第二章地理空間數(shù)學基礎

第二章

地理空間數(shù)學基礎§2-1

地球空間參考§2-2

空間數(shù)據投影

§2-3

空間數(shù)據的采集§2-4GIS中的地理參照系§3-5

GIS的數(shù)據質量§3-6

空間數(shù)據標準空間數(shù)據的采集§2-1

地球空間參考§2.1.1地球形狀與地球橢球§2.1.2坐標系統(tǒng)§2.1.3高程基準一、地理空間的數(shù)學建構---如何建立地球表面的幾何模型（形狀與大?。?、最自然的面：包括海洋底部、高山、高原在內的固體地球表面，難以用一個簡潔的數(shù)學式描述。2、相對抽象的面，即大地水準面假設一個當海水處于完全靜止的平衡狀態(tài)時從海平面延伸到所有大陸下部，而與地球重力方向處處正交的一個連續(xù)、閉合的水準面。

§2.1.1地球形狀與地球橢球

一、地球形狀與大小

1、最自然的面測量基準—地球模型地球表面水準面大地水準面鉛垂線地球橢球體地球重力也不均勻，大地水準面不是一個十分規(guī)則的表面，且不能用簡單的數(shù)學公式來表達，大地水準面不能作為測量成果的計算面。一、地球的形狀與大小2、大地水準面：無數(shù)個水準面中，其中與平靜的平均海水面相吻合并延伸穿過陸地、島嶼而形成的封閉曲面稱。大地水準面的特性1。同一水準面上的重力位處處相等；2。同一水準面上任一點的鉛垂線都與水準面相正交；3。由于地表起伏以及地球內質量分布不均勻，所以大地水準面是個復雜的曲面無法準確描述和計算；4。水準面和鉛垂線是野外觀測的基準面和基準線。為了測量成果計算的需要，選用一個同大地體相近的、可以用數(shù)學方法來表達的旋轉橢球來代替地球---橢球體。二、橢球體模型

ab

c一、地球的形狀與大小地球橢球體模型雙軸橢球體模型（旋轉橢球體）x2a2y2a2z2b2++=1如：克拉索夫斯基橢球體

地球橢球的基本元素常用符號a，b，α，e和e’表示

。符號的名稱和公式為(衡量形狀和大小參數(shù)）：長半軸=a；短半軸=b；扁率α=(a-b)/a；第一偏心率=第二偏心率=已知其中兩個元素（包含a或b）,就可以推算其他三個元素。地球橢球橢球名稱創(chuàng)立年代長半徑akm短半徑bkm扁率αWGS8419846378.1376356.7521∶298.261975年GRS橢球1980年代以后19756378.1406356.7551∶298.257蘇聯(lián)克拉索夫斯基橢球1953-80年代

19406378.2456356.9121∶297美國海福特橢球1953年前19106378.3886356.9121∶298.3§2.1.2坐標系統(tǒng)球面坐標系統(tǒng)天文地理坐標系大地地理坐標系平面坐標系統(tǒng)：投影坐標系統(tǒng)高斯平面直角坐標系地方獨立平面直角坐標系投影過程示意圖§2.1.2坐標系統(tǒng)一、球面坐標系

1、天文地理坐標系大地水準面和鉛垂線是天文地理坐標系的基準面和線地面點的坐標是它沿鉛垂線在大地水準面上投影點的經度和緯度（，）天文經度是首天文子午面與測站天文子午面的夾角，天文緯度為測站垂線方向與地球平均赤道面高是地面點沿鉛垂線到大地水準面的距離2、大地地理坐標系（大地坐標）NSMP格林尼治天文臺LBH大地經度(L)大地緯度(B)大地高(H)過地面點的子午面與起始子午面之間的夾角過地面點的法線與赤道面之間的夾角地面點沿法線至參考橢球面的距離G是依托地球橢球用定義原點和軸系以及相應基本參考面標示較大地域地理空間位置的參照系我國常用的大地坐標系大地坐標系參考橢球坐標原點北京54坐標系克拉索夫斯基橢球體原蘇聯(lián)西部的普爾科夫西安80坐標系IUGG（16屆）橢球體1975陜西涇陽WGS84坐標系IUGG（17屆）橢球體地球質心本地坐標系國家參考橢球（修改半徑）§2.1.3高程系統(tǒng)1、基本概念：高程（絕對高程、海拔）-----地面點到大地水準面的鉛垂距離。假定（相對）高程-----地面點到假定水準面的鉛垂距離。高差-----兩點間的高程之差。2.高程系統(tǒng)與高程基準我國國家高程系統(tǒng)：黃海高程系我國國家高程基準：1956年黃海高程系

