第二章 初等數(shù)學(xué)建模

1第二章初等數(shù)學(xué)方法建模一、觀測實(shí)驗(yàn)和抽象分析法歐拉多面體問題

問題：一般凸的多面體其面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和邊數(shù)E之間有何關(guān)系？

對此歐拉具體地觀察了四面體、五面體…結(jié)果如下：

2多面體FVE

四面體4

4

6

五面體5

5

8

(5

6

9

)

六面體6

8

12

(6

6

10)

七面體7

7

12

(7

10

15)

……

…

….

…

3

歐拉猜想

F+V-E=2然后，歐拉證明了這一猜想，這便是著名的歐拉定理。

說明：

1)用觀察、歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理（建立模型）是一種重要方法。

2）觀察應(yīng)該是大量的，僅憑少量的觀察就去猜想有時會鑄成錯誤。

4

例如：17世紀(jì)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（Fermat.1601-1655年）對公式進(jìn)行試算：

費(fèi)爾馬斷言：“對任意自然數(shù)n，都是素數(shù)?！?，這是著名的費(fèi)爾馬猜想。都是素數(shù)

5相隔近100年后，歐拉算出：＝4294967297

＝6700417×641不是素數(shù)。

后來又有很多人算出：n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素數(shù)。

3）不要被前人的條框所約束。

6

假設(shè)有一對兔子，兩個月后每月可生一對兔子，一對小兔子兩個月后每月又可生一對小小兔子，依次類推，問一年后共有多少對兔子？能否用計算機(jī)算出任意月份兔子的對數(shù)？思考題：

Fibonacci數(shù)

7二、鴿籠原理問題１：

在一個邊長為1的正三角形內(nèi)最多能找到幾個點(diǎn)，而使這些點(diǎn)彼此間的距離大于方法：

8思考題：

在一個邊長為1的正三角形內(nèi)，若要彼此間距離大于，最多不超過多少個點(diǎn)？9問題２：

能否在8×8的方格表ABCD各個空格中分別填寫1、2、3這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線AC、BD上的各個數(shù)的和都不相同？為什么？10

如圖2-2，因?yàn)槊啃?、每列及對角線上的數(shù)都是8個,所以8個數(shù)的和最小值是1×8＝8，最大值是3×8=24，共有17個不同的和。而由題意知，每行、每列及對角線AC、BD上各個數(shù)的和應(yīng)有8+8+2=18個，所以要想使每行、每列及兩對角線上18個和都不相同是辦不到的。11三、學(xué)會估算問題：能否將一張紙對折100次？

所以若每層紙厚度為0.05毫米，即五萬億億千米，而從地球到太陽也不過1.5億千米。對折100次就無法辦到了。12思考題：

一塊1立方米的正方體的木塊，分成1立方毫米的小木塊，再把小木塊排起來，問能排多長？13四、“奇偶校驗(yàn)”方法問題：鋪瓷磚問題

要用40塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖所示的地面上，但當(dāng)時商店只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面，結(jié)果弄來弄去始終無法完整鋪好，你能給解決嗎？14

〔方法〕：在40個方格上黑白相間地染色（思考：發(fā)現(xiàn)了什么？），

仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)共有19個白格和21個黑格。一塊長方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格，所以鋪上19塊長方形瓷磚后（無論用什么方式），總要剩下2個黑格沒有鋪，而一塊長方形瓷磚是無法蓋住2個黑格，唯一的辦法是把最后一塊長方形瓷磚一分為二。15

思考題：

(1)設(shè)一所監(jiān)獄有64間囚室，其排列類似8×8棋盤，看守長告訴關(guān)押在一個角落里的囚犯，只要他能夠不重復(fù)地通過每間囚室到達(dá)對角的囚室（所有相鄰囚室間都有門相通），他將被釋放。問囚犯能獲得自由嗎？如果囚室為8×9的排列共72間，將會出現(xiàn)什么情況？16

