先后順序排列起來(lái)的數(shù)列。時(shí)間序列的變動(dòng)形態(tài)一般分為四種：長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)，季節(jié)變動(dòng)，循環(huán)變動(dòng)，不規(guī)則變動(dòng)。時(shí)間序列長(zhǎng)期趨勢(shì)季節(jié)變動(dòng)循環(huán)變動(dòng)不規(guī)則變動(dòng)時(shí)間序列的基本模式1、長(zhǎng)期趨勢(shì)：是時(shí)間序列的主要構(gòu)成要素，指由于某種根本性因素的影響，時(shí)間序列在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，以及停留在某一水平上的傾向。它反映了事物的主要變化趨勢(shì)。

2、季節(jié)變動(dòng)：指由于自然條件和社會(huì)條件（生產(chǎn)生活條件）的影響，時(shí)間序列在一年內(nèi)隨著季節(jié)的轉(zhuǎn)變而引起的周期性變動(dòng)。

3、循環(huán)變動(dòng)：是近乎規(guī)律性的周而復(fù)雜始的變動(dòng)，是以數(shù)年為周期的周期變動(dòng)。

4、不規(guī)則變動(dòng)：是指由各種偶然性因素引起的無(wú)周期變動(dòng)。

時(shí)間序列的特征含有長(zhǎng)期趨勢(shì)因素（T）含有季節(jié)變動(dòng)因素（S）時(shí)間序列的走勢(shì)按日歷時(shí)間周期起伏。如，季節(jié)性商品季度、月份銷售量；火車客運(yùn)量；居民用電、用水量等。含有循環(huán)變動(dòng)因素（C）其走勢(shì)也呈周期性變化，但不是在一個(gè)不變的時(shí)間間隔中反復(fù)出現(xiàn)，而且每一周期長(zhǎng)度一般有若干年。中、長(zhǎng)期預(yù)測(cè)需考慮。含有不規(guī)則變動(dòng)因素（I）時(shí)間序列的組合形式（1）加法型（2）乘法型

（3）混合型

其中：Yt為時(shí)間序列的全變動(dòng)；Tt為長(zhǎng)期趨勢(shì)；St為季節(jié)變動(dòng)；Ct為循環(huán)變動(dòng)；It為不規(guī)則變動(dòng)。

ttYYY=T+S+C+IY=T×S×C×I時(shí)間序列的基本特征時(shí)間序列變化的基本特征是指各種時(shí)間序列表現(xiàn)出的具有共性的變化規(guī)律，如趨勢(shì)變化、周期性變化等根據(jù)時(shí)間序列變化的基本特征，它們可以分為：呈水平形變化的時(shí)間序列呈趨勢(shì)變化的時(shí)間序列呈周期變化的時(shí)間序列具有沖動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間序列具有轉(zhuǎn)折變化的時(shí)間序列呈階梯形變化的時(shí)間序列呈水平型變化的時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)變量的發(fā)展變化比較平穩(wěn)，沒(méi)有明顯的上升或下降趨勢(shì)，也沒(méi)有較大幅度的上下波動(dòng)如處于市場(chǎng)飽和狀態(tài)的產(chǎn)品銷售量，生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)的穩(wěn)定的次品率。Ytt呈趨勢(shì)變化的時(shí)間序列上升或下降的趨勢(shì)變化，長(zhǎng)期趨勢(shì)變化Ytt呈周期型變化的時(shí)間序列Ytt具有沖動(dòng)點(diǎn)（Impulse）變化的時(shí)間序列Ytt具有階梯型變化的時(shí)間序列Ytt時(shí)間序列的轉(zhuǎn)折性變化Ytt趨勢(shì)外推法的基本思想 ●某些客觀事物的發(fā)展變化相對(duì)于時(shí)間推移，常表現(xiàn)出一定的規(guī)律性：