1985年國家高程基準◆我國取青島附近黃海平均海水面為大地水準面，即零基準面；人為而定，相對穩(wěn)定我國1956年取前6年的平均潮位作為大地水準面；1985年取1952年1979年共26年觀測的平均潮位作為大地水準面)；◆水準原點建在青島市內，作為我國的國家高程基準。1956年高程基準的高程為72.289米，1985年高程基準的高程為72.260米。2、我國高程系統(tǒng)與高程基準國家高程原點二地圖比例尺P77比例尺表示法數(shù)字比例尺,1:10000或1/10000文字比例尺,萬分之一圖解比例尺與實地比例尺面積比例尺比例系數(shù)SF=實際比例尺/主比例尺主比例尺：在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。第三章空間數(shù)據的采集和質量控制

§3-2空間數(shù)據的地理參照系和控制基礎地圖投影mapprojections：為什么要進行投影將三維橢球體轉變成二維平面地圖，稱地圖投影地球橢球體為不可展曲面將不可展的地球橢球面展開成平面，并且不能有斷裂，則圖形必將在某些地方被拉伸，某些地方被壓縮，故投影變形是不可避免的?！?-2

空間數(shù)據投影

投影過程示意圖2.1.1、地圖投影的內涵地圖投影

依據一定的數(shù)學法則，將不可展的地球曲面運用特定的數(shù)學方法展示到平面上，最終在地表面點與地圖平面點之間建立一一對應的關系

(B,L)(x,y)數(shù)學解析法2.1.2、地圖投影的分類按投影面分類按投影方式分類變形特征分類幾何透視法按投影面分類方位投影

圓錐投影

圓柱投影

按投影方式分類橫軸

正軸

斜軸

變形特征分類任意投影

等角投影等積投影圓錐投影、圓柱投影、局部平面投影是最常用的三大類距離變形、面積變形、角度（方位）變形距離、面積、方位三個因素總是存在矛盾，如何兼顧，何者優(yōu)先，決定了采用什么投影、計算方法、相關參數(shù)

由地球橢球面（或球面）投影到平面引起的變形。表現(xiàn)在形狀、大小兩個方面。2.1.3投影變形地圖投影變形的圖解示例

（摩爾維特投影－等積偽圓柱投影）長度變形角度變形地圖投影變形的圖解示例

（UTM－橫軸等角割圓柱投影）面積變形和長度變形投影變形示意圖地圖投影的變形示意地圖投影的變形關于地圖投影的幾點結論：實現(xiàn)等角、等面積、等距離同時做到的投影不存在投影方式有多種多樣，一個國家或地區(qū)依據自己所處在的經緯度、幅員大小以及圖件用途選擇投影方式在大于1：10萬的大比例尺圖件中，各種投影帶來的誤差可以忽略。2.1.4常用的地圖投影我國1:1萬-1：50萬的地形圖采用高斯—克呂克投影

(Gauss-Krüger)我國1：500——1：5000的圖，采用城市平面局域投影英美國家常用橫軸墨卡托投影（UTM）

高斯——克呂格投影的幾何概念一、高斯-克呂格平面直角坐標系（1）.

高斯投影的概念（2）.

高斯投影的分帶和編號（3）.

高斯平面直角坐標系

（4）.高斯投影的關系式高斯-克呂格投影高斯(Gauss,CarlFriedrich,1777-1855)，德國數(shù)學家，天文學家，物理學家。（1）.

高斯投影的概念等角橫軸橢圓柱投影特點：1.中央子午線和地球赤道投影成為直線且為投影對稱軸；2.等角投影，經緯線投影后保持相互垂直關系；3.中央子午線上沒有長度變形。投影演示變形特點：1.中央經線上沒有長度變形；2.同一緯線上，離中央經線越遠，變形越大；3.同一經線上，緯度越低，變形越大；4.等變形線為平行于中央經線的直線。高斯——克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）優(yōu)點:1.等角性質，適用于系列比例尺地圖的適用與編制；2.經緯網與直角坐標的偏差不大；3.計算量小，只需計算一個帶，全球通用。6分帶法3分帶法（2）.