(2)某班有49個學(xué)生，坐成7行7列。每個坐位的前后左右的坐位叫做它的“鄰座”，要讓這49個學(xué)生都換到他的鄰座上去，問這種調(diào)換位置的方案能否實(shí)現(xiàn)？17五、問題的轉(zhuǎn)化處理法問題１：

分析：本題局限在代數(shù)不等式的范疇不易求證，但將其轉(zhuǎn)化到幾何上，構(gòu)造反映題目要求的幾何模型即容易解決。18根據(jù)題意作正三角形△PQR及△NML如圖,所以19問題２：

在圓周上均勻地放上4枚圍棋子，規(guī)定操作規(guī)則如下：原來相鄰棋子若是同色的，就在其間放一枚黑子，若異色就在其間放一枚白子，然后把原來4枚棋子取走，完成這一程序就算是一次操作。證明：無論開始時園周上的黑白棋子的排列順序如何，最多只需操作4次，圓周上就全是黑子。

下面構(gòu)造一個反映題設(shè)要求的賦值模型，可使問題簡化。

20第一次操作后得到的4枚棋子可表示為：第二次操作后得到的4枚棋子可表示為：21分別化簡為

第三次操作后得到的4枚棋子可表示為：

最后都是第四次操作后得到的4枚棋子都是

故這4枚棋子的賦值都是1，這表明只需操作4次，圓周上的棋子全是黑子。22思考題：

(2)在一個有限的實(shí)數(shù)列中，任意7個連續(xù)項(xiàng)之和都是負(fù)數(shù)，而任意連續(xù)11項(xiàng)之和都是正數(shù)，試問這樣的數(shù)列最多有多少項(xiàng)？

(3)有12個外表相同的硬幣,已知其中一個是假的(可能輕也可能重些).現(xiàn)要用無砝碼的天平以最少的次數(shù)找出假幣,問應(yīng)怎樣稱法.

(1)如果問題2中是放8枚棋子，結(jié)果如何？進(jìn)一步研究每一圈棋子個數(shù)為任意自然數(shù)n時棋子顏色的變化規(guī)律.23§2幾何模擬問題

把一個復(fù)雜的問題，抽象成各種意義下的幾何問題加以解決，這種方法叫做幾何模擬法。幾何模擬法常常在發(fā)現(xiàn)問題解答的同時，也就論證了解答的正確性，這種方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)中的一種重要思維方法。

一、相識問題

問題：在6人的集會上，總會有3人互相認(rèn)識或者互相不認(rèn)識。

怎樣論證此問題？24

〔方法〕：把6個人看作平面上的6個點(diǎn)，并分別記作為(i=1.2…6)。若兩人相識，則用實(shí)線聯(lián)接此兩點(diǎn)，反之用虛線。

于是原問題轉(zhuǎn)化為：在這個6點(diǎn)圖中，必然出現(xiàn)實(shí)三角形或虛三角形。

而不相識與相識在問題中是對等的，至于其它點(diǎn)的情況類似。

25其它10種情況類似可證，至此問題得證。

于是問題又轉(zhuǎn)化為：必然出現(xiàn)實(shí)三角形或虛三角形。

則必出現(xiàn)實(shí)的三角形，

若都不是實(shí)線，

即在這種情況下結(jié)論是正確的。

26思考題：

（3）17個科學(xué)家中每一個科學(xué)家都和其它科學(xué)家通信，在他們通信時，只討論3個題目，而且任意2個科學(xué)家互相通信時只討論1個題目，證明其中至少有3名科學(xué)家，他們互相通信中討論的是同一個題目。