如：經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）隨著時(shí)間的推移呈現(xiàn)某種上升或下降趨勢(shì)，這時(shí)，若作為預(yù)測(cè)對(duì)象的該經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（指標(biāo)）變化又沒(méi)有明顯的季節(jié)性波動(dòng)跡象，理論上就可以找到一條合適的函數(shù)曲線反映其變化趨勢(shì)。可建其變化趨勢(shì)模型（曲線方程）：

●當(dāng)有理由相信這種趨勢(shì)可能會(huì)延伸到未來(lái)時(shí)，對(duì)于未來(lái)時(shí)點(diǎn)的某個(gè)Ｙ值（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)未來(lái)值）就可由上述變化趨勢(shì)模型（直線方程）給出。這就是趨勢(shì)外推的基本思想。

●趨勢(shì)外推的條件有２：變化趨勢(shì)的時(shí)間穩(wěn)定性、曲線方程存在。常見(jiàn)的趨勢(shì)線直線指數(shù)曲線二次曲線三次曲線修正指數(shù)曲線龔柏茲曲線某家用電器廠1998～2008年利潤(rùn)額數(shù)據(jù)年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤(rùn)額yt2003003504005006307007508509501020某商場(chǎng)某種商品過(guò)去9個(gè)月的銷量數(shù)據(jù)某商場(chǎng)過(guò)去9年市場(chǎng)需求量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)●基于２大條件（趨勢(shì)的時(shí)間穩(wěn)定性、曲線方程存在）趨勢(shì)曲線：慣性原理：一切物體在沒(méi)有受到外力作用時(shí)，總保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)。但勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)是相對(duì)的:慣性原理的兩個(gè)前提：周圍沒(méi)有引力場(chǎng)吸引；前方?jīng)]有障礙物阻擋。

假設(shè)條件：技術(shù)（或經(jīng)濟(jì)）發(fā)展的因素，不但決定了過(guò)去技術(shù)的發(fā)展，而且在很大程度上決定了其未來(lái)的發(fā)展。即某項(xiàng)技術(shù)在其過(guò)去、現(xiàn)在、未來(lái)的發(fā)展過(guò)程中，內(nèi)、外因相對(duì)保持不變。其變化屬漸進(jìn)式變化，而不屬于跳躍式變化。二、趨勢(shì)外推法：原理與假設(shè)三個(gè)例子：預(yù)測(cè)未來(lái)兩期的指標(biāo)水平某家用電器廠1998～2008年利潤(rùn)額序列數(shù)據(jù)y2004預(yù)測(cè)y2005預(yù)測(cè)某商場(chǎng)某種商品過(guò)去9個(gè)月的銷量序列數(shù)據(jù)y11預(yù)測(cè)Y10預(yù)測(cè)y2004預(yù)測(cè)y2005預(yù)測(cè)某商場(chǎng)過(guò)去9年市場(chǎng)需求量序列數(shù)據(jù)直線趨勢(shì)外推法適用條件：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（觀察值）呈直線上升或下降的情形。該預(yù)測(cè)變量的長(zhǎng)期趨勢(shì)可以用關(guān)于時(shí)間的直線描述，通過(guò)該直線趨勢(shì)的向外延伸（外推），估計(jì)其預(yù)測(cè)值。兩種處理方式：擬合直線方程與加權(quán)擬合直線方程例1