高斯投影的分帶和編號國家坐標系：

高斯-克呂格直角坐標系高斯投影的分帶和編號6°分帶法：從格林尼治零度經線起，每6°分為一個投影帶，全球共分為多少個投影帶？

投影帶號n和中央經線經度L0的計算公式為：

1231314151617293031

1201352426283032345759616帶3帶

061218728496168180

3915758799171177

3°分帶法：從東經1°30′起，每3°為一帶，將全球劃分為多少個投影帶？

投影帶號n和中央經線經度L0的計算公式為：L0=(6°*n—3°)L0=(3°*n)課堂思考題1、如何根據某一點的經度來計算其所在投影帶的帶號？

EX：A點的經度為東經119°32′，則A點所在的6°帶和3°帶的帶號分別為多少？

1231314151617293031

1201352426283032345759616帶3帶

061218728496168180

39157587991711772、為什么3°帶是東經1.5°開始的？（3）.高斯平面直角坐標系及坐標本初子午線l=0°經線緯線XYZNEW=0-90°SPOR=0-180°E=0-90°N??赤道

f=0°??=0-180°W-經度-緯度R–地球半徑O–地球球心XYo赤道中央經線高斯平面直角坐標系的特點1、坐標軸的特點o赤道中央子午線XYⅠⅡⅢⅣ△X△Y2、象限及方位角的特點3、坐標計算的特點XA=X0+△X=X0+DcosαYA=Y0+△Y=Y0+DsinαADα高斯平面直角坐標特點我國規(guī)定將各帶縱坐標軸西移500公里（實質是將所有y值加上500公里）Y坐標值前再加上所在投影帶帶號EX:假設某點在第18帶Y=743.353kmX=464.784kmY+500km加帶號Y=243.353kmX=464.784km原始坐標（真實坐標）Y=18743.353kmX=464.784km高斯坐標（名義坐標）500km第X帶縱坐標:表示離赤道公里數(shù)橫坐標:前二位表示投影帶號后幾位表示離移軸縱線的公里數(shù)如:18210表示第18帶,例移軸縱線210公里,即中央經線以西290公里移軸縱線赤道中央經線500km4、高斯投影的關系式高斯-克呂格投影正解公式：（B,L）→(X,Y)，原點緯度0，中央經度L0上面公式中東緯偏移FE=500000米+帶號*1000000；高斯-克呂格投影比例因子k0=1高斯-克呂格投影反解公式：

(X,Y)→（B,L），原點緯度0，中央經度L0

補充材料

2、補充資料：高斯投影的演示高斯投影1、補充資料：坐標換算程序坐標換算程序高斯-克呂格投影與UTM

通用橫軸墨卡托投影

(universaltransverseMercatorcoordinatesystem:UTM)：等角橫軸割橢圓柱投影高斯-克呂格投影的中央經線長度比等于1UTM中央經線長度比等于0.9996長度比:投影面上一微小線段ds′和球面上相應微小線段ds之比。用公式表示為：μ=ds′/ds長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。2.1.4GIS中的地理參照系地球自然表面點位坐標系的確定包括兩個方面的內容：一是地面點在地球橢球體面上的投影位置，采用地理坐標系；二是地面點至大地水準面上的垂直距離，采用高程系。一．地理參照系1、經緯度坐標系（地理坐標）

對空間定位有利，但難以進行距離、方向、面積量算。

2、笛卡兒平面坐標系

便于量算和進一步的空間數(shù)據處理和分析。

3、高程系統(tǒng)描述空間點在垂直高度上的特性--高程——由高程基準面起算的地面點的高度。

地理坐標系1.構成經度、緯度2.獲取

天文測量、大地測量3.我國的大地坐標系

1954年北京坐標系，克拉索夫斯基橢球，原點在原蘇聯(lián)西部的普爾科夫

80西安坐標系，1978年建立自己的坐標系，原點在陜西涇陽縣，采用1975國際大地測量協(xié)會推薦的地球參數(shù)。一、地理參照系平面坐標系P79

將橢球面上的點通過地圖投影的方法投影到平面上，通常使用平面坐標系。1.平面極坐標系：矢徑(極徑)、矢量角2.平面直角坐標：笛卡爾坐標坐標平移,坐標旋轉(自學)第三章空間數(shù)據的采集和質量控制

§3-2空間數(shù)據的地理參照系和控制基礎一、地理參照系二、GIS的地理基礎--控制基礎各種GIS的數(shù)據源、服務目的和各自特征可以不同，但均有自身統(tǒng)一的地理基礎。

地理基礎是地理信息數(shù)據表示格式與規(guī)范的重要組成部分，主要包括：統(tǒng)一的大地地理坐標

統(tǒng)一的地圖投影系統(tǒng)統(tǒng)一的地理網格坐標統(tǒng)一的地理編碼系統(tǒng)二、GIS的地理基礎--控制基礎（續(xù)）

2、投影與坐標系：每一種投影都與一個坐標系統(tǒng)相聯(lián)系。投影關系著如何將圖形物體顯示于平面上，坐標系統(tǒng)顯示出地形地物所在的相對位置。3、統(tǒng)一的地圖坐標與投影系統(tǒng)的意義：