（1）9人的集會中一定有3個人互相認(rèn)識或者有4個人互相不認(rèn)識。

（2）14個人的集會中一定有3個人互相認(rèn)識或者有5個人互相不認(rèn)識。

27

（4）設(shè)有n個人參加一宴會，已知沒有人認(rèn)識所有的人，問是否有兩個人，他們認(rèn)識的人一樣多？28二、椅子放穩(wěn)問題

問題：將4條腿長相同的方椅子放在不平的地上，怎樣才能放平？29

假定椅子中心不動，每條腿的著地點(diǎn)視為幾何上的點(diǎn)，用A、B、C、D表示，把AC和BD連線看作坐標(biāo)系中的x軸和y軸，把轉(zhuǎn)動椅子看作坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)如圖2-6所示：

其中θ表示對角線AC轉(zhuǎn)動后與初始位置x軸的夾角。30

設(shè)g(θ）表示A、C兩腿旋轉(zhuǎn)θ角度后與地面距離之和;

f(θ）表示B、D兩腿旋轉(zhuǎn)θ角度后與地面距離之和，

當(dāng)?shù)孛鏋檫B續(xù)曲面時，f(θ)、g(θ)皆為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)槿龡l腿總能同時著地，即對任意θ，總有f(θ)·g(θ)＝0。不妨設(shè)初始位置θ＝0時g(0)＝0，f(0)>0，問題轉(zhuǎn)化為：是否存在一個此問題可抽象成什么樣的數(shù)學(xué)問題？31數(shù)學(xué)問題如下：

已知：f(θ)、g(θ)連續(xù)，g(0)＝0，f(0)>0，且對任意的θ，有g(shù)(θ)·f(θ)＝0。證明：

令h(θ)＝g(θ)-f(θ)，

則h(0)＝g(0)-f(0)<0。

所以

32而h(θ)是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的界值定理，

又由條件對任意θ，恒有g(shù)(θ)·f(θ)＝0,

四條腿能同時著地。

所以椅子問題的答案是：

如果地面為光滑曲面，椅子中心不動最多轉(zhuǎn)動

則四條腿一定可以同時著地。

33

思考題：

怎樣把長方形的課桌放平？34三、夫妻過河問題

問題：有3對夫妻過河，船最多能載2人，條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與其它男子在一起，如何安排三對夫妻過河？

此類問題是古典的趣味數(shù)學(xué)問題，用窮舉方法可以解決，但怎樣建立數(shù)學(xué)模型用計算機(jī)解決？

模型構(gòu)成：

假設(shè)由北岸往南岸渡河，用向量（x，y）表示有x個男子、y個女子在北岸，其中0≤x,y≤3，

稱向量(x,y)為狀態(tài)向量；

由條件知，有些狀態(tài)是可取的，有些是不可取的，

35如狀態(tài)(2,3)是不可取的，

而狀態(tài)(3,1)是可取的。1)可取狀態(tài)：

總共有10種可取狀態(tài)具體如下：

(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)(0,3)(0,2)(0,1)(0,0)(1,1)(2,2)

其中(i,i)表示i對夫妻。

用S表示可取狀態(tài)的集合，稱為允許狀態(tài)集合。

2)可取運(yùn)載：

(0,1)(0,2)(1,0)(2,0)(1,1)，

其中(1,1)表示1對夫妻，

36用D表示可取運(yùn)載的集合，稱為允許決策集合。

3)記第k次渡河前北岸男子數(shù)為，女子數(shù)為

稱為狀態(tài)；

記第k次渡河船上的男子數(shù)為

，女子數(shù)為

稱為決策。

所以狀態(tài)隨可取運(yùn)載變化規(guī)律是（＊）稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律37于是問題歸結(jié)為：

求一系列的決策

(k=1,2…n)，

使?fàn)顟B(tài)∈S按規(guī)律(*)由初始狀態(tài)

＝(3,3)經(jīng)過有限步n達(dá)到狀態(tài)

＝(0,0).