某家用電器廠1993～2003年利潤(rùn)額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測(cè)2004、2005年該企業(yè)的利潤(rùn)。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤(rùn)額yt2003003504005006307007508509501020？？?A擬合直線方程法使用最小二乘法擬合直線概念：離差與離差平方ee最小擬合程度最好★最小二乘法原理★★最小二乘法原理★本質(zhì):使歷史數(shù)據(jù)到擬合直線上的離差平方和最小，從而求得模型參數(shù)的方法。演進(jìn)：法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德于1806年首次發(fā)表最小二乘理論。事實(shí)上，德國(guó)的高斯于1794年已經(jīng)應(yīng)用這一理論推算了谷神星的軌道，但直至1809年才正式發(fā)表。應(yīng)用：最小二乘法也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中有廣泛應(yīng)用。運(yùn)算過(guò)程：最小二乘法1801年，意大利天文學(xué)家朱賽普·皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星。經(jīng)過(guò)40天的跟蹤觀測(cè)后，由于谷神星運(yùn)行至太陽(yáng)背后，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。隨后全世界的科學(xué)家利用皮亞齊的觀測(cè)數(shù)據(jù)開(kāi)始尋找谷神星，但是根據(jù)大多數(shù)人計(jì)算的結(jié)果來(lái)尋找谷神星都沒(méi)有結(jié)果。時(shí)年24歲的高斯也計(jì)算了谷神星的軌道。奧地利天文學(xué)家海因里?！W爾伯斯根據(jù)高斯計(jì)算出來(lái)的軌道重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作《天體運(yùn)動(dòng)論》中。法國(guó)科學(xué)家勒讓德于1806年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”。但因不為時(shí)人所知而默默無(wú)聞。勒讓德曾與高斯為誰(shuí)最早創(chuàng)立最小二乘法原理發(fā)生爭(zhēng)執(zhí)。

1829年，高斯提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強(qiáng)于其他方法的證明，因此被稱為高斯-莫卡夫定理。最小二乘法公式∑(X—X平)(Y—Y平)

=∑(XY—X平Y(jié)—XY平+X平Y(jié)平)

=∑XY—X平∑Y—Y平∑X+nX平Y(jié)平=∑XY—nX平Y(jié)平—nX平Y(jié)平+nX平Y(jié)平=∑XY—nX平Y(jié)平∑(X—X平)^2

=∑(X^2—2XX平+X平^2)

=∑X^2—2nX平^2+nX平^2

=∑X^2—nX平^2x=12345678910111213………………代入相應(yīng)的x，得出預(yù)測(cè)值y………………解例1

某家用電器廠1993~2003年利潤(rùn)額數(shù)據(jù)資料如表3.1所示。試預(yù)測(cè)2004、2005年該企業(yè)的利潤(rùn)。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤(rùn)額2003003504005006307007508509501020年份利潤(rùn)額yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220預(yù)測(cè)值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.31018∑66506650649000對(duì)于時(shí)間序列，xt

的取值為1到n,即自變量xt

的取值等于其下標(biāo)t。采用正負(fù)對(duì)稱編號(hào)法可簡(jiǎn)化計(jì)算。特別，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取其中位數(shù)的編號(hào)為0，可使

擬合直線方程法的特點(diǎn)擬合直線方程的一階差分為常數(shù)（一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)）只適用于時(shí)間序列呈直線上升（或下降）趨勢(shì)變化。對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，不論其遠(yuǎn)近都一律同等看待。用最小二乘原理擬合的直線方程消除了不規(guī)則因素的影響，使趨勢(shì)值都落在擬合的直線上。基本過(guò)程如下圖:擬合直線方程法預(yù)測(cè)步驟圖開(kāi)始習(xí)題：某市1978—1986年化纖零售量如表所示，試預(yù)測(cè)1987年化纖零售量。

某市化纖零售量及其一階差分

單位：萬(wàn)米年份197819791980198119821983198419851986零售量265297333370405443474508541加權(quán)擬合直線方程法擬合直線方程法簡(jiǎn)析：擬合直線方程法的基本思想是要使預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差的平方和達(dá)到最小。離差平方和是每期的實(shí)際值與該期的預(yù)測(cè)值的偏差值的平方和，意味著：中的每一項(xiàng)都有同樣的重要性，即無(wú)論這個(gè)誤差是近期的或是遠(yuǎn)期的，都賦予同等的權(quán)重。但實(shí)際情況是，對(duì)于預(yù)測(cè)精度來(lái)說(shuō)，近期誤差比遠(yuǎn)期的誤差更為重要。在擬合直線方程時(shí)，按照時(shí)間先后，本著重今輕遠(yuǎn)的原則，對(duì)離差平方和進(jìn)行賦權(quán)，然后再按最小二乘原理，使離差平方和達(dá)到最小，求出加權(quán)擬合直線方程。由近及遠(yuǎn)的離差平方和的權(quán)重分別為其中，說(shuō)明對(duì)最近期數(shù)據(jù)賦予最大權(quán)重為1，而后有近及遠(yuǎn)，按比例遞減。各期權(quán)重衰減的速度取決于的取值。B：加權(quán)擬合直線方程法基本思想衰減速度越慢衰減速度越快？加權(quán)擬合直線方程法的過(guò)程與模型？？加權(quán)擬合直線方程法的過(guò)程與模型使用加權(quán)擬合直線方程法解前例1