1）為地理信息的輸入、輸出及匹配處理提供一個統(tǒng)一的定位框架2）使各種來源的地理信息和數(shù)據能夠具有共同的地理基礎三GIS中地圖投影的配置地圖投影與GIS的關系

地圖投影對GIS的影響滲透在GIS建設的各個方面:數(shù)據獲取(數(shù)據源地圖的投影)數(shù)據標準化預處理(按照某一參照系數(shù)字化)數(shù)據存儲(統(tǒng)一的坐標基礎)地圖投影(地理基礎)數(shù)據輸出(具有相應投影的地圖)數(shù)據應用(檢索、查詢、分析等）數(shù)據處理（投影轉換）地圖投影配置的一般原則a.與相應比例尺的國家基本地圖投影系統(tǒng)一致b.一般至多采用二種投影系統(tǒng)，一種服務于大比例尺的數(shù)據處理與輸入、輸出，另一種服務于中小比例尺c.所用投影以等角投影為宜d.所用投影應能與網格坐標系統(tǒng)相適應，即所采用的網格系統(tǒng)（特別是一級網格）在投影帶中應保持完整七GIS中地圖投影的配置我國GIS中常用的地圖投影配置大比例尺（>=50萬）高斯——克呂格投影小比例尺（<50萬）Lambert投影我國基本比例尺地形圖：

1：100萬Lambert投影

1：50萬、1：25萬、1：10萬

1：5萬、1：2.5萬、1：1萬高斯-克呂格

1：5000我國大部分省區(qū)圖以及1：100萬的地圖多采用Lambert和Albers投影（正軸等面積割圓錐投影）地圖的坐標地理坐標（大地坐標）平面直角坐標根據不同的投影，相應的得到平面直角坐標我國大于1:10萬地形圖上繪有高斯-克呂格投影平面直角坐標網，以公里為單位（公里網）大比例尺地形圖公里網間隔比例尺公里網間隔（cm)

相應實地距離（km）1:1萬1:2.5萬1:5萬1:10萬104221112補充、地形圖的分幅與編號

為了保管和使用方便，每一種基本比例尺地形圖都規(guī)定有一定的圖廓大小，每一幅圖都具有相應的號碼標志，這項工作叫地形圖的分幅和編號。（我國1：10萬7000幅）地形圖的分幅方法：一是矩形分幅，一是經緯線分幅（也叫梯形分幅）。我們國家基本比例尺地形圖采用經緯線分幅。補充、地圖的分幅和編號

我國基本比例尺地形圖有1:1萬、1:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬和1:100萬七種。大于等于1:10萬的稱為大比例尺地圖；1:10萬至1:100萬地稱為中比例尺地圖；小于1:100萬的稱為小比例尺地圖。由于一個國家范圍很大，因此不可能用一幅地圖來描述，因此地圖的分幅和編號就非常重要。目前，我國采用的地形圖分幅方案是以1:100萬地形圖為基準的，按照相同的經差和緯差定義其他更大比例尺地形圖的分幅。

1:100萬地形圖分幅：緯度在0°～60°之間，經差6°，緯差4°

緯度在60°～76°之間，經差12°，緯差4°

緯度在76°～80°之間，經差24°，緯差4°

分幅是根據不同比例尺對每一分幅圖編號，每一分幅圖給一個固定的號碼，相互不能重復，以便確認。分幅編號需要有一定的系統(tǒng)性，不能太任意。不同比例尺有不同的編號方法，請大家在課后參照參考書學習。地圖的分幅和編號地圖的圖號構成（新）比例尺圖幅大小分幅示例經差緯差1:100萬6o4oJ501:50萬3o2o1:100萬圖分成4幅(2╳2)J50B0010021:25萬1o30′1o1:100萬圖分成16幅(4╳4)J50C0030031:10萬30′20′1:100萬圖分成144幅(12╳12J50D0100101:5萬15′10′1:100萬圖分成576幅(24╳24)J50E0170161:2.5萬7′30″5′1:100萬圖分成2304幅(48╳48)J50F0420021:1萬3′45″2′30″1:100萬圖分成9216幅(96╳96)J50G0930041:5千1′52.5″1′15″1:100萬圖分成36864幅(192╳192)J50h1501401：50萬、1：25萬、1：10萬地形圖的分幅和編號示例（舊編碼方法）1：5000和l:2000比例尺圖的分幅編號1：5000和1：2000比例尺圖的分幅編號是在1：10000圖的基礎上進行的。每幅1：10000的圖分為4幅1：5000的圖，分別在1：10000的圖號后面寫上各自的代號a、b、c、d。每幅1：5000的因又分成9幅1：2000的圖，分別以l、2、……9表示，圖幅的大小及編[作業(yè)]