模型求解：

編程序上機(jī)計算求出結(jié)果。38

用窮舉法不難驗(yàn)證一種結(jié)果如下：（括號內(nèi)為北岸的狀態(tài)）(3,3)

(3,1)

(3,2)

(3,0)

(3,1)

(1,1)

(2,2)

(0,2)

(0,3)

(0,1)

(0,2)

(0,0)經(jīng)過11次決策即可完成。

39

思考題：(1)在上述約束條件下，4對夫妻能否過河？(2)類似討論如果船最多可載3人，5對夫妻及6對夫妻能否過河？

(3)一般討論：n對夫妻過河，船最多能坐m個人（m<n），在上述約束條件下，m和n有何關(guān)系才有解？如何用計算機(jī)求解？

(4)要把一只狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過河，而船工每次只能運(yùn)一種東西，問船工如何運(yùn)它們，才能使羊吃不掉白菜，而狼吃不掉羊？40(5)如果我們只有一只裝滿8斤酒的瓶子和分別可裝5斤和3斤酒的空瓶，問怎樣才能分出4斤酒出來。

41§3力學(xué)物理問題一、動物體型問題

問題：對于四足行走的動物，如何根據(jù)它的體長（不包括頭尾）估計其體重？

將四足動物的軀干（不包括頭尾）視為質(zhì)量為m的圓柱體，42

為了利用一些現(xiàn)成的結(jié)果，大膽地把這種圓柱形的軀干看作一根支撐在四肢上的彈性梁，動物在體重f作用下的最大下垂為δ即梁的最大彎曲。

根據(jù)彈性力學(xué)彎曲度理論，有

因?yàn)樗?/p>

或43是動物的相對下垂度;

相對下垂度太大，四肢將無法支撐；相對下垂度太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐身軀的需要，無疑是一種浪費(fèi)。

因此從生物學(xué)的角度可以假定，經(jīng)過長期進(jìn)化，對于每一種動物，相對下垂度已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，即是一個常數(shù)。當(dāng)然，不同種類的動物，常數(shù)值可以不同。于是由(3-1)式給出

又因?yàn)?/p>

代入(3-2)可得

即體重與軀干長度的四次方成正比。

44

如果對于某一種四足動物，比如生豬，你可根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)找出這個比例常數(shù)，就能從它的體長估計它的體重了。

二、雨中行走問題問題：人們外出行走，途中遇雨，問走多快才會少淋雨？（留作思考題）45三、雙層玻璃的功效

問題：雙層玻璃窗比單層玻璃窗減少多少熱量的流失？

下面要建立一個數(shù)學(xué)模型給出定量的分析結(jié)果。

考慮下列情況：

雙層玻璃窗玻璃厚度都為d，

兩玻璃間距為l

單層玻璃窗的玻璃厚度為2d（即所用玻璃材料與雙層一樣）如圖

，46模型假設(shè)：

(1)熱量的傳導(dǎo)過程是只有傳導(dǎo)沒有對流，即假定窗戶的封閉性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流動的。

(2)室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)。即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時間通過單位面積的熱量是常數(shù)。

(3)玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。模型構(gòu)成：

在上述假設(shè)下，熱傳導(dǎo)過程遵從下面的物理定律：

47厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度之差為

則單位時間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)

其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù)。

記雙層窗內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度是

外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度是

玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為

空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為

48

對雙層玻璃窗由熱傳導(dǎo)定律知單位時間單位面積的熱量傳導(dǎo)（即熱量流失）為

對于厚度為2d的單層玻璃窗，容易寫出其熱量傳導(dǎo)為49二者之比為從有關(guān)資料可知：

常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)

（焦耳/厘．秒．度），

不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)