某家用電器廠1993~2003年利潤(rùn)額數(shù)據(jù)資料如下表所示。試預(yù)測(cè)2004、2005年該企業(yè)的利潤(rùn)。年份19931994199519961997199819992000200120022003利潤(rùn)額2003003504005006307007508509501020年份xt利潤(rùn)額ytn-ta(n-t)a(n-1)yta(n-1)xtyta(n-1)xta(n-1)xt219931200100.107421.474836521.474836480.1073740.1073741821994230090.134240.265318480.53063680.2684350.5368709121995335080.167858.720256176.1607680.5033161.509949441996440070.209783.88608335.544320.8388613.35544321997550060.2621131.072655.361.310726.55361998663050.3277206.43841238.63041.9660811.796481999770040.4096286.722007.042.867220.07042000875030.512038430724.09632.7682001985020.640054448965.7651.8420021095010.80007607600880200311102001.000010201122011121∑4.57053536.576931302.741036.7180329.5381預(yù)測(cè)模型為：使用加權(quán)擬合直線方程法解題

結(jié)論分析由于時(shí)間序列線性趨勢(shì)比較明顯，又由于加權(quán)系數(shù)較大(0.8)，使得，加權(quán)與不加權(quán)擬合結(jié)果相近。加權(quán)的重近輕遠(yuǎn)原則，使其預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于實(shí)際觀察值。擬合直線方程法的特殊運(yùn)用在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到比線性（直線）發(fā)展趨勢(shì)更為復(fù)雜的問(wèn)題。例子：某商品過(guò)去九年的市場(chǎng)總需求量時(shí)間（年）123456789總需求量（件）16527045074012202010312054609000作圖觀察其變化趨勢(shì)（圖中公式為趨勢(shì)線函數(shù)方程）：某商品過(guò)去九年的市場(chǎng)總需求量又例2:某公司1991～2003年銷售額（單位：萬(wàn)元）擬合直線方程的特殊運(yùn)用

------非線性問(wèn)題的線性化上述特別的變化趨勢(shì)在實(shí)際生活中，常常會(huì)遇到比線性發(fā)展趨勢(shì)更為復(fù)雜的描述問(wèn)題。但在某些情況下，我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將變量間的關(guān)系式化為線性的形式。如：在滿足的變量關(guān)系中，a、b，均為與t無(wú)關(guān)的未知參數(shù)，只要令，即可將其化為線性形式關(guān)系：變換變換常用轉(zhuǎn)換模型（3-1）常用轉(zhuǎn)換模型（3-2）對(duì)于上式兩邊取對(duì)數(shù)：令：則有：常用轉(zhuǎn)換模型（3-3）運(yùn)用擬合直線方程法，可求得：進(jìn)一步用正負(fù)編號(hào)法 例子：某公司1993～2005年產(chǎn)品的銷售額如下表，試預(yù)測(cè)2006年的產(chǎn)品銷售額。（非線性變化趨勢(shì)）觀察期銷售額199318199472199590199621019972701998390199957020009002001150020022310200340502004480020055400

觀察期銷售額xtxt2lnytxt

lnyt199318-6362.890-17.342199472-5254.277-21.383199590-4164.500-17.9991996210-395.347-16.0411997270-245.598-11.1971998390-115.966-5.9661999570006.3460.0002000900116.80