已知某地地理坐標為λ=116°03′50″Eδ=39°40′20‘’N，求其所在1：100萬，1：50萬，1：10萬和1：1萬地形圖的編號。二、地形圖上的坐標網

為了在地圖上迅速而準確的指示目標位置和確定方向，距離、面積等，高斯——克呂格投影的地圖上繪有兩種坐標網：地理坐標網（經緯網）和直角坐標網（方里網）。規(guī)定1：1萬——1：10萬比例尺的地形圖上，每幅圖的內圖廓為經緯線，而圖內不加繪經緯線，經緯度數(shù)值注記在內圖廓的四角，在內外圖廓間，還繪有黑白相間或僅用針線表示經差、緯差1′的分度帶。需要時將對應點相連接，就可構成很密的經緯網。在1：25萬——1：100萬地形圖上，直接繪出經緯網有時還繪有加密經緯網的加密分割線。緯度注記在東西內外圖廓間，經度注記在南北內外圖廓間。坐標系的建立和起算直角坐標網是以每一投影帶的中央經線為縱軸（X軸），赤道作為橫軸（Y軸），縱坐標以赤道為0起算，赤道以北為正，以南為負。我國位于北半球，縱坐標都是正值。（二）直角坐標網

(一）地理坐標網

橫坐標本來應以中央經線為0起算，以東為正，以西為負，但因坐標數(shù)值有正有負，不便于使用，所以，又規(guī)定凡橫坐標值均加500千米即等于將縱坐標軸向西移500千米，橫坐標從此起算則均為正值。1、直角坐標系的特點

以公里為單位，按相等間距，作平行于縱、橫軸的若干直線，便構成了圖面上的平面直角坐標網，又叫方里網。2.直角坐標網的構成3.坐標的注記

縱坐標注記在東西內外圖廓間，由南向北增加（四位數(shù)）；橫坐標注記在南北內外圖廓間，由西向東增加。地圖四角注有全部坐標數(shù)。橫坐標前兩位為帶號，其余只注最后兩位公里數(shù)。

規(guī)定1：10萬和更大的比例尺地形圖繪制方里網，其間隔規(guī)定如下表：比例尺圖上方里網間隔相應實地長度

1：1萬10cm1km1：2.5萬4cm1km1：5萬2cm1km1：10萬2cm2km（三）相鄰投影帶圖幅的拼接于是規(guī)定在一定的范圍內把鄰帶的坐標延伸到本帶的圖幅上，這就使某些圖幅上有兩個方里網系統(tǒng)，一個是本帶的，一個是鄰帶的，為了區(qū)別，圖廓內繪有本帶方里網，圖廓外繪鄰帶方里網的小段，需要使用時才連繪出來，這樣相鄰圖幅就具有統(tǒng)一的直角坐標系統(tǒng)。由于高斯——克呂格投影的經線是向投影帶的中央經線收斂的，它和坐標縱線有一定的夾角，叫子午線收斂角。所以當相鄰兩帶的圖幅拼接時，方里網就形成了折角。這就給拼接使用地圖帶來很大的困難，

繪有鄰帶方里網的區(qū)域范圍是沿經線呈帶狀分布的，所以叫重疊帶。重疊帶的實質就是將投影帶的范圍擴大，即西帶向東帶延伸30′，東帶向西帶延伸15′。三、地形圖上的高程和注記

1.絕對高程、相對高程和高差絕對高程相對高程高差

2.注記。高程注記有兩種：一種是點的高程，用黑色數(shù)字注記，字頭朝向北圖廓；另一種是等高線的高程，用棕色數(shù)字注記，字頭朝向上坡方向。

四、地形圖的分幅與編號

為了保管和使用方便，每一種基本比例尺地形圖都規(guī)定有一定的圖廓大小，每一幅圖都具有相應的號碼標志，這項工作叫地形圖的分幅和編號。（我國1：10萬7000幅）地形圖的分幅方法：一是矩形分幅，一是經緯線分幅（也叫梯形分幅）。我們國家基本比例尺地形圖采用經緯線分