（焦耳/厘米．秒．度）。

～50于是

作最保守的估計，

由(3)和(5)式可得

～3251通常建筑規(guī)范要求

按照這個模型可得：

即雙層窗比同樣多玻璃材料的單層窗減少97%的熱量流失。

那么為什么能節(jié)約這么多熱量？

52思考題：

(1)若單層玻璃窗的玻璃厚度也是d，結(jié)果將如何？

(2)怎樣討論三層玻璃窗的功效？

(3)怎樣討論雙層玻璃窗的隔音效果？

(4)優(yōu)化裝箱

已知一個直徑與高相等的圓柱體（直徑100），試問：

（a）里面放直徑為5的小球，最多可放球的體積是多少？

53

（b）若放直徑為5和3的小球，結(jié)果又如何；如何堆放較好？

（c）如果改變諸直徑有何結(jié)果；如果圓柱的高增加或減小有無影響；如果再增加球的種類有何結(jié)果？

54§4離散模型一、貸款買房問題

問題：有一對夫婦為買房要向銀行借款6萬元，月利率是0.01且為復(fù)利，貸款期為25年。他們要知道每個月要償還多少錢（設(shè)為常數(shù)），才能決定自己有無能力來買房。這對夫婦每月能有900元的結(jié)余，請你幫助決策。

55解：已知A。＝6萬元為向銀行的貸款數(shù)，R＝0.01為月利率（即計息周期為月），問題是要知道25年（＝300月）還清本息每月要還多少（設(shè)為x）錢。

用N表示第N個月（時間變量），表示第N個月尚欠銀行的款，R表示月利率，x表示每月要還的錢數(shù)。這里要求的是x，因而把x看成因變量，可把A。，R看成參數(shù)，N看成自變量（這些都是相對的?。?。本問題的數(shù)學(xué)模型可建立如下：

56因?yàn)锳。＝60000元＝A。(1+R)-x（一個月后欠銀行的錢數(shù)）

所以第N個月后尚欠銀行的錢數(shù)為

（4-1）就是本問題的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)上稱為（線性）差分方程。

57的表達(dá)式依次代入(4-1),即得利用等比級數(shù)求和公式得

當(dāng)N＝300時，

由此即得

58從而有x≈632元。

所以，這對夫婦還是有能力買房的，但他們的結(jié)余就少了，應(yīng)急能力降低了

某借貸公司針對上述情況出了一個廣告：

本公司能幫助你提前三年還清借款，只要：(1)每半個月向公司還一次錢，錢數(shù)為316元；(2)由于文書工作多了，要求你預(yù)付三個月的錢，即預(yù)付1896元。

請你給分析一下借貸公司用意何在？是否賺錢？

59

分析(1)這時主要是還款周期變了，從一個月變?yōu)榘雮€月，因而可設(shè)R＝0.005，x＝316，A。＝60000，

這時要求的是使的N（注意這時N表示半個月）

由(4-2)可知

從而求得N≈598（半個月）＝299月≈24.92年，即最多只能提前一個月還清。

60

如果只有這一條該借貸公司真的成了慈善機(jī)構(gòu)了！問題可能出現(xiàn)在第二個“只要”上。

分析(2)預(yù)付1896元表示你只借了A。＝60000-1896＝58104元，而R＝0.005，x＝316，

由(4-3)求得N≈505（半個月）＝252.5月≈21.04年，

即提前四年就還清了（相當(dāng)于該公司至少賺了632×12＝7584元）！

這對夫婦于是明白了：可以一開始就少借一點(diǎn)錢，他們更明白了算計（數(shù)學(xué)）在家庭經(jīng)濟(jì)決策中的重要作用。

61思考題：

(1)如果有一筆存款連同連續(xù)復(fù)利一道計算，它在15年內(nèi)翻了一翻，問存款利率是多少？(2)

一個人為了積累養(yǎng)老金,他每個月按時到銀行存100元,銀行的年利率為4%,且可以任意分段按復(fù)利計算,試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金?如果存款和復(fù)利按日計算,則他又有多少養(yǎng)老金?如果復(fù)利和存款連續(xù)計算呢?62二、席位分配模型問題：某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若學(xué)生代表有20個席位，則公平而又簡單的分法應(yīng)各有10、6、4個席位。

若丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)入甲、乙兩系各3人，此時各系的人數(shù)為103、63、34，按比例應(yīng)分配為10.3、6.3和3.4，出現(xiàn)了小數(shù)。19席分配完后，最后一席留給小數(shù)點(diǎn)后最大的丙系，分別為10、6、4。

63

現(xiàn)增加1席共21席（為了方便提案表決），重新分配，按比例計算得甲、乙、丙三系分別占席位為10.815、6.615、3.570，按上面的分法分別為11、7、3，這樣增加了個一席位，但丙系的席位反而減少了一個，你認(rèn)為合理嗎？

請給一個比較公平的席位分配方案。下面介紹一個席位分配模型：

設(shè)A、B兩方人數(shù)分別為

則兩方每個席位所代表的人數(shù)分別為64

“絕對不公平”不是一個好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。

65為了改進(jìn)絕對標(biāo)準(zhǔn)，自然想到用相對標(biāo)準(zhǔn)。

首先對“相對不公平”下個定義：為對A的相對不公平值，

66為對B的相對不公平值，

假設(shè)A、B兩方已分別占有

利用相對不公平的概念來討論，當(dāng)總席位再增加1席時，應(yīng)該給A方還是給B方？

67不失一般性，

即此時對A方不公平，

當(dāng)再分配1個席位時，

有以下三種可能：

這說明既使A方增加1席，

仍然對A不公平，所以這1席當(dāng)然給A方。說明當(dāng)A方增加1席時，

將對B不公平，此時計算對B的相對不公平值：

68說明當(dāng)B方增加1席時，將對A不公平，此時計算對A的相對不公平值：

公平的席位分配方法應(yīng)該使得相對不公平的數(shù)值盡量地小，

所以如果則這一席應(yīng)給A方；反之，應(yīng)給B方。

根據(jù)(4-6).(4-7)兩式，(4-8)式等價于69不難證明，從上述第(1)種情況也可推出(4-9)。

于是得結(jié)論：

當(dāng)(4-9)式成立時，增加的1席應(yīng)分配給A方；反之，應(yīng)分配給B方。

則增加的1席應(yīng)分配給Q值較大的一方。將上述方法推廣到有m方分配席位的情況：

當(dāng)總席位增加1席時，計算70則這1席位應(yīng)分配給Q值最大的那一方,

現(xiàn)在利用（4-10）來解決開始的問題。

可以說前19席沒有爭議，即甲、乙、丙各為10、6、3，現(xiàn)在討論第20和21席應(yīng)歸于何方：

第20席計算

=96.4

=94.5=96.371即第20席應(yīng)分給甲系。

第21席計算=94.5=96.3即第21席應(yīng)分給丙系。

最后甲、乙、丙系的席位分別為11、6、4，這樣丙系保住它險些喪失的1席，你覺得這個方法公平嗎？

72思考題：

比利時(d'Hondt)分配方案：將甲、乙、丙三系的人數(shù)都用1.2.3…去除，將商從大到小排列，取前21個最大的，這21個中各系占有幾個，就分給幾個席位，你認(rèn)為這種方法合理嗎？

73四、常染色體遺傳模型1、親體基因遺傳方式與問題1）遺傳方式

在常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)Γ驅(qū)σ卜Q基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制的，那么就有三種基因?qū)?，記為AA，Aa，aa。例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它的花的顏色，基因型是AA的金魚草開紅花，Aa型開粉紅色花，而aa型的開白花。

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又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛為棕色；基因是aa型的人，眼睛是藍(lán)色。這里Aa和AA都表示了同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，也可以認(rèn)為基因a對于A是隱性的，當(dāng)一個新體的基因型為Aa，而另一個親體的基因?yàn)閍a，那么后代可以從aa型中得到基因a，從Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。這樣，后代基因型為Aa或aa的可能性相等。

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下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，使其后代形成每種基因的概率，如表1-2所示。

基因型的概率分布后代基因型父體–母體（n-1代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001

762）問題農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型AA，Aa和aa。農(nóng)場計劃采用AA型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方